Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chứng minh rằng:

${1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}$ (1)

Với mọi số nguyên n ≥ 2.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ≥ 2, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 2.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 2) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 2 ta có:

${1.2^2} = {{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4$

Vậy (1) đúng với n = 2

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

${1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có:

$\eqalign{ & {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} - 3k + 2k - 2 + 12k + 12} \right)}}{{12}}\cr& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 6k + 5k + 10} \right)}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{{12}}\cr& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr}$

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với n = k + 1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ≥ 2.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

${u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}$ với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng

${u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}$ (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1, theo giả thiết ta có ${u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}$. Như vậy (1) đúng khi n = 1.

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k,\; k \in\mathbb N^*$ tức là: $u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có:

${u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} \\= {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2}$ $= \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} \\= \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}} \\= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}$

Nghĩa là (1) đúng với n = k + 1.

Vậy (1) đúng với mọi $n \in\mathbb N^*$

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với ${u_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}}\text{ và }{v_n} = {{2n} \over {n + 1}}$

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n) với an = u_n + v_n

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (b_n) với bn = u_n – v_n

c) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (c_n) với c_n = u_n.v_n

d) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (d_n) với ${d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}}$

Chú ý:

Các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (u_n + v_n), (u_n – v_n), (u_n.v_n), $\left( {{{{u_n}} \over {{v_n}}}} \right).$

Phương pháp giải:

Tính số hạng tổng quát của các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) theo giả thiết đề yêu cầu.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

${a_n} = {u_n} + {v_n} \\= {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} + {{2n} \over {n + 1}}$ $= \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 1}}$ $= {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {n + 1}} \\= n + 1$

b) Ta có:

${b_n} = {u_n} - {v_n} \\= {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} - {{2n} \over {n + 1}}$ $= \frac{{{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} \\= {{{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \over {n + 1}}$

c) Ta có:

${c_n} = {u_n}{v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}.\frac{{2n}}{{n + 1}}= {{2n\left( {{n^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

d) Ta có:

${d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}} \\= \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}:\frac{{2n}}{{n + 1}}$ $= \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}.\frac{{n + 1}}{{2n}} \\= {{{n^2} + 1} \over {2n}}$

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

a) Dãy số (u_n) xác định bởi: ${u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + 5$ với mọi n ≥ 1 là một cấp số cộng.

b) Dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + n$ với mọi n ≥ 1 là một cấp số cộng.

c) Dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 4\text{ và }{u_{n + 1}} = 5{u_n}$ với mọi n ≥ 1 là một cấp số nhân.

d) Dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 1\text{ và } {u_{n + 1}} = n{u_n}$ với mọi n ≥ 1

là một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

a) b) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ có là hằng số hay không.

c) d) Xét thương ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}$ có là hằng số hay không.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng vì ${u_{n + 1}} - {u_n} = 5,\forall n \ge 1$.

b) Sai vì ${u_{n + 1}} - {u_n} = n$ không là hằng số.

c) Đúng vì ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = 5$ là hằng số.

d) Sai vì ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = n$ không là hằng số.

Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và S_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H_n.

a) Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không? Vì sao?

b) Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

a) Dãy số (u_n) là CSC nếu u_n+1−u_n = d không đổi.

b) Dãy số (u_n) là cấp số nhân thì ${u_{n + 1}} = q{u_n}$ với q không đổi.

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có:

${p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2$ với mọi $n \in N^*$

Gọi d là công sai của cấp số cộng (u_n), d ≠ 0. Khi đó với mọi $n \in N^*$, ta có:

${p_{n + 1}} - {p_n} = 4{u_{n + 1}} - 4{u_n}$

$= 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d$ (không đổi)

Vậy (p_n) là cấp số cộng.

${S_{n + 1}} - {S_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2$ $= \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)$

$= d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)$ không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S_n) không là cấp số cộng.

b) Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), q > 0. Khi đó với mọi $n \in N^*$, ta có:

${{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q$ (không đổi)

${{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {\left( {\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}} \right)^2}= {q^2}$ (không đổi)

Từ đó suy ra các dãy số (p_n) và (S_n) là cấp số nhân.

