Toán 12 Chương 3 Bài 1: Nguyên hàm

a) Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

b) Định lý

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.

- Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

c) Tính chất của nguyên hàm

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

d) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

• $\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}$
• $\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne - 1)}$
• $\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}$
• $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C}$
• $\int {{e^x}dx = {e^x} + C}$
• $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}$
• $\int {\cos xdx = \sin x + C}$
• $\int {\sin xdx = - \cos x + C}$
• $\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}$
• $\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}$

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:

• $\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne - 1)}$
• $\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0$
• $\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}$
• $\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C$
• $\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = - \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C$

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số $y = f({\rm{u)}}$ liên tục sao cho $f[u(x)]$ xác định trên K. Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức là $\int {f(u)du = F(u) + C}$ thì $\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.$

Hệ quả:

Với $u = ax + b\,(a \ne 0),$ ta có:

$\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số $u = u\left( x \right)$ và $y = v\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx}$.

Chú ý: Viết gọn $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau

a) $I = \int {{x^8}}dx$

b) $I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx$

c) $I=\int \frac{1}{x^5}dx$

d) $I=\int\frac{1}{2x}dx$

Hướng dẫn giải:

a) $I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C}$

b) $I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }$

c) $I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ - 5}}dx = \frac{1}{{ - 5 + 1}}{x^{ - 5 + 1}} + C = } } - \frac{1}{4}{x^{ - 4}} + C$

d) $I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}$

Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau:

a) $I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}$

b) $I = \int {{e^{{e^x} + x}}dx}$

c) $I = \int {{e^{2{x^2} + \ln {\rm{x}}}}dx}$

d) $I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx$

e) $I=\int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$

Hướng dẫn giải

a) Đặt: $t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.$

Từ đó ta được: 

$I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C$

$= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C$

b) Ta có: ${e^{{e^x} + x}} = {e^{{e^x}}}.{e^x}$

Đặt: ${e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt$

Từ đó ta được:

$I = \int {{e^t}dt} = \int {{e^t}dt} = {e^t} + C = {e^{{e^x}}} + C$

c) Ta có: $M = \int {{e^{2{x^2}}}.{e^{\ln x}}dx = } \int {{e^{2{x^2}}}.xdx}$

Đặt: $2{x^2} = t \Rightarrow 4xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{4}$

Ta được: $M = \int {{e^t}\frac{{dt}}{4} = \frac{1}{4}{e^t} + C = \frac{1}{4}{e^{2{x^2}}}} + C.$

d) $I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx$

Đặt: $\sqrt[{10}]{{x + 1}} = t \Rightarrow x + 1 = {t^{10}} \Rightarrow dx = 10{t^9}dt$

Ta được:

$\begin{array}{l} N = \int {\frac{{{t^{10}} - 1}}{t}.10{t^9}dt} = 10\int {\left( {{t^{10}} - 1} \right){t^8}dt} \\ = 10\int {\left( {{t^{18}} - {t^8}} \right)dt} = \frac{{10}}{{19}}{t^{19}} - \frac{{10}}{9}{t^9} + C \end{array}$

 $\, = \frac{{10}}{{19}}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + + 1} \right)}^{19}}}} - \frac{{10}}{9}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} + C$

e) Ta có:$I = \int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{2\sin x\cos x.{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} } dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}.\sin 2xdx}$

Đặt: $1 + {\cos ^2}x = t \Rightarrow \sin 2xdx = - dt$

$\Rightarrow S = - \frac{1}{2}\int {\frac{{t - 1}}{t}dt} = - \frac{1}{2}\int {dt + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} = - \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C}$

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) $I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}$

b) $I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}$

c) $I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}$

d) $I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}$

Hướng dẫn giải

a) Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.$

$\Rightarrow I = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.$$\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - {I_1}$

Tính ${I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.$

$\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C$

Vậy: $I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C$

c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}$

Tính: ${I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.$

 $\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4{e^x} + C = \left( {4x - 3} \right){e^x} + C$

$\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \left( {4x - 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C$

d) $\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}$

Tính ${I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.$

$\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x - \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C$

Vậy: $I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C$

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) $\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}$

b) $f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}$

c) $f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$

d) $f(x) = sin5x.cos3x$

e) $f(x) = tan^2x$

Câu 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {\left( {x - 9} \right)^4}$

b) $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}$

c) $f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

d) $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}$

Câu 3: Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a) $\small \int (1-x)^9dx$ (đặt u =1-x)

b) $\small \int x(1+x^2)^\frac{3}{2} dx$​ (đặt u = 1 +  x2)

c) $\small \int cos^3x.sinxdx$ (đặt t = cosx)

d) $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$ (đặt u= ex +1)

Câu 4: Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) $\mathop \smallint \nolimits {x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}dx$ với x > - 1 (đặt $t = 1 + {x^3}$   

b) $\mathop \smallint \nolimits x{e^{ - {x^2}}}dx$   (đặt $t = {x^2}$)

c) $\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx$ (đặt $t = 1 + {x^2}$);

d) $\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x }}dx$ (đặt $t = \sqrt x$);

e) $\int {\sin } \frac{1}{x}.\frac{1}{{{x^2}}}dx$ (đặt $t = \frac{1}{x}$)

Câu 5: Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $\smallint (1 - 2x)exdx$

b) $\smallint xe - xdx$     

c) $\smallint x\ln (1 - x)dx$

d) $\smallint x\sin 2xdx$

Câu 1: Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = 2x + 1$ và $f(1)=5.$

A. $f(x) = {x^2} + x + 3$

B. $f(x) = {x^2} + x - 3$

C. $f(x) = {x^2} + x$

D. $f(x) = {x^2} -x$

Câu 2: Cho F(x) là một nguyên hàm của $f(x) = {e^{3x}}$ thỏa mãn F(0) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $F(x) = {e^{3x}}$  

B.  $F(x) = - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{4}{3}$

C.  $F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}$ 

D. $F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}$

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}.$

A. $\int {f(x)dx} = \ln x - \ln {x^2} + C$

B. $\int {f(x)dx} = \ln x - \frac{1}{x} + C$

C. $\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$

D. $\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C$

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \tan x$.

A.  $\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C$

B.  $\int {f(x)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + C$

C.  $\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C$ 

D.  $\int {f(x)dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C$

Câu 5: Tìm hàm số $y=f(x)$ biết rằng $f'(x) = ({x^2} - x)(x + 1)$ và $f(0)=3.$ 

A. $y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3$

B. $y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3$

C.  $y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 3$

D.  $y = 3{x^2} - 1$

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số ý chính như sau:

• Định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.
• Phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản cũng như là sự tồn tại của các nguyên hàm
• Biết vận dụng bảng các nguyên hàm vào tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
• Biết cách áp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm vào tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho.