Toán 12 Chương 3 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

a) Biểu thức tọa độ tích có hướng

Cho hai vectơ $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$, vectơ $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]$ được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ được xác định như sau:

$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\ {{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\ {{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\ {{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}} \end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})$

b) Tính chất 

Vectơ $\overrightarrow n$ vuông góc với cả hai vectơ  $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$

c) Ứng dụng của tích có hướng

Chứng minh tính đồng phẳng của vectơ:

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}\neq 0.$ Suy ra 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0$.

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}= 0$. Suy ra A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi $\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}=0$.

Tính diện tích tam giác và hình bình hành:

Diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |$.

Diện tích tam giác $\Delta ABC$: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |$.

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ $\vec n$ khác $\vec 0$ có giá vuông góc với (P) thì $\vec n$ được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: $Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)$.

Với $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ là Vectơ pháp tuyến (VTPT).

c) Viết phương trình mặt phẳng khi biết Vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng đó

Mặt phẳng (P) đi qua điểm ${{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}$, nhận vectơ ${\vec n = (A;B;C)}$ làm VTPT có phương trình tổng quát là:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

e) Một số cách xác định Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Gọi $\vec n$ là VTPT của mặt phẳng (P), giải sử tồn tại $\vec u_1$ và $\vec u_2$ sao cho $\left.\begin{matrix} \vec{n}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \vec{n}\perp \overrightarrow{u_2} \end{matrix}\right\}$ thì $\vec{n}=\left [ \overrightarrow{u_1}; \overrightarrow{u_2} \right ]$ là một VTPT của mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (ABC) có một VTPT $\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]$.

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):

​Gọi: $\overrightarrow{n}_P$ là một VTPT của (P), $\overrightarrow{n}_Q$ là một VTPT của (Q) khi đó: $\overrightarrow{n}_P=\overrightarrow{n}_Q.$

Cho đường thẳng AB và mặt phẳng (P): $\bigg \lbrack \begin{matrix} AB\subset (P)\\ AB //(P) \end{matrix}$ thì $\vec{n_P}\perp \overrightarrow{AB}.$

Nếu $(P)\perp (Q)$ thì $\overrightarrow{n}_P\perp \overrightarrow{n}_Q$.

Cho hai mặt phẳng $(\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ có một VTPT $\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)$ và $(\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ có một VTPT $\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)$.

Khi đó vị trí tương đối giữa $(\alpha_1)$ và $(\alpha_2)$ được xác định như sau:

$(\alpha _1)//(\alpha _2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} \vec{n_1}=k.\vec{n_2}\\ D_1\neq D_2 \end{matrix}\right.$.

Nếu $A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0$: $(\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}$.

$(\alpha _1)\equiv (\alpha _2)$ khi và chỉ khi  $\left\{\begin{matrix} \vec{n_1}=k.\vec{n_2}\\ D_1=k. D_2 \end{matrix}\right.$.

Nếu $A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0$ thì $(\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}$.

$(\alpha _1),(\alpha _2)$ cắt nhau khi và chỉ khi $\vec{n_1}\neq k.\vec{n_2}$.

Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)$
và điểm $M(x_0,y_0,z_0)$.
Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: $d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

​Nếu $A_2,B_2,C_2\neq 0$ thì $(\alpha _1),(\alpha _2)$ cắt nhau $\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}$.

Cho hai mặt phẳng $(P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ và $(Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$ có VTPT lần lượt là:

$\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)$ và $\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)$, khi đó:

​$cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}$$=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}$

Chú ý

$0^0\leq (\widehat{P,Q})\leq 90^0$.

$(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q$$\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$.

Câu 1: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).

a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow {AB} ( - 2;3;1),\overrightarrow {AC} ( - 3;4;2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (2;1;1) \ne \overrightarrow 0$ nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.

b) ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

c) $AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{1^2} + {{(4 - 3)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} }} = \sqrt 2$.

Câu 2: Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)

a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.

c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right);$ $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {1; - 1; - 3} \right).$

$\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2 \ne 0.$

Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.

Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{3}$ 

Mà: ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{1}{{{S_{BCD}}}}.$   

$\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 4; - 6;0} \right) \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = \sqrt {13} .$

Vậy: $AH = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.$   

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm ${M_0}( - 2;3;1)$ và vuông góc với đường thẳng AB với $A(3;1; - 2):B(4; - 3;1).$

b) (P) đi qua điểm ${M_0}( - 2;3;1)$ và song song với mặt phẳng (Q): $4x - 2y + 3z - 5 = 0.$  

c) (P) đi qua điểm ${M_0}( - 2;3;1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.

d) (P) đi qua 3 điểm $A(2;0; - 1);B(1; - 2;3);C(0;1;2).$

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 4;3).$

Do (P) đi qua ${M_0}( - 2;3;1)$ nên có phương trình là:

$1(x + 2) - 4(y - 3) + 3(z - 1) = 0$$\Leftrightarrow (P):x - 4y + 3z + 11 = 0.$  

b) (P)//(Q)$\Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_(}_{P)}} = VTPT{\overrightarrow n _{(Q)}} = (4; - 2;3).$ 

$(P):4(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):4x - 2y + 3z + 11 = 0.$

c) Ta có: ${\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;2)}\\ {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; - 1)} \end{array}} \right\}}$

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: ${\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,\overrightarrow {{n_{(R)}}} } \right] = (1;5;7)}.$

Mặt khác (P) đi qua ${M_0}( - 2;3;1)$ nên có phương trình là:

$(P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.$

d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:

$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\\ \overrightarrow {AC} = ( - 2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 10; - 5; - 5).$

Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:

 $(P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.$

Câu 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:

a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.

b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.

c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.

Hướng dân giải

a) Ta có: $\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{4}{1}$ vậy hai mặt phẳng cắt nhau.

b) Ta có: $\frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{4}{7}$ vậy hai mặt phẳng song song.

c) Ta có: $\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{{ - 6}}{{ - 8}} = \frac{{ - 12}}{{ - 16}}$ vậy hai mặt phẳng trùng nhau.

Câu 3: Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: $\left( {{m^2} - 5} \right)x - 2y + mz + m - 5 = 0$ và $x + 2y - 3nz + 3 = 0.$  

Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l} \frac{{{m^2} - 5}}{1} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{m}{{ - 3n}} = \frac{{m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 = - 1\\ m = 3n\\ m - 5 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 2\\ n = \frac{m}{3}\\ m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy với m=2; $n=\frac{2}{3}$ thì hai mặt phẳng trùng nhau.

Câu 4: Tìm khoảng cách từ các điểm ${M_0}\left( {1; - 1;2} \right);\,{M_1}\left( {3;4;1} \right);\,{M_2}\left( { - 1;4;3} \right)$ đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\\ d\left( {{M_1},(P)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.4 + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\\ d\left( {{M_2},(P)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.4 + 2.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 \end{array}$

Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ trong các trường hợp sau:

a) $(\alpha )$ đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận $\overrightarrow n  = (1;1;1)$ làm vecto pháp tuyến;

b) $(\alpha )$ đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto $\overrightarrow u  = (0;1;1),\overrightarrow v  = ( - 1;0;2)$;

c) $(\alpha )$ đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)

Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Câu 3: Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Câu 4: Hãy viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng $(\beta )$ : x + y + 2z – 7 = 0.

Câu 5: Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$ : x + 2y – z = 0 .

Câu 6: Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

$(\alpha )$ : Ax – y + 3z + 2 = 0

$(\beta )$:  2x + By + 6z + 7 = 0

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)$. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. 1

B.  $\frac{1}{6}$

C.  $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 2: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm $A(1;0;1)$, $B(-1;2;2)$ và song song với trục $Ox$.

A. $x + y - z = 0$

B. $2y - z + 1 = 0$

C. $y - 2z + 2 = 0$

D. $x + 2z - 3 = 0$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(1;3;-5)$ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.

A.  $y - 3z + 4 = 0$

B.  $y - 3z - 8 = 0$

C.  $y - 2z -6 = 0$  

D.  $y - 2z + 2 = 0$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0$ và $\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)$ . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ song song với nhau?

A.  $n=m=-4$ 

B.  $n=-4; m=4$

C.  $n=m=4$ 

D. $n=4;m=-4$

A.  $d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 4$

B.  $d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 2$

C.  $d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = \sqrt 2$

D.  $d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 1$

Qua bài học này học sinh nắm được một số nội dung chính như sau:

•  Biết dạng phương trình mặt phẳng trong không gian, viết được phương trình mặt phẳng.
• Biết công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng và xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
•  Viết phương trình mặt phẳng, tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp