Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 4: Cấp số nhân

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a) Dãy số 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64

b) Dãy số (u_n) với \({u_n} = n{.6^{n + 1}}\)

c) Dãy số (v_n) với \({v_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{.3^{2n}}\)

d) Dãy số (x_n) với \({x_n} = {\left( { - 4} \right)^{2n + 1}}\)

Phương pháp giải:

Dãy số (u_n) là cấp số nhân thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\) với q không đổi.

Hướng dẫn giải:

a) Dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội q = -2.

b) \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){6^{n + 1}}}}{{n{{.6}^n}}} = \frac{{6\left( {n + 1} \right)}}{n}\) với mọi n ≥ 1.

Do \(\frac{{6\left( {n + 1} \right)}}{n}\) không phải là hằng số nên (u_n) không phải là cấp số nhân.

c) \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.3}^{2\left( {n + 1} \right)}}} \over {{{\left( { - 1} \right)}^n}{{.3}^{2n}}}} = \frac{{ - {{1.3}^{2n + 2}}}}{{{3^{2n}}}} = - 9\) với mọi n ≥ 1.

Suy ra (v_n) là một cấp số nhân với công bội q = -9.

d) \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 3}}} \over {{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}} = \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}.{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}}= 16\) với mọi n ≥ 1.

Suy ra (x_n) là một cấp số nhân với công bội q = 16.

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng:

a) Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0 < q < 1, là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

b) Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q > 1 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa cấp số nhân để chọn đáp án đúng.

Hướng dẫn giải:

a)  Giảm

b)  Tăng

Cho cấp số nhân \(({u_n}) \) có công bội q < 0. Biết \(u_2=4\) và \(u_4=9\), hãy tìm \(u_1\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\displaystyle \left\{ {\matrix{{{u_2} = 4} \cr {{u_4} = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1}q = 4\left( 1 \right)} \cr {{u_1}{q^3} = 9\left( 2 \right)} \cr} } \right.\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\displaystyle {q^2} = {9 \over 4} \Rightarrow q = - {3 \over 2}\) (vì q < 0)

Từ (1) suy ra \(\displaystyle {u_1} = {4 \over q} = - {8 \over 3}\)

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \({1 \over {16}}\). Hãy tìm cấp số nhân đó. 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của cấp số nhân: \({u_{k + 1}}{u_{k - 1}} = u_k^2\)

Hướng dẫn giải:

Với mỗi \(n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\), kí hiệu u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho.

Vì \({u_1} > 0,{u_2} > 0\) nên cấp số nhân (u_n) có công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} > 0\).

Do đó \({u_n} > 0{\rm{ }}\;\forall {\rm{ }}n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}.\)

Từ đó:

\(\eqalign{ & 1 = {u_1}.{u_3} = u_2^2 \Rightarrow {u_2} = 1 \cr & {1 \over {16}} = {u_3}.{u_5} = u_4^2 \Rightarrow {u_4} = {1 \over 4} \cr & u_3^2 = {u_2}.{u_4} = {1 \over 4} \Rightarrow {u_3} = {1 \over 2} \cr} \)

Do đó \({u_1} = {1 \over {{u_3}}} = 2\,\text{ và }\,{u_5} = {1 \over {16}}:{u_3} = {1 \over 8}\)

Vậy cấp số nhân cần tìm là: \(2,1,{1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8}\)

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 0 và \({u_1} \ne 0\). Cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

Áp dụng:

a) Tìm công bội q của cấp số nhân (u_n) có \(u_4=2\) và \(u_7=-686\).

b) Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u_n) mà \(u_2=5\) và \(u_{22}=-2000\)?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & {u_m} = {u_1}.{q^{m - 1}}\,\,\left( 1 \right) \cr & {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Lấy (1) chia (2) ta được:

\({{{u_m}} \over {{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

Áp dụng:

Ta có:

\({u_7} = {u_4}{q^{7 - 4}} \Rightarrow - 686 = 2.{q^3} \)\(\Leftrightarrow {q^3} = - 343 \Leftrightarrow q = - 7\)

b) Không tồn tại. Thật vậy,

Giả sử ta có

\(\begin{array}{l} {u_{22}} = {u_2}{q^{22 - 2}}\\ \Rightarrow - 2000 = 5.{q^{20}}\\ \Leftrightarrow {q^{20}} = - 400 < 0 \end{array}\)

(vô lí)

Vậy không tồn tại cấp số nhân như trên.

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) , biết rằng \(u_3=-5\) và \(u_6=135\).

