Toán 12 Chương 2 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

a) Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng ${a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)$

+) Với $b > 0$ ta có ${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$.

+) Với $b \le 0$ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình ${5^x} = 125$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với $0 < a \neq 1, log_ab$ là số x sao cho $a^x=b$

Với $a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

Dạng 1: $a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0$

Đặt $t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)$

Ta có: $a.t^2+b.t+c=0$

Dạng 2: $a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0$ trong đó $m.n=1$

Đặt $t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)$

Ta có: $a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0$.

Dạng 3: $a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0$

Chia 2 vế cho $n^{2g(x)}$ ta có:

$a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0$

Đặt $t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}$

Ta có $a.t^4+b.t^2+c=0$.

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 

Xem ẩn đầu là tham số

Đưa về phương trình tích

Đưa về hệ phương trình

Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó

Đưa về phương trình tích

Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

Xét hàm số $y=a^x$:

Nếu $a>1$: $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Nếu \(0

Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$, nếu:

$f(x)$đồng biến trên D.

$g(x)$ ​nghịch biến trên D.

⇒ $f(x)-g(x)$ đồng biến trên D.

a) Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng ${\log _a}x = b$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$

Ta có: ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$.

Phương trình luôn có nghiệm $x = {a^b}$.

Ví dụ: Giải phương trình ${\log _5}x =  - 2$.

Ta có: ${\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{25}}$.

b) Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ${\log _2}x + {\log _4}x = 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}$

c) Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{1}{{\ln x}} + \frac{1}{{\ln x - 1}} = \frac{5}{6}$.

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.$

Đặt $t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}\frac{1}{t} + \frac{1}{{t - 1}} = \frac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \frac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}$.

d) Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình ${\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x$

ĐK: $3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}$

Câu 1: Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  ${3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0$

b)  ${4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình $\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0$. Đặt $t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)$

Khi đó phương trình trở thành: $3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.$

(*) Với $t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

(*) Với $t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}$.

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0$

Nhận xét: $u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}$

Khi đó phương trình tương đướng với:

$u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.$.

Câu 2: Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  ${2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}$

b) ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}$  

Hướng dẫn giải

a) ${2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}$

 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}$

$\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3$.

Câu 3: Giải phương trình  ${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1$ (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Hướng dẫn giải

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1$

$\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = 0,x = - {\log _2}3$.

Câu 1: Giải phương trình ${\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}$ (Dùng phương pháp mũ hóa)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.$

$\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Câu 2: Giải phương trình  $\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5$ (Đặt ẩn phụ)

Hướng dẫn giải

 $\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}$

Đặt: $t = {\log _2}x.$ Phương trình trở thành:

${t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x=2$ và $x=\frac{1}{32}$.

Câu 3: Giải phương trình ${\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)$ (Đưa về cùng cơ số)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: ${3^{50}} + 2x > 0$, khi đó ta có:

${\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}$

Câu 1: Giải các phương trình mũ

a) ${{\left( 0,3 \right)}^{3x-2}}=1;$ 

b) ${{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{x}}=25;$

c) ${{2}^{{{x}^{2}}-3x+2}}=4;$

d) ${{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}=2.$ 

Câu 2: Giải các phương trình mũ sau:

a) $(0,75)^{2x-3}=\left(1\dfrac 1 3 \right)^{5-x}$

b) ${{5}^{{{x}^{2}}-5x-6}}=1$

c) ${{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x+1}}$

d) ${{32}^{\frac{x+5}{x-7}}}=0,{{25.125}^{\frac{x+17}{x-3}}}$

Câu 3: Giải các phương trình lôgarit:

a) ${{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right);$

b) $\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2;$

c) ${{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3;$

d) $\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right).$

Câu 4: Giải các phương trình lôgarit:

a) $\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \dfrac{1}{5x};$

b) $\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x;$

c) ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13.$

Câu 1: Cho phương trình ${3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ trong đó ${x_1} < {x_2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${x_1} + {x_2} = - 2$

B. ${x_1} . {x_2} = - 1$

C. $2{x_1} + {x_2} = 0$

D. ${x_1} +2 {x_2} = - 1$

Câu 2: Tìm giá trị của m để phương trình ${2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}$ có hai nghiệm phân biệt.

A. $m < \frac{1}{3}$

B.  $m > \sqrt{10}$

C.   $3 < m < \sqrt{10}$

D.  $1 \leq m < 3$

Câu 3: Phương trình $2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 4: Tìm m để phương trình $\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0$ có nghiệm duy nhất.

A.  $m=\pm1$

B.  $m=\pm3$

C.  $m=\pm 2$

D. Không tồn tại m

Câu 5: Phương trình ${2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Qua bài học này giúp các em biết được một số nội dung sau:

• Biết ác dạng phương trình mũ và phương trình logarit co bản, phương pháp giải một số phương trình mũ và phương trình logarit đơn giản.
• Biết vận dụng các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit vào giải các phương trình mũ và logarit cơ bản.
• Biết cách vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp vẽ đồ thị và các phương pháp khác vào giải phương trình mũ, phương trình logarrit đơn giản.