Bài 1: Tích phân xác định - Khái niệm, điều kiện, tính chất của tích phân xác định

Cho hàm f xác định, dương và liên tục trên [a,b]. Tính diện tích hình thang cong (H) giới hạn bởi \(y = f(x), y = 0, x = a, x = b.\)

Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bởi các điểm \(x_0 = a < x_1 < x_2 < ... < x_i < ... < x_n = b\)

Qua xi kẻ đường thẳng song song Oy. Hình thang cong (H) được chia thành n hình thang cong nhỏ (Hi).

Trên mỗi đoạn \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) lấy điểm \({\xi _i} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\), thiết lập hình chữ nhật có độ dài các cạnh là \({x_{i - 1}},{x_i}\) và \(f\left( {{\xi _i}} \right)\)

⇒ Diện tích của hình thang cong (Hi) gần bằng diện tích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là \(({x_{i - 1}},{x_i})\) và \(f\left( {{\xi _i}} \right)\).

\({S_{(H)}} \simeq ({x_1} - {x_0})f({\xi _1}) + ({x_2} - {x_1})f({\xi _2}) + ({x_3} - {x_1})f({\xi _3}) + ... + ({x_n} - {x_{n - 1}})f({\xi _n}) = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i})}\)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = f(x) = x^2, y = 0, x = 1,x = 3\)

Giả sử chia đoạn [1;3] bởi phép phân hoạch đều

\({x_0} = 1,{x_1} = 1 + \frac{2}{n},...,{x_i} = 1 + i.\frac{2}{n},...,{x_n} = 3\)

Chọn \({\xi _i} = {x_i}\). Lập tổng: 

\({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f({\xi _i})({x_i} - {x_{i - 1}}) = \frac{2}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {f({x_i}) = } \frac{2}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \)

\(= \frac{2}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \frac{{2i}}{n}} \right)} ^2} = \frac{2}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {} \left( {1 + \frac{{4i}}{n} + \frac{{4{i^2}}}{{{n^2}}}} \right)\)

\(= \frac{2}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {1 + } \frac{8}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n i + \frac{8}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}}\)

\( = 2 + \frac{8}{{{n^2}}}\frac{{n(n + 1)}}{2} + \frac{8}{{{n^3}}}\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

Diện tích là 

\(S = \mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = 2 + 4 + \frac{8}{3} = \frac{{26}}{3}\)

Ví dụ 2:  Tính diện tích hình thang giới hạn bởi \(y=2x-1,y=0,x=2,x=5\)

Coi phép phân hoạch đều trên [2,5]

\({x_0} = 2,{x_1} = 2 + \frac{3}{n},...,{x_i} = 2 + i.\frac{3}{n},...,{x_n} = 5\)

Chọn \({\xi _i} = {x_i}\). Lập tổng:

\({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}) = \frac{3}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {(2{x_i} - 1)}\)

\(= \frac{3}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {2\left( {2 + \frac{{3i}}{n}} \right) - 1} \right]} = \frac{3}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {3 + \frac{{6i}}{n}} \right)} = 9 + \frac{{18}}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n i = 9 + \frac{{18}}{{{n^2}}}\frac{{n(n + 1)}}{2} \)

\( \Rightarrow S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = 9 + 9 = 18\)

Cho hàm số f xác định trên [a,b]. Coi phép phân hoạch (bất kỳ) đoạn [a,b] bởi các điểm

\(x_0 = a < x_1 < x_2 < ... < x_i < ... < x_n =b\)

Trên mỗi đoạn \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) lấy điểm \({\xi _i}\) bất kỳ.

Lập tổng tích phân: \({I_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}} )\)

Nếu giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} {I_n}\) tồn tại hữu hạn không phụ thuộc vào phép phân hoạch trên đoạn [a,b] và không phụ thuộc cách chọn điểm \({\xi _i}\) thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f trên [a, b].

Ký hiệu: 

\(\int\limits_a^b {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} {I_n}} = \mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i})}\)

 trong đó a là cận dưới, b là cận trên,

x biến tích phân, f(x) hàm dưới dấu tích phân

Khi hàm f có tích phân xác định trên [a, b] ta nói f khả tích trên [a, b]

Định lý: Hàm số f khả tích trên [a, b] ⇒ f bị chận trên [a,b]

Chứng minh:

Giả sử f không bị chận trên [a,b]. Chọn dãy các phân hoạch trên [a,b] sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\max }\limits_{k = 1,...,n} ({x_i} - {x_{i - 1}}) = 0\)

Vì f không bị chận trên [a,b] nên tồn tại k và \(c \in \left[ {{x_{k - 1}},{x_k}} \right]\) sao cho \(\left| {f(c)} \right|\left[ {{x_k} - {x_{k - 1}}} \right]\) lớn tùy ý

Chọn \({\xi _k} = c\) thì 

\({I_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}} ) = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}) + } ({x_k} - {x_{k - 1}})f({c_i})\)

Suy ra \(\left| {{I_n}} \right| \ge \left| {f(c)} \right|({x_k} - {x_{k - 1}}) - \left| {\sum\limits_{i = 1}^n {f({\xi _i})({x_i} - {x_{i - 1}})} } \right| > n\)

\( \Rightarrow {I_n}\) không thể có giới hạn hữu hạn khi \(\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0\)

\( \Rightarrow f\) không khả tích trên [a,b]. Do đó, f bị chận trên [a, b]. 

Ghi chú:

Điều ngược lại không đúng, nghĩa là nếu f bị chận trên [a, b] thì chưa chắc f khả tích trên [a, b].

Ví dụ: \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,x \in Q \cap \left[ {0,1} \right]\\ 0\,\,\,\,x \in \left[ {0,1} \right]\backslash Q \end{array} \right. \)

Hiển nhiên f bị chận trên [0,1] vì \(0 \le f(x) \le 1,\forall x \in [0,1]\)

Nhưng f không khả tích trên [0, 1]. Thật vậy, xét phép phân hoạch trên [0, 1]: \(x_0=0