Toán 12 Ôn tập chương 4: Số phức

• Số phức $z = a + bi$ có phần thực là $a$, phần ảo là $b$ ($a,b\in\mathbb{R}$ và $i^2=-1$).
• Số phức bằng nhau $a + bi = c + di \Leftrightarrow$ $a=c$ và $b=d.$
• Số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bới điểm $M(a,b)$ trên mặt phẳng toạ độ.

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

• $z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• $z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• $z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$

(Nhân cả tử và mẫu với $a - bi$(số phức liên hợp của mẫu)).

Các căn bậc hai của số thực $a<0$ là $\pm i\sqrt a.$

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.$

Đặt $\Delta=b^2-4ac$

• Nếu $\Delta=0$ thì phương trình có một nghiệm kép (thực) $x=-\frac{b}{2a}.$
• Nếu $\Delta>0$ thì phương trình có hai nghiệm thực $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.$
• Nếu $\Delta<0$ thì phương trình có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.$

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $(1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.$ Tìm môđun của số phức $w=z+2\bar{z}.$

Hướng dẫn giải

Đặt $z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi$

Ta có $(1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i$

$\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+(3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i$

$\Leftrightarrow 4a+(4a-2b)i=4+10i\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=4\\ 4a-2b=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right.$

Do đó $z= 1- 3i.$

Ta có: $w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.$

Suy ra môđun của w là $\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.$

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}$. Tính $\left |z_1 -z_2 \right |.$

Hướng dẫn giải

Đặt: $z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i \ (a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)$

$\left\{\begin{matrix} \left | z_1 \right | =\left | z_2 \right |=1\\ \left | z_1 +z_2\right |=\sqrt{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2=1\\ (a_1+b_2)^2+(b_1+b_2)^2=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1$

Vậy $\left | z_1-z_2 \right |=1.$

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện $z+(2+i)\bar{z}=3+5i.$

Hướng dẫn giải

Giả sử $z=a+bi(a,b\in R)$

Ta có 

$z+(1+i)\bar{z}=3+5i\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i$

$\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=3\\ a-b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-3 \end{matrix}\right.$

Vậy z=2-3i.

Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.

Tìm số phức z sao cho (1 +2i)z là số thuần ảo và $\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}$.

Hướng dẫn giải

Giả sử $z=a+bi \ (a,b\in R)$.

Khi đó $(1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i.$

(1 +2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi: $a-2b=0\Leftrightarrow a=2b$

$\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | =\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.$

Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: $z=2+i;z=-2-i.$

Câu 1: Tìm các số thực $x, y$ sao cho:

a) $3x + yi = 2y + 1 + (2-x)i$

b) $2x + y – 1 = (x – 2y – 5)i$

Câu 2: Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)                       

b) ${{2 + i\sqrt 2 } \over {1 - i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 - i\sqrt 2 }}$

c) ${{(1 + i)(2 + i)} \over {2 - i}} + {{(1 + i)(2 - i)} \over {2 + i}}$

Câu 3: Thực hiện các phép tính:

a) ${(2 + 3i)^2} - {(2 - 3i)^2}$                                         

b) ${{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 - i)}^3}}}$

Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i                 

b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]

Câu 5: Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]$

b) $\displaystyle (4 - 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}}$

c) $(1 + i)^2 – (1 – i)^2$

d) $\displaystyle{{3 + i} \over {2 + i}} - {{4 - 3i} \over {2 - i}}$

Câu 1: Gọi $z_1$ và $z_2$ là các nghiệm của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ trên tập số phức. Tính $P = {z_1}^4 + {z_2}^4.$ 

A. P=-14

B. P=14

C. P=-14i

D. P=14i

Câu 2: Tính tổng S của các số phức z thỏa $\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$ biết $\left| z \right| = \sqrt 5 .$ 

A. S=2

B. S=2i

C. S=i

D. S=0

Câu 3: Phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2}$ là

A. 1 và 3

B. 1 và -3 

C. -2 và $2\sqrt 3$

D. 2 và $-2\sqrt 3$

Câu 4: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện $z + \left( {2 - i} \right)\overline z  = 13 - 3i$ là

A. 3

B. 5

C. 17

D. $\sqrt {17}$

Câu 5: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - $\overline z$)(1 + i) - 5z = 8i - 1 là

A. 1

B. 5

C. $\sqrt {13}$

D. 13

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số ý chính như sau:

• Nắm được định nghĩa số phức, phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Số phức liên hợp.
• Nắm vững được các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia số phức – Tính chất của phép cộng, nhân số phức.
• Nắm vững cách khai căn bậc hai của số thực âm. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.