Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 4: Vi phân

Tính vi phân của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) tại điểm \(x = {\pi \over 3}\) ứng với ∆x = 0,01 ; ∆x = 0,001.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính vi phân tại điểm x₀:

\(df({x_0}) = f'({x_0})\Delta x\)

Hướng dẫn giải:

\(\eqalign{ & df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x.\, \text{ Ta có }\,f'\left( x \right) = 2\cos 2x \cr & df\left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\Delta x = - \Delta x \cr} \)

Với \(\Delta x = 0,01\,\text{ thì }\,df\left( {{\pi \over 3}} \right) = - 0,01\)

Với \(\Delta x = 0,001\,\text{ thì }\,df\left( {{\pi \over 3}} \right) = - 0,001\)

Tính vi phân của các hàm số sau:

a) \(y = {{\sqrt x } \over {a + b}}\) (a và b là các hằng số).

b) \(y = x\sin x\)

c) \(y = {x^2} + {\sin ^2}x\)

d) \(y = {\tan ^3}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(dy=y'dx\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(y' = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{a + b}}} \right)' \) \(= \frac{1}{{a + b}}.\left( {\sqrt x } \right)'\) \( = \frac{1}{{a + b}}.\frac{1}{{2\sqrt x }} \) \( = \frac{1}{{2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}\)

\(\Rightarrow dy = {1 \over {2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}dx\)

b) \(y' = \sin x + x\cos x\)

\(\Rightarrow dy = y'dx = \left( {\sin x + x\cos x} \right)dx\)

c) \(y' = \left( {{x^2} + {{\sin }^2}x} \right)' \)

\(= 2x + 2\sin x\cos x \\= 2x + \sin 2x\)

Vậy \(dy = y'dx = \left( {2x + \sin 2x} \right)dx\).

d) Ta có:

\(y' = \left( {{{\tan }^3}x} \right)' \)

\(= 3{\tan ^2}x.\left( {\tan x} \right)' \)

\(= 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \)

\(= 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\)

Vậy \(dy = y'dx = 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\)

Áp dụng công thức (2), tìm giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

a) \({1 \over {0,9995}}\)

b) \(\sqrt {0,996} \)

c) \(\cos 45^\circ 30'\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức (2): \(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over x},\,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {{x^2}}}\)

Đặt \({x_0} = 1,\Delta x = - 0,0005\) và áp dụng công thức gần đúng:

\(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

Ta được: \({1 \over {{x_0} + \Delta x}} \approx {1 \over {{x_0}}} - {1 \over {x_0^2}}.\Delta x\)

\(\Rightarrow \frac{1}{{1 + \left( { - 0,0005} \right)}} \approx \frac{1}{1} - \frac{1}{{{1^2}}}.\left( { - 0,0005} \right)\)

Hay: \({1 \over {0,9995}} \approx 1 + 0,0005 = 1,0005\)

b) Xét

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x \,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt x }} \cr & {x_0} = 1,\Delta x = - 0,004 \cr & f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x \cr & \Rightarrow \sqrt {{x_0} + \Delta x} \approx \sqrt {{x_0}} + \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\Delta x \cr &\Leftrightarrow \sqrt {1 + \left( { - 0,004} \right)} \approx \sqrt 1 + \frac{1}{{2\sqrt 1 }}.\left( { - 0,004} \right)\cr & \Leftrightarrow \sqrt {0,996} \approx 1 - {1 \over 2}.0,004 = 0,998 \cr} \)

c) Xét hàm số f(x) = cos x, ta có: \(f'\left( x \right) = - \sin x.\)

Đặt \({x_0} = {\pi \over 4},\Delta x = {\pi \over {360}}\)

(Vì \({\pi \over {360}} = 30'\)) và áp dụng công thức gần đúng trên, ta được:

\(\eqalign{ & \cos \left( {{\pi \over 4} + {\pi \over {360}}} \right) \approx \cos {\pi \over 4} - \sin \left( {{\pi \over 4}} \right).{\pi \over {360}} \cr & \text{Vậy }\,\cos 45^\circ 30' \approx {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{\pi \over {360}} \approx 0,7009 \cr} \)