Phương pháp giải:

- Sử dụng kết quả bài 33: \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}} \Leftrightarrow {q^{m - k}} = \frac{{{u_m}}}{{{u_k}}}\)

- Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có:

\(\eqalign{ & {q^3} = {{{u_6}} \over {{u_3}}} = {{135} \over { - 5}} = - 27 \Leftrightarrow q = - 3 \cr & - 5 = {u_3} = {u_1}.{q^2} = 9{u_1} \Leftrightarrow {u_1} = - {5 \over 9} \cr} \)

Số hạng tổng quát: \( {u_n} = - {5 \over 9}.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} = - 5.{\left( { - 3} \right)^{n - 3}}\)

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Phương pháp giải:

- Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.

- Tìm các yếu tố của cấp số nhân như u₁ và q.

- Từ đó tính số hạng \(u_{53}\).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.

Sau 1 chu kì bán rã thì \({u_1} = \frac{{20}}{2} = 10\left( {gam} \right)\)

Ta có 7314 ngày gồm 7314 : 138 = 53 chu kì bán rã.

Như thế, theo đề bài, ta cần tính \(u_{53}\).

Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {\rm{ }}10\) và công bội \(q = {1 \over 2}.\)

Do đó:

\({u_{53}} = 10.{\left( {{1 \over 2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}} (gam)\)

Tính các tổng sau:

a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;

b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng \({1 \over {256}}\), số hạng thứ hai bằng \({{ - 1} \over {512}}\) và số hạng cuối bằng \( {1 \over {1048576}}\)

Phương pháp giải:

- Tính \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}\)

- Tính số các số hạng của cấp số nhân theo công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

- Tính tổng \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có: \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {{54} \over {18}} = 3\)

Giả sử cấp số nhân có n số hạng ta có:

\(\eqalign{ & 39366 = {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {18.3^{n - 1}} \cr & \Rightarrow {3^{n - 1}} = {{39366} \over {18}} = 2187 = {3^7} \cr&\Rightarrow n = 8 \cr & \Rightarrow {S_8} = {u_1}.{{1 - {q^8}} \over {1 - q}} = 18.{{1 - {3^8}} \over {1 - 3}} \cr&= 59040 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{ & q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = - {1 \over 2} \cr & {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \cr&\Rightarrow {1 \over {1048576}} = {1 \over {256}}.{\left( { - {1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr & \Leftrightarrow {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{4096}} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{12}} \cr&\Leftrightarrow n - 1 = 12 \Leftrightarrow n = 13\cr& \Rightarrow {S_{13}} = {1 \over {256}}.{{1 - {{\left( {{{ - 1} \over 2}} \right)}^{13}}} \over {1 - \left( { - {1 \over 2}} \right)}}\cr& = {{2731} \over {1048576}} \cr} \)

Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

- Sử dụng tổng số đo các góc của một tứ giác bằng \(360^o\)

- Công thức số hạng tổng quát tìm q: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

- Công thức tổng n số hạng đầu tìm số đo góc nhỏ nhất: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu A, B, C, D là số đo bốn góc (tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho.

Không mất tổng quát, giả sử A ≤ B ≤ C ≤ D.

Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có D = 8A, và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân đó, ta có :

\(8A = D = A.q^3 \Leftrightarrow {q^3} = 8⇔ q = 2\)

Do đó \(360 ^0= A + B + C + D = A.{{1 - {2^4}} \over {1 - 2}} = 15A \Leftrightarrow A = 24^0\)

Suy ra \(B = A.2 = 48^0, C = A.2^2= 96^0 \ và \ D = A.2^3= 192\)

Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

a) Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

b) Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

c) \(1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = {{{\pi ^{100}} - 1} \over {\pi - 1}}\)

Phương pháp giải:

a) Dãy số (u_n) được gọi là 1 cấp số cộng nếu \({u_{n + 1}} = {u_n} + d,\forall n \in {N^*}\) với d là một hằng số.

b) Dãy số (u_n) là cấp số nhân thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\) với q không đổi.

c) Sử dụng công thức tổng cấp số nhân: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Sai vì 1, 2, 3 là cấp số cộng nhưng \(1,{1 \over 2},{1 \over 3}\) không là cấp số cộng.

b) Đúng vì nếu a, b, c là cấp số nhân công bội q ≠ 0 thì \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) là cấp số nhân công bội \({1 \over q}.\)

c) Sai vì dãy \(1,\pi ,{\pi ^2},...{\pi ^{100}}\) là một CSC có 101 số hạng và \({u_1} = 1,q = \pi.\)

Tổng 101 số hạng trên là:

\(S_{101}=1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} \)

\(= \frac{{1.\left( {1 - {\pi ^{101}}} \right)}}{{1 - \pi }}\) \(= {{{\pi ^{101}} - 1} \over {\pi - 1}}\)

Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất cấp số cộng: \({u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\)

- Tính chất cấp số nhân: \({u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = u_k^2\)

- Lập hệ phương trình ẩn x, y.

