Toán 12 Chương 2 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Nếu $a>1$

• $a^x>a^y\Leftrightarrow x>y$
• ​$a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)$

- Nếu $0 < a < 1$: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

b) Phương pháp lôgarit hóa

Nếu ${a^{f(x)}} > b{\rm{  }}(1)$

$(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ f(x) > {\log _a}b \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ f(x) < {\log _a}b \end{array} \right. \end{array} \right.$

Nếu ${a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)$

$(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ f(x) > g(x).{\log _a}b \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ f(x) < g(x).{\log _a}b \end{array} \right. \end{array} \right.$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

$a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0$​: Đặt $t=m^{f(x)}$, ta có $at^2+bt+c>0$

$a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0$ trong đó $m.n=1$: Đặt $t=m^{f(x)}$, ta có $a.t+b.\frac{1}{t}+c>0$$\Leftrightarrow at^2+ct+b>0$

 $a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0$

Chia cả 2 vế cho $n^{2g(x)}$, ta có:

​$a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0$

Đặt $t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}$, ta có $at^2+bt+c>0$

Dạng 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

Đưa về bất phương trình tích.

Xem ẩn ban đầu như là tham số.

Dạng 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:

Đưa về bất phương trình tích.

Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

Xét hàm số $y=a^x$:

Nếu $a>1$: $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Nếu $0 < a < 1:y = {a^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$, nếu:

$f(x)$đồng biến trên D.

$g(x)$ ​nghịch biến trên D.

⇒ $f(x)-g(x)$ đồng biến trên D.

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với $a>1:$ $\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.$
Với $0 < a < 1:{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) < g(x)\\ f(x) > 0 \end{array} \right.$

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: $\log_a \ f(x)> b \ \ (1)$ với $0 < x \ne 1$

​$a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b$

​$0 < a < 1,(1) \Leftrightarrow 0 < f(x) < {a^b}$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ

Dạng 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

Dạng 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.

Xem ẩn ban đầu là tham số

Bất phương trình tích

Dạng 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

Xét hàm số $y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):$

$a>1, y =\log_a x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

​$0 < a < 1,y = {\log _a}x$ nghịch biến trên  $(0;+\infty )$.

Xét hai hàm số $f(x)$ và $g(x):$

- Nếu $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì $f(x)+g(x)$ là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.

- Nếu $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số đồng biến trên tập D và $f(x).g(x)>0$ thì $f(x).g(x)$ là hàm số đồng biến trên tập D.

- Nếu $f(x)$ đồng biến trên D, $g(x)$ nghịch biến trên D:

• $f(x)-g(x)$ đồng biến trên D.
• $f(x)-g(x)$ nghịch biến trên D.

Câu 1: Giải bất phương trình ${{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0$.

Hướng dẫn giải

${{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}$ $\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0$(1)

Đặt $t = {3^x} > 0$.

Ta có: (1) $\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$

Vậy bất phương trình có nghiệm: $S = \left[ { - 1;1} \right].$

Câu 2: Giải bất phương trình  ${3^x} + {4^x} > {5^x}.$

Hướng dẫn giải

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

${3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.$

Xét hàm số: $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},$ TXĐ: $D=\mathbb{R}$  

$f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}$

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: $f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2$ 

Vậy BPT có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ;2} \right).$

Câu 3: Giải bất phương trình  ${\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}$

Vậy: ${\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}$ $\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3$

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2$

Vậy BPT có tập nghiệm $S = \left[ { - 1;2} \right]$

Câu 1: Giải bất phương trình  $x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.$ 

Hướng dẫn giải

ĐK: $x>1$

Xét hàm số $f(x) = x + {\log _3}(x + 1)$ trên $\left( { - 1; + \infty } \right).$ 

Ta có $f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0$ 

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\left( { - 1; + \infty } \right).$   

Mặt khác $f(2) = 3$ 

Do đó: $f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2$  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {2; + \infty } \right).$

Câu 2: Giải bất phương trình $\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.$

Hướng dẫn giải

Đặt $t = {\log _2}x,$ khi đó phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}$

Do đó ta có:

$\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].$

Câu 3: Giải bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.$

Hướng dẫn giải

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5$

$\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Câu 1: Giải các bất phương trình mũ:

a) $\small 2^{-x^{2}+3x}<4$

b) $\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}\geq \frac{9}{7}$

c) $3^{x+2} + 3^{x-1} \leq 28$

d) $4^x - 3.2^x + 2 > 0$

Câu 2: Giải các bất phương trình mũ sau :

a) ${3^{|x - 2|}} < 9$

b) ${4^{|x + 1|}} > 16$

c) ${2^{ - {x^2} + 3x}} < 4$

d) ${\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}$

e) ${11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}$

Câu 3: Giải các bất phương trình lôgarit:

a) $\small log_8(4- 2x) \geq 2$

b) $log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)$

c) $log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3$

d) $log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0$

Câu 4: Giải các bất phương trình logarit sau :

a) ${\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2$

b) ${\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1$

c) ${\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0$

d) ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0$

e) $\frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1$

Câu 5: Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị

a) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$

b) ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \ge x + 1$

c) ${\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x$

d) ${\log _2}x \le 6 - x$

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: ${2^{{x^2} - x + 1}} > {4^{x + 1}}.$

A. $S = \left( {\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right)$

B. $S = \left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}; + \infty } \right)$

C. $S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$

D. $S = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$

Câu 2: Giải bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0$.

A. $2\leq x\leq 4$

B. $x\leq 4$

C. $x\geq 2$

D. $x \le 2$ hoặc $x \geq 4$

Câu 3: Giải bất phương trình ${9^x} - {\log _2}8 < {2.3^x}.$

A. x>0

B. x<0

C. x>1

D. x<1

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $2{\log _3}\left( {4x - 3} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \le 2.$

A. $S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$

B. $S = \left[ {\frac{3}{4};3} \right]$

C. $S =\left( {\frac{3}{4};3} \right]$

D. $S = \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2}$

$> \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).$ 

A.  $S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)$

B.  $S = \left( {3; + \infty } \right)$

C.  $S = (3;9)$

D.  $S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)$

Qua bài học này giúp học sinh biết được một số nội dung chính như sau

• Nắm được cách giải các bpt mũ, bpt logarit dạng cơ bản, đơn giản.Qua đógiải được các bpt mũ, bpt logarit cơ bản , đơn giản
• Vận dụng thành thạo tính đơn điệu của hàm số mũ ,logarit dể giải các bptmũ, bpt loga rit cơ bản, đơn giản
• Kỹ năng lôgic , biết tư duy mở rộng bài toán.