Ngân hàng câu hỏi ôn tập môn Toán cao cấp

Câu 1:

Tìm các tiệm cận dưới  và tiệm cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập 

\(X = \left\{ {\frac{1}{{\mathop 2\nolimits^n }} + \frac{{\mathop {( - 1)}\nolimits^n }}{n},n \in \mathop N\nolimits^* } \right\} = \left\{ {\mathop u\nolimits_n ,n \in \mathop N\nolimits^* } \right\}\)

Đáp án

Với mọi p thuộc N∗

Ta có: \(\begin{array}{l} \mathop u\nolimits_{2p} = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p} }} + \frac{1}{{2p}} \Rightarrow 0 < \mathop u\nolimits_{2p} < \mathop u\nolimits_2 = \frac{3}{4}\\ \mathop u\nolimits_{2p + 1} = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} - \frac{1}{{2p + 1}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}{3} \le \frac{{ - 1}}{{2p + 1}} \le \mathop u\nolimits_{2p + 1} \le \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} \le \frac{1}{8}\\ \mathop u\nolimits_1 = \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)

Suy ra với mọi n thuộc N∗N∗

ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \mathop u\nolimits_1 \le \mathop u\nolimits_n \le \mathop u\nolimits_2 = \frac{3}{4}\)

InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4

Câu 2:

Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên 

a: Chứng minh Sup(A∪BA∪B=Max(Sup(A),sup(B))

b: Gọi A+B={\(x \in R,\exists (a,b) \in A.B,x = a + b\)},chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B)

Đáp án

Kí hiệu: \(\alpha = SupA,\beta = SupB,\gamma = Max(\alpha ,\beta )\)

Vậy tập hợp các cận trên của \(A \cup B\) chính là \(X = {\rm{\{ }}x,x \ge \alpha ,x \ge \beta\)

Câu 3:

Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C--->C sao cho

Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z

Đáp án

Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng

suy ra \((1 + \mathop z\nolimits^2 )f(z) = 1 + \mathop z\nolimits^2\)

Chứng tỏ f(z)=1 nếu \(z \pm i\)

Đạt f(i)=\(\alpha + i\beta \in C,\alpha ,\beta \in R \Rightarrow f( - i) = 1 - i + i\alpha - \beta\)

f:C--->C 

Kiểm tra \(z \to \left\{ \begin{array}{l} 1\\ \alpha \\ 1 - \beta + i(\alpha - 1) \end{array} \right.\)

Câu 4:

Tính \(\begin{array}{l} a.\frac{{\sqrt 3 - i}}{{1 + i}}\\ b.(1 - i)(1 - \sqrt 3 i)(\sqrt 3 + 1) \end{array}\)

Đáp án

\(a.z = \mathop z\nolimits_1 \mathop z\nolimits_2 \mathop z\nolimits_{3,} \mathop z\nolimits_1 = 1 - i,\mathop z\nolimits_2 = 1 - \sqrt 3 i,\mathop z\nolimits_3 = \sqrt 3 + i\)

Ta đi tìm mooddun và acgumen của các số phức này

\(\begin{array}{l} \mathop r\nolimits_1 = \left| {\mathop z\nolimits_1 } \right| = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 ,\mathop \theta \nolimits_1 = \arg \mathop z\nolimits_1 ,\left\{ \begin{array}{l} tg\mathop \theta \nolimits_1 = - 1\\ tg\mathop \theta \nolimits_1 > 0 \end{array} \right.\\ = = > \mathop \theta \nolimits_1 = \frac{{ - 3,14}}{4} \end{array}\)

Tương tự nhận được \(\mathop r\nolimits_2 = 2,\mathop \theta \nolimits_2 = \frac{{ - \pi }}{3},\mathop r\nolimits_2 = 2,\mathop \theta \nolimits_2 = \frac{\pi }{6}\)

Câu 5:

Chứng minh rằng với mọi z thuộc C thì 

\(\left[ \begin{array}{l} \left| {1 + z} \right| \ge \frac{1}{2}\\ \left| {1 + \mathop z\nolimits^2 } \right| < 1 \end{array} \right.\)

Đáp án:

Giả sử tồn tại z=x+iy thuộc c sao cho 

\(\left( \begin{array}{l} |1 + z| < \frac{1}{2}\\ |1 + \mathop z\nolimits^2 | < 1 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {(\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 )}\nolimits^2 + 2\mathop {(x}\nolimits^2 - \mathop y\nolimits^2 ) < 0\\ \mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 + 2x + \frac{3}{4} < 0 \end{array} \right.\)