Toán 12 Chương 4 Bài 3: Phép chia số phức

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$

(Nhân cả tử và mẫu với $a - bi$(số phức liên hợp của mẫu)).

Với số phức $z\ne0$ ta có:

Số phức nghịch đảo của $z$: ${z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .$

Thương của $z'$ chia cho $z$: $\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}.$

Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: ${\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.$

Hướng dẫn giải

${\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z$

$\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.$

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun $\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .$

Tính số phức sau: $z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.$

Hướng dẫn giải

Ta có:  $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i$$\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.$

Vậy: ${\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.$

Tìm số phức liên hợp của số phức: $z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i$

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: $\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i$.

Tìm môđun của số phức $z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:$z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.$

Vậy môđun của số phức z là: $\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}$.

Tìm số phức z thỏa: $\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\overline z \ne -2i$ hay $z\ne 2i$

Khi đó:  $\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}$$\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)$

$\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}$

$\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4$

$\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i$

$\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i$.

Câu 1: Thực hiện các phép chia sau:

a) $\dfrac{2+i}{3-2i}$;          

b) $\dfrac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$

c) $\dfrac{5i}{2-3i}$

d) $\dfrac{5-2i}{i}$

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) ${{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)} \over {3 + 2i}}$                           

 b) ${{(3 - 4i)(1 + 2i)} \over {1 - 2i}} + 4 - 3i$

Câu 3: Tìm nghịch đảo $\dfrac{1}{z}$ của số phức $z$, biết:

a) $z = 1 + 2i$

b) $z = \sqrt2 - 3i$

c) $z = i$

d) $z = 5 + i\sqrt3$

Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) $(3  + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)$                          

b) $2ix + 3 = 5x + 4i$

c) $3x(2 – i)  +1 = 2ix(1 + i) + 3i$

Câu 5: Chứng minh rằng:

a) $\overline {({{{z_1}} \over {{z_2}}})}  = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}$

b) $|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}$

Câu 1: Viết số phức $\frac{1}{{{z^3}}}$  ở dạng $a + bi$ với $a,b\in\mathbb{R}$ biết $z=1+i$.

A. $\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i$

B.  $\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$

C.  $\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i$

D. $\frac{1}{{{z^3}}} = i$

Câu 2: Cho số phức z thỏa $\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i$. Tìm số phức $\omega = 1 + z + {z^2}.$

A.  $\omega = - 2 - 3i$

B.  $\omega = 2 + 3i$

C.  $\omega = 2 - 3i$  

D. $\omega = - 2 + 3i$

B.  $\left| {\rm{w}} \right| = 2$

C.  $\left| {\rm{w}} \right| =5$

D.  $\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5$

A. 17

B. 13

C. 7

D. 5

A. ${(2 + 2i)^2}$

B. $(\sqrt 2 + 3i) + (\sqrt 2 - 3i)$

C. $(\sqrt 2 + 3i).(\sqrt 2 - 3i)$

D. $\frac{{2 + 3i}}{{2 - 3i}}$

Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được các phép tính về tổng và tích của hai số phức liên hợp
• Hiểu được phép chia hai số phức .
• Thực hiện được các phép tính cộng , trừ , nhân , chia số phức .