Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 7: Các dạng vô định

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}$

Phương pháp giải:

- Dạng vô định $\dfrac00$ ta phân tích tử và mẫu ra thừa số và rút gọn.

- Nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\sqrt {{x^3} + 1} + 1$ (Câu d)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + 2x + 4} \over {x + 2}} = 3 \cr}$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = - \infty \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ +}} \left( {x + 3} \right) = 0;{\left( {x + 3} \right)} > 0,\forall x > - 3$

$\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = + \infty \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0;x + 3 < 0, \forall x<-3$

$\eqalign{d) & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3}} \over {x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} = 0 \cr}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 10} \over {9 - 3{x^3}}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} } \over {3\left| x \right| - 17}}$

Phương pháp giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

b) Đưa thừa số x trên tử ra ngoài dấu căn, chia cả tử và mẫu cho x.

Hướng dẫn giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 10} \over {9 - 3{x^3}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} + x - 10}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{9 - 3{x^3}}}{{{x^3}}}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{2 \over x} + {1 \over {{x^2}}} - {{10} \over {{x^3}}}} \over {{9 \over {{x^3}}} - 3}}$ $= \frac{{0 + 0 - 0}}{{0 - 3}}= 0$

b) Với mọi x ≠ 0, ta có:

${{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} } \over {3\left| x \right| - 17}}$ $= \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {2 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} \right)} }}{{\left| x \right|\left( {3 - \frac{{17}}{{\left| x \right|}}} \right)}}$ $= {{\left| x \right|\sqrt {2 - {7 \over x} + {{12} \over {{x^2}}}} } \over {\left| x \right|\left( {3 - {{17} \over {\left| x \right|}}} \right)}} = {{\sqrt {2 - {7 \over x} + {{12} \over {{x^2}}}} } \over {3 - {{17} \over {\left| x \right|}}}}$

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} } \over {3\left| x \right| - 17}} = {{\sqrt 2 } \over 3}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x \over {{x^2} - 1}}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 2} \right)\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + x}}}$

Phương pháp giải:

a) Dạng $0.∞$

- Sử dụng hằng đẳng thức số 7: ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$ để rút gọn.

- Tính giới hạn.

b) Đưa x + 2 vào trong căn, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

Hướng dẫn giải:

a) Với x > -1 đủ gần $-1 (-1 < x < 0)$ ta có:

$\eqalign{ & \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x \over {{x^2} - 1}}} \cr &= \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right).\sqrt {{x \over {{x^2} - 1}}} \cr & = \left( {{x^2} - x + 1} \right).\sqrt {\frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \cr &= \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {{{x\left( {x + 1} \right)} \over {x - 1}}} \cr & \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x \over {{x^2} - 1}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {{{x\left( {x + 1} \right)} \over {x - 1}}} = 0 \cr}$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 2} \right)\sqrt {{{x - 1} \over {{x^3} + x}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} + x}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}}}.\frac{{x - 1}}{x}}}{{\frac{{{x^3} + x}}{{{x^3}}}}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{{\left( {1 + {2 \over x}} \right)}^2}\left( {1 - {1 \over x}} \right)} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}}} = 1 \cr}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt {2x - {x^2}} - 1} \over {{x^2} - x}}$

Phương pháp giải:

a) Nhân và chia với biểu thức $\left( {\sqrt {{x^2} + 1} +x} \right)$

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)$

Hướng dẫn giải:

$\eqalign{a) & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + 1 - {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr}$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt {2x - {x^2}} - 1} \over {{x^2} - x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - {x^2} - 1} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{ - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{1 - x} \over {x\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)}} = 0 \cr}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \right)$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^3} + 8} \over {x + 2}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{3 - \sqrt x } \over {9 - x}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2 - \sqrt {4 - x} } \over x}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^4} - {x^3} + 11} \over {2x - 7}}$

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} + 4} } \over {x + 4}}$

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu thức tính giới hạn.

b) Phân tích thành nhân tử, khử dạng vô định.

c) Phân tích thành nhân mẫu, khử dạng vô định.

d) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right).$

e) - Trên tử, đặt $x^3$ làm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho x và tính giới hạn.

f) Đưa $x^4$ ra ngoài căn và tính giới hạn.

Hướng dẫn giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x + 1} \over {{x^2}}} = + \infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 1} \right) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\,\text{ và }\,{x^2} > 0,\forall x \ne 0$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^3} + 8} \over {x + 2}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \over {x + 2}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2x + 4} \right) = 12 \cr}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{3 - \sqrt x } \over {9 - x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {1 \over {3 + \sqrt x }} = {1 \over 6}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^4} - {x^3} + 11} \over {2x - 7}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\frac{{x - 1 + \frac{{11}}{{{x^3}}}}}{{x\left( {2 - \frac{7}{x}} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\frac{{1 - \frac{1}{x} + \frac{{11}}{{{x^4}}}}}{{2 - \frac{7}{x}}}=+\infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x} + \frac{{11}}{{{x^4}}}}}{{2 - \frac{7}{x}}} = \frac{1}{2} > 0$

f) Với x < 0, ta có: 

${{\sqrt {{x^4} + 4} } \over {x + 4}} = {{{x^2}\sqrt {1 + {4 \over {{x^4}}}} } \over {x + 4}} = x{{\sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} } \over {1 + {4 \over x}}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \text{ và } \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{4}{x}}} = 1 > 0$

Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} + 4} } \over {x + 4}} = - \infty$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {{x^2} - 4x}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {{x^2} - x}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + x + 1} - 1} \over {3x}}$

Phương pháp giải:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, khử dạng vô định (câu a, b, c).

- Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1$ (câu d).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: Với $\,x \ne - \sqrt 3$

${{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}}$ $= {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \right)} \over {\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - x} \right)}}$ $= {{{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \over {\sqrt 3 - x}}$

Do đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}}$ $=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \over {\sqrt 3 - x}}= {9 \over {2\sqrt 3 }}$ $= {{3\sqrt 3 } \over 2}$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {{x^2} - 4x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {x\left( {x - 4} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{x\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {1 \over {x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = {1 \over {16}} \cr}$

$\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {x\left( {x - 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {1 \over {x\sqrt {x - 1} }} = + \infty \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x\sqrt {x - 1} } \right) = 0$ và $x\sqrt {x - 1} > 0,\forall x > 1$

$\eqalign{d) & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + x + 1} - 1} \over {3x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} + x + 1 - 1} \over {3x(\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + x}}{{3x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1} \right)}}\cr &= {1 \over 3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1}} = {1 \over 6} \cr}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {{{2{x^3} + x} \over {{x^5} - {x^2} + 3}}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right| + \sqrt {{x^2} + x} } \over {x + 10}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {2{x^4} + {x^2} - 1} } \over {1 - 2x}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + x} \right)$

Phương pháp giải:

a) Bên trong dấu căn, đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung.

b) Đưa $x^3$ ra ngoài dấu căn, chú ý dấu của x.

c) - Trên tử, đưa $x^4$ ra ngoài dấu căn.

- Dưới mẫu, đặt x làm nhân tử chung.

⇒ Tính giới hạn.

d) Nhân và chia với biểu thức $\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + x} \right)$

Hướng dẫn giải:

a) Với x < 0, ta có:

$x\sqrt {{{2{x^3} + x} \over {{x^5} - {x^2} + 3}}}$

$\eqalign{ & = x\sqrt {\frac{{{x^3}\left( {2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^5}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}} \right)}}} \cr &= x\sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}} \right)}}} \cr & = x.\frac{1}{{\left| x \right|}}.\sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}}}} \cr & = x.\frac{1}{{ - x}}.\sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^5}}}}}} \cr &= - \sqrt {{{2 + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^3}}} + {1 \over {{x^5}}}}}} \cr}$

Do đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {{{2{x^3} + x} \over {{x^5} - {x^2} + 3}}} = - \sqrt 2$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|+\sqrt {{x^2} + x} } \over {x + 10}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right| + \sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} }}{{x + 10}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right| + \left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x + 10}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x - x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x + 10}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1 - \sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 + {{10} \over x}}} \cr & = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + 0} }}{{1 + 0}}= - 2 \cr}$

$\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {2{x^4} + {x^2} - 1} } \over {1 - 2x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}\sqrt {2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^4}}}} } \over {x\left( {{1 \over x} - 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x{{\sqrt {2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^4}}}} } \over {{1 \over x} - 2}} = - \infty \cr & \text{Vì}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \cr &\text{và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^4}}}} } \over {{1 \over x} - 2}} = - {{\sqrt 2 } \over 2} < 0 \cr}$

$\eqalign{d) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + x} \right)\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^2} + 1 - {x^2}} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} - x}} \cr }$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2}\left( {2 + \dfrac{1}{x^2}} \right)} - x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x.\dfrac{{x + \dfrac{1}{x}}}{{\left| x \right|\sqrt {2 + \dfrac{1}{x^2}} - x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x.\dfrac{{x + \dfrac{1}{x}}}{{ - x\sqrt {2 + \dfrac{1}{x^2}} - x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x.\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{{ - \sqrt {2 + \dfrac{1}{x^2}} - 1}} = + \infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{{ - \sqrt {2 + \dfrac{1}{x}} - 1}} = \dfrac{1}{{ - \sqrt 2 - 1}} < 0$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x } \over {{x^2}}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x{{\sqrt {1 - x} } \over {2\sqrt {1 - x} + 1 - x}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{3 - x} \over {\sqrt {27 - {x^3}} }}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^3} - 8} } \over {{x^2} - 2x}}$

Phương pháp giải:

a) Nhân của tử và mẫu với ${\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x }.$

b) c) d) Phân tích mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.

Hướng dẫn giải:

$\eqalign{a) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x } \over {{x^2}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x - x}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2 \over {{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} = + \infty \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right) = 0,\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x > 0$ khi $x\to 0^+$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x{{\sqrt {1 - x} } \over {2\sqrt {1 - x} + 1 - x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - x} \left( {2 + \sqrt {1 - x} } \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x \over {2 + \sqrt {1 - x} }} = {1 \over 2}$

$\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{3 - x} \over {\sqrt {27 - {x^3}} }} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{{{\left( {\sqrt {3 - x} } \right)}^2}} \over {\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {3 - x} } \over {\sqrt {{x^2} + 3x + 9} }} = 0 \cr}$

$\eqalign{d) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^3} - 8} } \over {{x^2} - 2x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} } \over {x\left( {x - 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{{x\sqrt {x - 2} }}\cr &= + \infty \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x + 4} = 2\sqrt 3, \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x\sqrt {x - 2} = 0;\,x\sqrt {x - 2} > 0 \ \forall x > 2$