Bài 1: Tập hợp

Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không định nghĩa.

Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là một phần tử.

• Cho một tập hợp A và phần tử x. Nếu x là phần tử của A ta viết \(x\in A\). Ngược lại, ta viết \(x\overline \in \,A\) hay \(x \notin A\) (x không thuộc A)

Ví du: Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập hợp, mỗi học sinh là một phần tử.

• Đường thẳng là một tập hợp, mỗi điểm thuộc đường thảng đó là một phần tử.

Có nhiều cách:

Liệt kê: liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu { }

Ví dụ: Tập hợp các nguyên âm A = {a, e, i, u, o, y}

Ví dụ: T = {bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai}

Trưng tính: (nêu tính chất đặc trưng)

Nếu mọi phần tử x của tập A đều có tính chất b, ta viết:

A = {x I x có tính chất b}

Ví dụ: M = {x I x là số nguyên dương nhỏ hơn 5}

⇒ M = {1, 2, 3, 4}

Giản đồ Venn

\(\begin{array}{l} a \in A\\ b \in A,2 \in A\\ c, - 3,5 \notin A \end{array}\)

N = {O, 1,2,3, }; N’ = N \ {0}

Z = {0, ± 1, ± 2,...}

\(Q = \left\{ {x = \frac{m}{n}\left| {m \in Z,n \in Z*} \right.} \right\}\): tập các số hữu tỷ.

R là tập các số thực

\({R^ + } = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 0} \right.} \right\};{R^ - } = \left\{ {x \in R\left| {x \le 0} \right.} \right\}\)

\(\left( {a,b} \right) = \left\{ {x \in R\left| {a \le x \le b} \right.} \right\}\)

\(\begin{array}{l} \left[ {a,b} \right] = \left\{ {x \in R\left| {a \le x \le b} \right.} \right\}\\ \left( {a - \varepsilon ,a + \varepsilon } \right) = \left\{ {x \in R\left| { - \sqrt 2 < x \le 15} \right.} \right\} \end{array}\)

Ví dụ: \(\left( { - \sqrt 2 ,15} \right) = \left\{ {x \in R\left| { - \sqrt 2 < x \le 15} \right.} \right\}\)

Tâp hữu hạn: là tập hợp có số phần tử là n, với \(n \in N\)

Chính số: Số phần tử của tập A còn được gọi là chính số của A (hay card A)

Ký hiệu: ch.s A hay card A hay |A|

Ví dụ: A = {-3, 5, a, b} => card A = 4.

Tập trống: là tập hợp không có phần tử nào cả.

Ký hiêu: \(\emptyset\) hay { }

Ghi chú: \(\left\{ \emptyset \right\} \ne \emptyset ;\left\{ 0 \right\} \ne \emptyset \)

Tập vô hạn: tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn.

Ví dụ: N,Z,Q, R, (0, 1) là những tập hợp vô hạn

Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.

Ký hiệu: \(A \subset B\) (A chứa trong B)

\(A \subset B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B\)

Ví dụ: 

\(A = \left\{ {1, - 5,0} \right\};B = \left\{ {2,3,1,8,0, - 5} \right\};C = \left\{ {1, - 5,0,7,3} \right\}\)

\(A \subset B\,và\,C \not\subset B(7 \in C\,và\,7 \notin B)\)

Nhân xét: \(\forall A\) ta có \(\emptyset \subset A\) và \(A \subset A\)

Tập hợp bằng nhau: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\,va\,B \subset A\)

\( \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B\)

Tập hợp tất cả tập hợp con của E gọi là tập hợp các phần của E

Ký hiệu: \(P(E) = \left\{ {A\left| {A \subset E} \right.} \right\}\)

Ví dụ: E = {a, b, c} thì

P(E) = {\(\emptyset\), {a},{b},{c},{a, b}{b, c},{c, a},{a,b, c}}

Hệ quả: Nếu card E = n ⇒ card P(E) = 2n (chứng minh bằng truy chứng)

Phép giao: \(A \cap B = \left\{ {x\left| {x \in A\,va\,x \in B} \right.} \right\}\)

Ví dụ: 

\(\begin{array}{l} A = \left\{ { - 3,5, - \sqrt 2 } \right\}\\ B = \left\{ {0, - 3,8, - \sqrt 2 } \right\}\\ C = \left\{ {1,2,3} \right\}\\ \Rightarrow A \cap B = \left\{ { - 3, - \sqrt 2 } \right\}\,va\,A \cap C = \emptyset \end{array}\)

Tính chất: 

\(\begin{array}{l} A \cap \emptyset = \emptyset \cap A = \emptyset \\ A \cap A = A\\ A \cap B = B \cap A\\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\\ A \cap B \subset A\\ A \cap B \subset B \end{array} \)