- Giải hệ và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Vì các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên:

\(2\left( {5x + 2y} \right) = \left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right)\) \( \Leftrightarrow 10x + 4y = 9x + 7y\) \(\Leftrightarrow x = 3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên:

\({\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3y} \right) \ \left( 2 \right)\)

Thế (1) vào (2), ta được:

\({\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {3y - 1} \right)\left( {3y - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - 2.\)

Từ đó x = -6.

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai khác 0. Biết rằng các số u₁u₂, u₂u₃ và u₃u₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Phương pháp giải:

- Định nghĩa cấp số nhân: \({u_n} = q{u_{n - 1}}\)

- Sử dụng tính chất cấp số cộng: \({u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\)

Hướng dẫn giải:

Vì cấp số cộng (u_n) có công sai khác 0 nên các số u₁, u₂, u₃ đôi một khác nhau

\(\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}.{u_2} \ne {\rm{ }}0\) và \(q\ne1\).

Vì u₁u₂, u₂u₃ và u₃u₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_2}{u_3} = q.{u_1}{u_2}\\ {u_3}{u_1} = {q^2}.{u_1}{u_2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_3} = q{u_1}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {u_3} = {q^2}{u_2}\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(1 = \frac{{q{u_2}}}{{{u_1}}} \Leftrightarrow {u_1} = q{u_2}\)

Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) là một cấp số cộng nên \({u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}\)

\( \Rightarrow q{u_2} + {q^2}{u_2} = 2{u_2} \) \(\Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \) \(\Leftrightarrow q + {q^2} = 2 \) \(\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 1\left( {\text{loại vì }q \ne 1} \right)\\ q = - 2 \end{array} \right.\)

Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất cấp số cộng: \({u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\)

- Sử dụng số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu (u_n) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân u₂, u₁, u₃.

Vì cấp số cộng (u_n) có công sai khác 0 nên các số u₁, u₂, u₃ đôi một khác nhau, suy ra \(q \ne 0,q \ne 1,{u_2} \ne 0\)

Do u₂, u₁, u₃ là CSN nên u₁ = u₂q, u₃ = u₂q₂

Do u₁, u₂, u₃ là CSC nên:

u₁ + u₃ = 2u₂

\( \Rightarrow {u_2}q + {u_2}{q^2} = 2{u_2}\) \( \Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \) \(\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0\,\left( {\text{vì }\,{u_2} \ne 0} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 1\left( {loại} \right)\\ q = - 2\left( {nhận} \right) \end{array} \right.\)

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Phương pháp giải:

- Sử dụng số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

- Mở rộng: \({u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)

- Định nghĩa cấp số nhân: \({u_n} = q{u_{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂ và u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Nếu \({u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0 \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\) (mâu thuẫn)

Do đó \({u_1} \ne 0.\)

Theo bài ra ta có: 

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\ {u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q - {u_1} = 3d\\ {u_2}q - {u_2} = 4d \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,(1)\\ {u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,(2) \end{array} \right. \end{array}\)

Xét hai trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: q ≠ 1.

Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u₁ ≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)

Từ đó:

\(\eqalign{ & {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr & = {u_1}.{{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr & \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = {4 \over 9}.\)

+ Trường hợp 2: q = 1.

Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\)

\(\Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\) \( \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\)

Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là:

\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)

Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

\(u_1=1\) và \(u_{n+1}=5u_n+8\) với mọi n ≥ 1.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n), với v_n = u_n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b) Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Phương pháp giải:

a) Cộng cả hai vế của đẳng thức đã cho với 2 để làm xuất hiện \(v_{n+1}\) và \(v_n\).

b) Sử dụng mối quan hệ giữa \(v_n\) và \(u_n\) kết hợp với số hạng tổng quát đã tìm được ở câu a để suy ra \(u_n\).

Hướng dẫn giải:

Với mọi n ≥ 1, ta có :

\({u_{n + 1}} = 5{u_n} + 8\) \(\Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5{u_n} + 10 \) \(\Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right) \) \(\Rightarrow {v_{n + 1}} = 5{v_n}\)

Do đó (v_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\) và công bội q = 5.

Số hạng tổng quát: \({v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)

b) \({v_n} = {u_n} + 2 \)

\(\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2\) với mọi n ≥ 1.