Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 5: Đạo hàm cấp cao
Nội dung giải bài tập trang 218, 219 SGK Toán 11 Nâng cao Bài Đạo hàm cấp cao bên dưới đây sẽ giúp các em học thật tốt môn Toán. Qua tài liệu này các em sẽ nắm được phương pháp giải cụ thể của từng bài từ đó đưa ra lời giải phù hợp với đề ra. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 42 trang 218 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
2. Giải bài 43 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
3. Giải bài 44 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
4. Giải bài 45 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
5. Giải bài 46 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 5: Đạo hàm cấp cao
1. Giải bài 42 trang 218 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.
a) f(x)=x4−cos2x,f(4)(x)
b) f(x)=cos2x,f(5)(x)
c) f(x)=(x+10)6,f(n)(x)
Phương pháp giải:
Tính lần lượt các đạo hàm f'(x), f''(x),...
Chú ý: f''(x)=[f'(x)]',...
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
f′(x)=4x3+2sin2xf"(x)=12x2+4cos2xf(3)=24x−8sin2xf(4)(x)=24−16cos2x
b) Ta có:
f′(x)=2cosx(−sinx)=−sin2xf"(x)=−2cos2xf(3)(x)=4sin2xf(4)=8cos2xf(5)(x)=−16sin2x
c) Ta có:
f′(x)=6(x+10)5f"(x)=30(x+10)4f(3)(x)=120(x+10)3f(4)(x)=360(x+10)2f(5)(x)=720(x+10)f(6)(x)=720f(n)(x)=0,∀n≥7
2. Giải bài 43 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:
a) Nếu f(x)=1x thì f(n)(x)=(−1)n.n!xn+1
b) Nếu f(x)=cosx thì f(4n)(x)=cosx.
c) Nếu f(x)=sinax (a là hằng số) thì f(4n)(x)=a4nsinax.
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ≥ 1, ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1.
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Hướng dẫn giải:
a) Cho f(x)=1x(x≠0). Ta hãy chứng minh công thức:
f(n)(x)=(−1)n.n!xn+1(∀x≥1)(1) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với n = 1, ta có: f(n)(x)=f′(x)=−1x2 và (−1)n.n!xn+1=−1x2
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1), tức là: f(k)(x)=(−1)k.k!xk+1
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là:
f(k+1)(x)=(−1)k+1.(k+1)!xk+2
Thật vậy, ta có:
(f(k+1)(x)=[f(k)(x)]′=[(−1)k.k!xk+1]′=(−1)k.k!−(xk+1)′(xk+1)2=(−1)k.k!.(−1).(k+1)xkx2k+2=(−1)k+1.(k+1)!xk+2
Vậy ta có đpcm.
b) Cho f(x) = cos x. Ta hãy chứng minh công thức:
f(4n)(x)=cosx(∀n≥1)(2) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có:
f′(x)=−sinxf"(x)=−cosxf‴(x)=sinxf(4)(x)=cosx
+ Với n = 1 thì f(4n)(x)=f(4)(x)=cosx
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1), tức là: f(4k)(x)=cosx
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là phải chứng minh:
f(4(k+1))(x)=cosx hay f(4k+4)(x)=cosx.
Thật vậy, vì:
f(4k)(x)=cosx nên f(4k+1)(x)=−sinxf(4k+2)(x)=−cosxf(4k+3)(x)=sinxf(4k+4)(x)=cosx
Vậy ta có đpcm.
c) Ta có:
f′(x)=acosaxf"(x)=−a2sinaxf(3)(x)=−a3cosaxf(4)(x)=a4sinax
Với n = 1 ta có f(4)(x)=a4sinax, đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k tức là: f(4k)(x)=a4ksinax
Với n = k + 1 ta có f(4k+4)(x)=(f(4k))(4)(x)=(a4ksinax)(4)
Do f(4k)(x)=a4ksinax
f(4k+1)(x)=a4k+1cosaxf(4k+2)(x)=−a4k+2sinaxf(4k+3)(x)=−a4k+3cosaxf(4k+4)(x)=a4k+4sinax
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1, do đó đẳng thức đúng với mọi n.
3. Giải bài 44 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t2, trong đó t>0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm
a) Tại thời điểm t = 4,
b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.
Phương pháp giải:
a) - Tính công thức gia tốc bằng cách lấy đạo hàm của vận tốc.
- Thay t = 4 vào công thức gia tốc.
b) - Thay v = 11 vào công thức vận tốc để tìm t.
- Thay t vừa tìm được vào công thức gia tốc.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: a(t) = v’(t) = 8 + 6t
Khi t = 4s thì a(4) = 32 m/s2
b) Khi v(t) = 11 m/s thì ta được:
8t+3t2=11⇔[t=1t=−113(loại)
Với t = 1s thì a(1) = 14 m/s2.
4. Giải bài 45 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y=tan23x−cot3x2
b) y=√cos22x+1
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức dy=y′dx.
Hướng dẫn giải:
a) y′=2tan3x.(tan3x)′−(3x2)′.−1sin23x2
=2tan3x.(3x)′.1cos23x+6x.(1+cot23x2)=6tan3x(1+tan23x)+6x.(1+cot23x2)
⇒dy=y′dx=[6tan3x(1+tan23x)+6x(1+cot23x2)]dx
b)y′=(cos22x+1)′2√cos22x+1=2cos2x.(cos2x)′2√cos22x+1=2cos2x.(−2sin2x)2√cos22x+1=−sin4x√cos22x+1⇒dy=y′dx=−sin4x√cos22x+1dx
5. Giải bài 46 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):
a) 1√20,3.
Hướng dẫn: Xét hàm số y=1√x tại điểm x0=20,25=4,52 với Δx=0,05.
b) tan29˚30’.
Hướng dẫn: Xét hàm số y = tanx tại điểm x0=π6 với Δx=−π360
Phương pháp giải:
Công thức tính gần đúng f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx
Hướng dẫn giải:
a) Vì 1√20,3=1√20,25+0,05 nên ta xét hàm số f(x)=1√x tại x0=20,25 và Δx=0,05.
Ta có:
f′(x)=−(√x)′(√x)2=−12√xx=−12x√x
Với Δx=0,05. Ta có:
f(x0)=1√20,25=14,5f′(x0)=−12.20,25.√20,25=−1182,25
Do đó:
1√20,3=f(20,3)=f(x0+0,05)=f(x0)+f′(x0).0,05=14,5−0,05182,25≈0,222
b) Vì tan29∘30′=tan(π6−π360) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại x0=π6.
Ta có: f′(x)=(tanx)′=1cos2x=1+tan2x
Với Δx=−π360. Ta có:
f(x0)=tanπ6=1√3f′(x0)=1+tan2π6=43.
Do đó:
tan(π6−π360)≈f(x0)+f′(x0)Δx =1√3+43(−π360)≈0,566
6. Giải bài 47 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
a) Cho hàm số f(x)=tanx. Tính f(n)(x) với n = 1, 2, 3.
b) Chứng minh rằng nếu f(x)=sin2x thì f(4n)(x)=−24n−1cos2x.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức đạo hàm (tanx)′=1+tan2x.
b) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Hướng dẫn giải:
f′(x)=1+tan2xf"(x)=2tanx.(1+tan2x)f(3)(x)=2(1+tan2x)2+4tan2x(1+tan2x)
b) f(4n)(x)=−24n−1cos2x (1)
Với n = 1 ta có:
f′(x)=2sinxcosx=sin2xf"(x)=2cos2xf(3)(x)=−4sin2xf(4)(x)=−8cos2x=−24.1−1cos2x
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là: f(4k)(x)=−24k−1cos2x
Với n = k + 1 ta có:
f(4k+1)(x)=(f(4k)(x))′=24ksin2xf(4k+2)(x)=24k+1cos2xf(4k+3)(x)=−24k+2sin2xf(4k+4)(x)=−24k+3cos2x=−24(k+1)−1cos2x
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.
7. Giải bài 48 trang 219 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
a) Nếu y=Asin(ωt+φ)+Bcos(ωt+φ), trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì y"+ω2y=0.
b) Nếu y=√2x−x2 thì y3y"+1=0.
Phương pháp giải:
Tính y'' rồi thay vào tính vế trái của các đẳng thức, kiểm tra bằng vế phải và kết luận.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
y=Asin(ωt+φ)+Bcos(ωt+φ) nên y′=Aωcos(ωt+φ)−Bωsin(ωt+φ)y"=−Aω2sin(ωt+φ)−Bω2cos(ωt+φ)Suy ra:y"+ω2y=−[Aω2sin(ωt+φ)+Bω2cos(ωt+φ)]+ω2[Asin(ωt+φ)+Bcos(ωt+φ)]=0
b) Ta có:
y′=2−2x2√2x−x2=1−x√2x−x2y″=(1−x)′√2x−x2−(1−x)(√2x−x2)′2x−x2=−√2x−x2−(1−x).(2x−x2)′2√2x−x22x−x2=−√2x−x2−(1−x).2−2x2√2x−x22x−x2=−√2x−x2−(1−x).1−x√2x−x2(2x−x2)=−2x+x2−1+2x−x2√(2x−x2)3=−1√(2x−x2)3Suy ray3.y"+1=√(2x−x2)3.−1√(2x−x2)3+1=−1+1=0
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Khái niệm đạo hàm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 4: Vi phân