Toán 6 Chương 1 Bài 18: Bội chung nhỏ nhất

Ví dụ 1: Nhận xét rằng, các số 0, 6, 12, 18,… vừa là bội của 3 vừa là bội của 6, khi đó ta nói “chúng là bội chung của 3 và 6”.

Từ đó, ta có định nghĩa:

Cho hai số a và b. Nếu có một số d thoả mãn:

\(d\,\, \vdots \,\,a\) và \(d\,\, \vdots \,\,b\)

thì d được gọi là bội chung của a và b.

Tập hợp các bội của hai số a và b được kí hiệu là BC(a, b)

Chú ý:

Ta cần chú ý tới:

* Nếu \(x \in BC(a,b,c,...)\) thì \(x\,\, \vdots \,\,a,\,x\,\, \vdots \,\,b,\,x\,\, \vdots \,\,c,...\)

* \(BC(a,b) = B(a)\,\, \cap \,\,B(b)\)

Ví dụ 2: Ta có

B(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30,…}

B(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 45,…}

\( \Rightarrow \) BC(6, 8) = {0, 24, 48,…}

khi đó, số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8) là 24. Ta nói 24 là bội chung nhỏ nhất của 6 và 8.

Từ đó, ta có định nghĩa:

Bội chung nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).

Nhận xét:

* BCNN(a, 1) = a.

* BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

* Mọi bội chung của a va b đều là BCNN(a, b).

Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c,…)

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tính các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau:

ƯCLN(a, b) . BCNN(a,b) = a.b

Ví dụ 3: Hãy xác định:

a. BCNN(8,18,28)

b. BCNN(9, 26)

c. BCNN(150, 25, 75)

Giải

Ta lần lượt thực hiện:

* Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

\(\begin{array}{l}8 = {2^3}\\18 = {2.3^2}\\28 = {2^2}.7\end{array}\)

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 7.

Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 3, 3 có số mũ lớn nhất là 2 và 7 có số mũ lớn nhất là 1.

Khi đó:

\(BCNN\left( {8,{\rm{ }}18,{\rm{ }}28} \right) = {2^3}{.3^2}.7 = 504\)

b. Nhận xét rằng:

ƯCLN(8, 19) = 1

Do đó, suy ra:

BCNN(9, 26) = 9 . 26 = 243.

c. Nhận xét rằng:

\(\begin{array}{l}150\,\,\, \vdots \,\,\,25\\150\,\,\, \vdots \,\,\,75\end{array}\)

Do đó, suy ra:

BCNN(150, 25, 75) = 150

Chú ý:

Ta cần chú ý tới:

* Nếu (a, b) = 1 thì BCNN(a, b) = a.b

* Nếu \(a \vdots b\) và \(a \vdots c\) thì BCNN(a,b,c,…)=a.

* Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Câu 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 7 thì dư 6, khi chia cho 25 thì dư 24.

Hướng dẫn giải:

Giả sử a là số phải tìm.

Vì a chia 3 dư 2, chia 7 dư 6 và chia 25 dư 24 nên a + 1 chia hết cho 2, 7, 25.

Do đó

a = BCNN(3, 7, 25)

Ta có:

BCNN(3,7,25) \({3.5^2} = 7 = 525\)

Vậy số cần tìm a = 254.

Câu 2: Có ba chiếc hộp hình vuông: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm. Người ta xếp thành ba chông bằng nhau, mỗi chồng một màu. Hỏi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp đó.

Hướng dẫn giải:

Giả sử chiều cao nhỏ nhất của mỗi chồng là a (cm)

Ta có:

a = BCNN(7, 8, 12) = \({2^3}.3.7 = 168\) (cm)

Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168cm.

Câu 3: Tìm số tự nhiên a. Biết số đó chia hết cho 7 và khi chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 và a < 400.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a – 1 = BC(2, 3, 4, 5, 6)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a - 1 \in {\rm{\{ }}60,120,180,240,300,360\} \\ \Rightarrow a \in {\rm{\{ }}61,121,181,241,301,361\} \end{array}\)

Do \(a \vdots 7\) nên a = 301

Vậy a = 301

Câu 1: Tìm BCNN của: 

a) 20 và 35

b) 12; 25 và 26

Câu 2: Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45.

Câu 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 5 thì dư 4, khi chia cho 9 thì dư 8, khi chia cho 13 thì dư 12.

Câu 1: Tìm BCNN (9; 10; 11)

A. 90

B. 99

C. 110

D. 990

Câu 2: Tìm bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400

A. 0, 75, 150, 225, 300, 375

B. 0, 75, 150, 225, 300

C. 75, 150, 225, 300, 375

D. 0, 75, 225, 300, 375

Câu 3: Chọn khẳng định sai:

A. Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó

B. Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. 

C. Mọi số tự nhiên đều là bội của 1

D. Nếu a chia hết cho m, a chia hết cho n thì a không chia hết cho BCNN của m và n

Câu 4: Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đề vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách.

A. 240

B. 300

C. 360

D. 540

Câu 5: Tìm các bội chung có ba chữ số của 63, 35 và 105

A. 315, 630, 945

B. 630, 945, 1260

C.  630, 945

D. 315, 630

Qua bài giảng Bội chung nhỏ nhất này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Khái niệm bội chung, bội chung nhỏ nhất.

• Cách tìm BCNN của các số.

• Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN.