Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 4: Vi phân

Tính vi phân của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ tại điểm $x = {\pi \over 3}$ ứng với ∆x = 0,01 ; ∆x = 0,001.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính vi phân tại điểm x₀:

$df({x_0}) = f'({x_0})\Delta x$

Hướng dẫn giải:

$\eqalign{ & df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x.\, \text{ Ta có }\,f'\left( x \right) = 2\cos 2x \cr & df\left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\Delta x = - \Delta x \cr}$

Với $\Delta x = 0,01\,\text{ thì }\,df\left( {{\pi \over 3}} \right) = - 0,01$

Với $\Delta x = 0,001\,\text{ thì }\,df\left( {{\pi \over 3}} \right) = - 0,001$

Tính vi phân của các hàm số sau:

a) $y = {{\sqrt x } \over {a + b}}$ (a và b là các hằng số).

b) $y = x\sin x$

c) $y = {x^2} + {\sin ^2}x$

d) $y = {\tan ^3}x$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $dy=y'dx$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$y' = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{a + b}}} \right)'$ $= \frac{1}{{a + b}}.\left( {\sqrt x } \right)'$ $= \frac{1}{{a + b}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}$ $= \frac{1}{{2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}$

$\Rightarrow dy = {1 \over {2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}dx$

b) $y' = \sin x + x\cos x$

$\Rightarrow dy = y'dx = \left( {\sin x + x\cos x} \right)dx$

c) $y' = \left( {{x^2} + {{\sin }^2}x} \right)'$

$= 2x + 2\sin x\cos x \\= 2x + \sin 2x$

Vậy $dy = y'dx = \left( {2x + \sin 2x} \right)dx$.

d) Ta có:

$y' = \left( {{{\tan }^3}x} \right)'$

$= 3{\tan ^2}x.\left( {\tan x} \right)'$

$= 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

$= 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)$

Vậy $dy = y'dx = 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx$

Áp dụng công thức (2), tìm giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

a) ${1 \over {0,9995}}$

b) $\sqrt {0,996}$

c) $\cos 45^\circ 30'$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức (2): $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số $f\left( x \right) = {1 \over x},\,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {{x^2}}}$

Đặt ${x_0} = 1,\Delta x = - 0,0005$ và áp dụng công thức gần đúng:

$f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$

Ta được: ${1 \over {{x_0} + \Delta x}} \approx {1 \over {{x_0}}} - {1 \over {x_0^2}}.\Delta x$

$\Rightarrow \frac{1}{{1 + \left( { - 0,0005} \right)}} \approx \frac{1}{1} - \frac{1}{{{1^2}}}.\left( { - 0,0005} \right)$

Hay: ${1 \over {0,9995}} \approx 1 + 0,0005 = 1,0005$

b) Xét

$\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x \,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt x }} \cr & {x_0} = 1,\Delta x = - 0,004 \cr & f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x \cr & \Rightarrow \sqrt {{x_0} + \Delta x} \approx \sqrt {{x_0}} + \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\Delta x \cr &\Leftrightarrow \sqrt {1 + \left( { - 0,004} \right)} \approx \sqrt 1 + \frac{1}{{2\sqrt 1 }}.\left( { - 0,004} \right)\cr & \Leftrightarrow \sqrt {0,996} \approx 1 - {1 \over 2}.0,004 = 0,998 \cr}$

c) Xét hàm số f(x) = cos x, ta có: $f'\left( x \right) = - \sin x.$

Đặt ${x_0} = {\pi \over 4},\Delta x = {\pi \over {360}}$

(Vì ${\pi \over {360}} = 30'$) và áp dụng công thức gần đúng trên, ta được:

$\eqalign{ & \cos \left( {{\pi \over 4} + {\pi \over {360}}} \right) \approx \cos {\pi \over 4} - \sin \left( {{\pi \over 4}} \right).{\pi \over {360}} \cr & \text{Vậy }\,\cos 45^\circ 30' \approx {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{\pi \over {360}} \approx 0,7009 \cr}$