Phép hội: \(A \cup B = \left\{ {x\left| {x \in A\,\,hay\,\,x \in B} \right.} \right\}\)

Ví dụ: A = {a, b, c, d}; B = {a, c, e, f}

\( \Rightarrow A \cup B = \left\{ {a,b,c,d,e,f} \right\}\)

Tính chất:

\(\begin{array}{l} A \cup B = B \cup A\\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\\ A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A;\,A \cup A = A\\ A \subset A \cup B,\,B \subset A \cup B \end{array}\)

Tính phân bố của phép giao và phép hội

\(\begin{array}{l} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{array}\)

Phép hiệu: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A\,\,va\,\,x \notin B} \right.} \right\}\)

Ví dụ: A = {a, b, c, d};B = {5, a, c, f, -3}; C = {a, f, 7, d}

A \ B = {b, d}; B\A={5,f,-3}

(A \ B) \ C = {b} \(\ne\) A \ (B \ C) = {a, b, d}

Tính chất: Nếu A \(\ne\) B thì A \ B \(\ne\) B \ A

Thông thường: (A \ B) \ C \(\ne\) A \ (B\ C)

\(A\backslash \emptyset = A;\,A\backslash A = \emptyset ;\,A\backslash B \subset A\)

Hệ quả: Dễ dàng chứng minh được

\(\begin{array}{l} A\backslash \left( {B \cup C} \right) = (A\backslash B) \cap (A\backslash C)\\ A\backslash \left( {B \cap C} \right) = (A\backslash B) \cup (A\backslash C) \end{array} \)

Phần bù

Cho \(A \subset E\), phần bù của A đối với E là \({A^c} = \overline A = {C_E}A = E\backslash A = \left\{ {x\left| {x \in E\,va\,x\overline \in } \right.A} \right\}\)

Tính chất: Cho \(A \subset E,B \subset E\)

\(\begin{array}{l} {C_E}\emptyset = E;{C_E}E = \emptyset ;{C_E}A \cup A = E\\ {C_E}A \cap A = \emptyset \\ {C_E}({C_E}A) = A\,\,\left( {\overline{\overline A} = A} \right)\\ {C_E}(A \cup B) = {C_E}A \cap {C_E}B\\ {C_E}(A \cap B) = {C_E}A \cup {C_E}B \end{array}\)

Ví dụ: E = {a, b, c, d, e, f}; A = {a, d}; B = {a, e, f} CEA = {b, c, e, f}; CEB = {b, c, d}

CE (A\(\cup\)B)= {b, c}; CE (A \(\cap\) B) = {b, c, d, e, f}

Tập hợp tích: A x B = {(x, y) | x \(\in\) A, y \(\in\) B}

Ví dụ: A = {1,2, 3};B = {a, b}

⇒ A x B = {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)}

và B x A = {(a, 1)(b, 1) (a, 2) (b, 2) (a, 3) (b, 3)}

Ghi chú: Nấu A \(\ne\) B và A, B \(\ne\) 0 thì A x B \(\ne\) B x A

Ví dụ: (1,4)\(\ne\)(4, 1)

• \(A\,x\,\emptyset = \emptyset \,x\,A = \emptyset\)
• Nếu A, B hữu hạn, ta có: Card(Ax B) = Card A.Card B
• Nếu A = B ta viết: A x B = A x A = A2

Vi dụ: Mặt phẳng tọa độ là

R2 = R x R = {(x, y)|x, y \(\in\) R }

Tương tự ta có :

\(\begin{array}{l} {A_1}x\,{A_{2\,}}x\,....x\,{A_n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in {A_i},i = \overline {1,n} } \right.} \right\}\\ = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_1} \in {A_1},{x_2} \in {A_2},....,{x_n} \in {A_n}} \right.} \right\}\\ \underbrace {A\,x\,A\,x....x\,A}_{n\,\,lan\,} = {A^n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in {A_i},i = \overline {1,n} } \right.} \right\} \end{array} \)

Ví dụ: \({R^n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},....{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in R,i = \overline {1,n} } \right.} \right\}\)

\(\begin{array}{l} ( - 5,2,\sqrt 7 , - 8) \in {R^4}\\ ( - 2,1,0,3,7) \in {Z^5} \subset {Q^5} \subset {R^5} \end{array} \)

Trên đây là nội dung bài giảng Bài 1: Tập hợp được eLib tổng hợp lại nhằm giúp các bạn sinh viên có thêm tư liệu tham khảo. Hy vọng đây sẽ là tư liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung bài học dễ dàng hơn. Chúc các bạn học tốt.