Toán 12 Chương 2 Bài 3: Lôgarit

Cho hai số thực dương $a$ và $b$ với $a\ne1$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^{\alpha}=b$ được gọi là lôgarit có số $a$ của $b$, kí hiệu $\log_ab=\alpha$.

Vậy: $\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.$

Ví dụ

$\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}$ vì $2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}$

$\log_2\frac{1}{8}=-3$ vì $2^{-3}=\frac{1}{8}$

$\log_23=1$ vì $3^1=3$

$\log_a1=0$ vì $a^0=1$

$\log_23=x$ vì $2^x=3$

a) Qui tắc tính lôgarit

Cho số thực $a$ thỏa $0< a\neq 1$, ta có các tính chất sau:

- Với $b>0$: $a^{\log_ab}=b$

- Lôgarit của một tích:

• Với $x_1,x_2>0$: $\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2$
• Mở rộng với $x_1,x_2,..., x_n>0$: $\log_a(x_1.x_2....x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+...+\log_ax_n$

- Lôgarit của một thương

• Với $x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2$
• Với $x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax$

- Lôgarit của một lũy thừa:

• Với $b>0:$ $\log_ab^x=x\log_ab$
• $\forall x$: $\log_aa^x=x$

b) Công thức đổi cơ số:

Cho số thực $a$ thỏa $0< a\neq 1$, ta có các tính chất sau:

- Với $00:$ $\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}$

Lấy $0 < b \ne 1$, chọn $c=b$ ta có: ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$

- Với $\alpha \neq 0,b>0$: $\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab$

- Với $\alpha \neq 0, b>0:$ $\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab$

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

• Nếu $a>1$ thì $\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0$
• Nếu $0\log_ay \Leftrightarrow 0$
• Nếu $00$

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số $x>0$ được gọi là lôgarit thập phân của $x$, kí hiệu là $\log x$ hoặc $\lg x$.

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số $e$ của số $a>0$ được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu $\ln a.$

Tìm x để:

$\eqalign{ & a)\,{2^x} = 8 \cr }$

$\eqalign{& b)\,{2^x} = {1 \over 4} \cr }$

$\eqalign{& c)\,{3^x} = 81 \cr }$

$\eqalign{& d)\,{5^x} = {1 \over {125}} \cr}$

Hướng dẫn giải

a) $\eqalign{ & \,{2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3 \cr }$

b) $\eqalign{& \,{2^x} = {1 \over 4} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2 \cr }$

c) $\eqalign{& \,{3^x} = 81 \Leftrightarrow {3^x} = {3^4} \Leftrightarrow x = 4 \cr }$

d) $\eqalign{& \,{5^x} = {1 \over {125}} \Leftrightarrow {5^x} = {5^{ - 3}} \Leftrightarrow x = - 3 \cr}$

a) Tính $A= {\log _3}135$ biết ${\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b$

b) Tính $B={\log _{49}}32$ biết ${\log _2}14 = a$

Hướng dẫn giải

a) $A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}$

b) Ta có: ${\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1$

Vậy: ${\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}$

Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):

a) $A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}$

b) $B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}$

Hướng dẫn giải

a) $A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}$

b) $B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}$

Không dùng máy tính, hãy so sánh:

a) ${\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34$

b) ${\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}$

c) ${2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}$

c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}$

Câu 1: Tính

$a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}$

$b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}$

$c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}$

Câu 2: Tính:

a) ${{4}^{{{\log }_{2}}3}}$

b) ${{27}^{{{\log }_{9}}2}}$

c) ${{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}$

d) ${{4}^{{{\log }_{8}}27}}$

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

a) ${{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2;$

b) ${{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}$.

Câu 4: Tìm x, biết:

$a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b$

$b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b$

Câu 5: So sánh các cặp số sau:

a) ${{\log }_{3}}5\,\text{và}\,{{\log }_{7}}4;$   

b) ${{\log }_{0,3}}2\,\text{và}\,{{\log }_{5}}3;$

c) ${{\log }_{2}}10\,\text{và}\,{{\log }_{5}}30$.

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}$ với $0 < a \ne 1.$

A. $P = \frac{3}{{10}}$

B. $P = 4$​

C. $P = \frac{1}{2}$​

D. $P = \frac{1}{4}$​

Câu 2: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. $4^{\log_2 3}<4^{\log_32}$

B. $\log_24=\log_4 2$

C. $\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3$

D. $\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6$

Câu 3 Rút gọn biểu thức 

$A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}$ với $a > 0;\,\,a \ne 1$.

A. $A = \frac{{62}}{5}$

B. $A = \frac{{16}}{5}$

C. $A = \frac{{22}}{5}$

D. $A = \frac{{67}}{5}$

Câu 4: Đặt  $a = {\log _2}3,b = {\log _5}3$. Hãy biểu diễn ${\log _6}45$  theo a và b.

A. ${\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}$

B. ${\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}$

C. ${\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$

D. ${\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{2ab + b}}$

Qua bài học này, giúp các em biết được một số nội dung như sau:

• Biết khái niệm các tính chất của lôgarit
• Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản
• Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit