Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\) (1)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{Z}^+}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1 ta có \(1 = {{1\left( {1 + 1} \right)} \over 2}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh:

\(1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)

Thật vậy ta có:

\(\eqalign{ & 1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) \cr & = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2} + \left( {k + 1} \right) \cr & = {{k\left( {k + 1} \right) + 2\left( {k + 1} \right)} \over 2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức:

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{Z}^+}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1 ta có \({2^2} = {{2.2.3} \over 3}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:  

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\eqalign{ & {2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right).k\left( {2k + 1} \right)}}{3} + 4{\left( {k + 1} \right)^2} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k} \right) + 12{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{3}\cr&= {{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right)} \over 3} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{3} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 4k + 3k + 6} \right)}}{3}\cr& = {{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau:

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{Z}^+}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1 ta có \(1 < 2\sqrt 1\).

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh: 

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)\)

Theo giả thiết qui nạp ta có:

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

\(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Thật vậy ta có :

\(\eqalign{ & 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1 \cr & \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr} \)

\(\Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\)

⇔ 0 < 1 (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với n = k + 1, do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*.\)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 2 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 2 ta có \(1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với n = 2

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:

\(\eqalign{ & \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 2.

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên n > 1, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 2 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 2 ta có: \({1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\)

Như vậy  (1) đúng khi n = 2

+) Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 2, tức là giả sử:

\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh

\({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\eqalign{ & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \({u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\) (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:

+ Chứng minh (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n = k.

+ Chứng minh (1) đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1, ta có:

\({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}}= 7 + 3 = 10 \ \vdots \ 5\)

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

+) Giả sử (1) đúng khi n = k, \(k \in \mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}] \ \vdots \ 5\)

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, ta có:

\(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr & = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr & ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr & = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr} \)

Vì \(u_k \ ⋮ \ 5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho 5 ta được điều cần chứng minh.

Cho số thực x > -1. Chứng minh rằng:

\({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) (1) với mọi số nguyên dương n.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{Z}^+}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1, ta có \({\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x\)

Như vậy, ta có (1) đúng khi n = 1

+) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là: 

\({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\)

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.

Thật vậy, từ giả thiết x > -1 nên (1 + x) > 0

Theo giả thiết qui nạp, ta có: \({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) (2)

Nhân hai vế của (2) với 1 + x ta được:

\(\eqalign{ & {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr & = 1 + x + kx + k{x^2}\cr&= 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \cr&\ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr} \)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*.\)

Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu \({8^k} + 1\) chia hết cho 7 thì \({8^{k + 1}} + 1\) cũng chia hết cho 7” như sau:

Ta có: \({8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7.\) Từ đây và giả thiết “\({8^k} + 1\) chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra \({8^{k + 1}} + 1\) chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “\({8^n} + 1\) chia hết cho 7 với mọi \(n \in \mathbb N^*\)” hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Kiểm tra kết luận với n = 1.

Hướng dẫn giải:

Không thể kết luận “\({8^n} + 1\) chia hết cho 7 với mọi \(n \in \mathbb N^*\)”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n = 1.

Cụ thể:

Với n = 1 thì \(8^1+1=9\) không chia hết cho 7.

Vậy không cần làm các bước chứng minh như bạn HS trên.