Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp

Đề 01

Câu 1:

Cho số phức \(z = \frac{{1 + i}}{{1 - \sqrt 3 i}}.\)

Tính z²⁰¹⁶ và \(\sqrt[5]{z}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l} z = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{4} + \frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}i = z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(cos\frac{{7\pi }}{{12}}{\rm{i}}\sin \frac{{7\pi }}{{12}})\\ \mathop z\nolimits^{2016} = \frac{1}{{\mathop {(\sqrt 2 )}\nolimits^{2016} }}\left( {\cos \frac{{7\pi .2016}}{{12}}{\rm{ + i}}\sin \frac{{7\pi .2016}}{{12}}} \right)\\ k = 0,1,2,3,4 \end{array}\)

Câu 2:

Cho hàm số: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x.\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } - 1}},x > 0\\ 3\cos x + x,x \le 0 \end{array} \right.\)

a. Khảo sát sự liên tục của hàm f(x) tại x=0

b.Tính f'(1)

Lời giải:

a. 

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } \frac{{x\ln (3x + 1)}}{{\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 } - 1}} = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } \frac{{3\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^2 }} = 3\\ \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } (3\cos x + x) = 3\\ f(0) = 3\\ \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ - } f(x) = \mathop {\lim }\nolimits_{x \to \mathop 0\nolimits^ + } f(x) = f(0) \end{array}\)

Nên hàm số liên tục tại 0

b. \(\begin{array}{l} x > 0,f'(x) = \frac{{\left( {\ln (3x + 1} \right) + \frac{{3x}}{{3x + 1}})(\mathop e\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 - 1} ) - 2\mathop x\nolimits^2 .\mathop {\mathop e\nolimits^x }\nolimits^2 .\ln (3x + 1)}}{{\mathop {\mathop {(e}\nolimits^{\mathop x\nolimits^2 - 1} )}\nolimits^2 }}\\ f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }} \end{array}\)

TXD: R,T=2 \(\begin{array}{l} f'(1) = \frac{{(\ln 4 + \frac{3}{4})(e - 1) - 2e\ln 4}}{{\mathop {\left( {e - 1} \right)}\nolimits^2 }}\\ \pi \end{array}\)

Bảng biến thiên...

Vẽ đồ thị...

Câu 3:

1. Tính tích phân suy rộng I= \(\int_0^2 {\frac{x}{{\sqrt {2 - x} }}} dx\)
2. Khảo sát sự hội tụ của tíc phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}{{\mathop x\nolimits^5 - x + 3}}}\)

Lời giải:

1. I = \(\begin{array}{l} \mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ - } \int\limits_0^a {\frac{x}{{\sqrt {2 - x} }}} dx\\ \mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ - } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {2 - a} } {(2\mathop t\nolimits^2 - 4)} \\ \mathop {I = \lim }\nolimits_{a \to \mathop 2\nolimits^ - } \mathop {\left. {\left( {\frac{{2\mathop t\nolimits^3 }}{3} - 4t} \right)} \right|}\nolimits_{\sqrt a }^{\sqrt {2 - a} } = \frac{{8\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
2. \(\begin{array}{l} f(x) = \frac{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}{{\mathop x\nolimits^5 - x + 3}},g(x) = \frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }},\mathop {\lim }\nolimits_{x \to + \infty \frac{{f(x)}}{{g(x)}}} = 1\\ \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }}} dx \end{array}\) hội tụ

\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^3 + 2}}{{\mathop x\nolimits^5 - x + 3}}dx}\) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2

Câu 4:

Khảo sát  sự hội tụ của chuổi \(\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\mathop {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}\nolimits^{n(n + 1)} }\)

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\mathop x\nolimits^n }}{{\mathop n\nolimits^2 + n}}}\)

Lời gải:

\(\mathop {\lim }\nolimits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{{\mathop u\nolimits_n }} = \mathop {\lim }\nolimits_{n \to + \infty } \mathop {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}\nolimits^{n + 1} = \frac{1}{e} < 1\)

Nên chuổi hội tụ

Đề 02

Câu 1

a. Xét sự hội tụ của chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(\sqrt {n + 1} } - \sqrt {n - 1} )\)

b.Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\mathop {\left( {\frac{{3n - 1}}{{2 + \mathop 3\nolimits^n }}} \right)(x - 1)}\nolimits^2 }\)

Lời giải:

Đặt \(\mathop u\nolimits_n = \frac{2}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n - 1} }},\mathop v\nolimits_n = \frac{1}{{\sqrt n }} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\mathop u\nolimits_n }}{{\mathop v\nolimits_n }} = 1\)

mặt khác chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt n }}}\) phân kì ==>chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {(\sqrt {n + 1} } - \sqrt {n - 1} )\) phân kỳ

${}^{}$Mời các bạn bấm nút TẢI VỀ hoặc XEM ONLINE để tham khảo đầy đủ Đề thi kết thúc học phần môn toán cao cấp có lời giải chi tiết!${}^{}$