Toán 12 Chương 3 Bài 2: Tích phân

Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a

Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.

• \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)

a) Phương pháp đổi biến số

Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)

Các phương pháp đổi biến số thường gặp:

• Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
• Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).

b) Phương pháp tích phân từng phần

Định lí: Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)

Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

a)  \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\)

b)  \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)

Hướng dẫn giải

a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)

\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)

b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)

Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)

b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)

c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)

\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)

b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)

Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)

c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)

Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)

Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)

b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).

b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).

Câu 1: Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)

b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)

c) \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \)

d) \(\int_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}\)

Câu 2: Tính các tích phân sau:

a) \(\int \limits_0^1 \left( {{y^3} + 3{y^2} - 2} \right)dy\)

b) \(\int \limits_1^4 \left( {t + \frac{1}{{\sqrt t }} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt\)

c) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx\)

d) \(\int \limits_0^1 {\left( {{3^s} - {2^s}} \right)^2}ds\)

Câu 3: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) \(\int \limits_1^2 x{\left( {1 - x} \right)^5}dx\) (đặt  t = 1−x)

b) \(\int \limits_0^{\ln 2} \sqrt {{e^x} - 1} dx\) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))

c) \(\int \limits_1^9 x\sqrt[3]{{1 - x}}dx\) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))

d) \(\int \limits_0^\pi  \frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx\)    (đặt \(x = \pi  - t\))

Câu 4: Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt u= x+1)

b) \(\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) (Đặt x = sint )

c) \(\int_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x.{e^x}}}dx} \) (Đặt u = 1+x.ex)

d) \(\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} dx\) (Đặt x= asint)

Câu 5: Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)

b) \(\int_1^e {{x^2}\ln xdx} \)

c) \(\int_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} \)

d) \(\int_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{ - x}}} dx\)

Câu 1: Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a < b < d\).

A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = -2\)

B.  \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 7\)

C.  \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0\)

D.  \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\)

Câu 2: Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2} - {{\ln }^2}x}}dx,}\) đặt \(t = \frac{{\ln x}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt}\)

B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{e - 1}}{{e + 1}}} \right)\)

C. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt}\)

D. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{(t - 1)(t + 1)}}dt}.\)

Câu 3: Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) có giá trị bằng?

A. \({e^3} - \frac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {1 + e} \right)\)

B. \({e^2} - 7e + \frac{1}{{e + 1}}\)

C. \({e^3} - \frac{7}{2}{e^2} - \ln \left( {1 + e} \right)\)

D. \({e^3} - 7{e^2} - \ln \left( {1 + e} \right)\)

Câu 4: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos \left( {a - x} \right)dx} \)

A. \(I = \left( {1 - \frac{\pi }{2}} \right){\rm{cos}}a + \sin a\)

B. \(I = \left( {1 - \frac{\pi }{2}} \right){\rm{cos}}a - \sin a\)

C. \(I = \left( {\frac{\pi }{2} - 1} \right){\rm{cos}}a + \sin a\)

D. \(I = \left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right){\rm{cos}}a - \sin a\)

Câu 5: Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\)

A.  I=2

B. I=-1

C. I=6

D. I=8

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được các nội dung chính sau:

• Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần).
• Hiểu định nghĩa và phân biệt được nguyên hàm và họ các nguyên hàm của hàm số.