Cho dãy số (un) xác định bởi:

${u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6}$ với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Phương pháp giải:

- Tính toán một vài số hạng đầu và dự đoán dãy số đã cho là dãy không đổi.

- Chứng minh bằng quy nạp dự đoán và suy ra dãy không đổi vừa là CSC vừa là CSN.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_2} = \sqrt {{u_1} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\ {u_3} = \sqrt {{u_2} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\ ... \end{array}$

Dự đoán ${u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)$ với mọi n.

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Với n = 1 ta có $u_1=3$, (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n=k tức là: ${u_k} = {\rm{ }}3$

+) Ta chứng minh ${u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3$

Thật vậy ta có ${u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3$

Vậy ${u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1$ do đó (un) vừa là cấp số cộng công sai d = 0 vừa là cấp số nhân công bội q = 1.

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở Cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u_n và v_n tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a) Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c) Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?

d) Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Phương pháp giải:

a) Dựa vào giải thiết đề cho tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b) Dãy số (u_n) được gọi là 1 CSC nếu  với d là một hằng số.

Dãy số (u_n) là cấp số nhân nếu  với q không đổi.

c)Sử dụng công thức tính tổng CSC để tính $A_{20}:{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$

Sử dụng công thức tính tổng CSN để tính $B_{20}: {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

d) Sử dụng công thức tính tổng CSC để tính $A_{25}:{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$

Sử dụng công thức tính tổng CSN để tính $B_{25}: {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & {u_2} = {u_1} + 500 = 8000 + 500 = 8500 \cr & {u_3} = {u_2} + 500 = 8500 + 500 = 9000 \cr & {v_2} = {v_1} + {v_1}.0,07 = {v_1}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_1}.1,07 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6000.1,07 = 6420 \cr & {v_3} = {v_2} + {v_2}.0,07 = {v_2}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_2}.1,07 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6420.1,07 = 6869,4 \cr}$

b) Theo giả thiết của bài toán, ta có:

${u_1} = 8000\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 500$ với mọi n ≥ 1 (1)

$\eqalign{ & {v_1} = 6000\,\text{ và }\,{v_{n + 1}} = {v_n} + {v_n}.0,07 \cr & = {v_n}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_n}.1,07 \text{ với mọi } n ≥ 1 \;(2)\cr}$

Từ (1) suy ra (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 500 và số hạng đầu u₁ = 8000.

Số hạng tổng quát: $u_n= 8000 + (n – 1).500 = 7500 + 500n$

Từ (2) suy ra (v_n) là một cấp số nhân với công bội q = 1,07 và số hạng đầu v₁ = 6000.

Số hạng tổng quát: ${v_n} = {\rm{ }}6000{\rm{ }}.{\rm{ }}{\left( {1,07} \right)^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}$

c) Kí hiệu A₂₀ và B₂₀ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B.

Từ kết quả phần b, ta có:

A₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng u_n. Do đó:

${A_{20}} = {{20.\left( {2{u_1} + 19d} \right)} \over 2} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} \right) = 255000$

B₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (v_n). Do đó:

${B_{20}} = v_1{{1 - {q^{20}}} \over {1 - q}} = 6000.{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{20}}} \over {1 - 1,07}} = 245972,9539$

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thuê cơ sở B.

d) Kí hiệu A₂₅ và B₂₅ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

${A_{25}} = {{25.\left( {2{u_1} + 24d} \right)} \over 2} = 12,5.\left( {2.8000 + 24.500} \right) = 350000$

${B_{25}} = v_1{{1 - {q^{25}}} \over {1 - q}} = 6000.{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{25}}} \over {1 - 1,07}} = 379494,2263$

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai :

a. Tồn tại một cấp số nhân (u_n) có u₅ < 0 và u₇₅ > 0

b. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 thì các số ${a^2},{b^2},{c^2}$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

c. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số ${a^2},{b^2},{c^2}$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

a) Tính ${{{u_{75}}} \over {{u_5}}}$ và so sánh với 0.

b) Xét các số 1, 2, 3 và đưa ra kết luận.

c) Tìm công bội của dãy số ${a^2},{b^2},{c^2}$.

Hướng dẫn giải:

a. Sai vì ${{{u_{75}}} \over {{u_5}}} = {q^{70}} > 0$

b. Sai chẳng hạn 1, 2, 3 là cấp số cộng nhưng 1, 4, 9 không là cấp số cộng.

c. Đúng vì nếu a, b, c, là cấp số nhân công bội q thì các số  là cấp số nhân công bội q².

Cho dãy số (u_n) xác định bởi: ${u_1} = {1 \over 2}\text{ và }u_n={u_{n - 1}} + 2n$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₅₀ bằng:

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Phương pháp giải:

Tính ${u_n} - {u_{n - 1}}$ và suy ra u₅₀

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & {u_n} - {u_{n - 1}} = 2n \cr & \Rightarrow {u_{50}} = \left( {{u_{50}} - {u_{49}}} \right) + \left( {{u_{49}} - {u_{48}}} \right) + ... + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1} \cr & = 2\left( {50 + 49 + ... + 2} \right) + {1 \over 2} \cr & = 2.{{49.52} \over 2} + 0,5= 2548,5 \cr}$

Chọn B.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = - 1\text{ và }{u_n} = 2n.{u_{n - 1}}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₁₁ bằng:

A. 2¹⁰.11!

B. -2¹⁰.11!

C. 2¹⁰.11¹⁰

D. -2¹⁰.11¹⁰

Phương pháp giải:

Tính ${{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 2n$ và suy ra u₁₁

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & {{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 2n \cr & \Rightarrow {u_{11}} = {{{u_{11}}} \over {{u_{10}}}}.{{{u_{10}}} \over {{u_9}}}...{{{u_2}} \over {{u_1}}}.{u_1} \cr & = \left( {2.11} \right)\left( {2.10} \right)...\left( {2.2} \right).\left( { - 1} \right) \cr & = - {2^{10}}.11! \cr}$

Chọn B

Cho dãy số (u_n) xác định bởi: ${u_1} = 150\,\text{ và }\,{u_n} = {u_{n - 1}} - 3$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng

A. 150

B. 300

C. 29850

D. 59700

Phương pháp giải:

- Chứng minh dãy (u_n) là một cấp số cộng.

- Sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng: ${S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${u_n}-{\rm{ }}{u_{n - 1}} = {\rm{ }} - 3$

⇒ (u_n) là cấp số cộng công sai d = -3

$\eqalign{ & {S_{100}} = {{100\left( {2{u_1} + 99d} \right)} \over 2} \cr & = 50\left( {300 - 297} \right) = 150 \cr}$

Chọn A.

Cho cấp số cộng (u_n) có: u₂ = 2001 và u₅ = 1995.

Khi đó u₁₀₀₁ bằng

A. 4005

B. 4003

C. 3

D. 1

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$

- Lập hệ phương trình tìm u₁ và d ⇒ u₁₀₀₁.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{u_1} + 4d = 1995} \cr {{u_1} + d = 2001} \cr} } \right. \Rightarrow \left\{ {\matrix{{d = - 2} \cr {{u_1} = 2003} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow {u_{1001}} = {u_1} + 1000d = 2003 - 2000 = 3 \cr}$

Chọn C.

Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = -2 và u₅ = 54.

Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

A. ${{1 - {3^{1000}}} \over 4}$

B. ${{{3^{1000}} - 1} \over 2}$

C. ${{{3^{1000}} - 1} \over 6}$

D. ${{1 - {3^{1000}}} \over 6}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng của CSN: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & {u_5} = {u_1}{q^4},{u_2} = {u_1}q \cr & \Rightarrow {q^3} = {{54} \over { - 2}} = - 27 \Rightarrow q = - 3,{u_1} = {2 \over 3} \cr & \Rightarrow {S_{1000}} = {u_1}.{{1 - {q^{1000}}} \over {1 - q}} = {2 \over 3}.{{1 - {3^{1000}}} \over 4} = {{1 - {3^{1000}}} \over 6} \cr}$

Chọn D.