Toán 9 Ôn tập Chương 1: Căn bậc hai, căn bậc ba

Các công thức biến đổi căn thức

1. \(\sqrt{A^2}=|A|\)

2. \(\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))

3. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (với \(A\geq 0;B>0\))

4. \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\) (với \(B\geq 0\))

5. \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))

\(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\) (với \(A<0;B\geq 0\))

6. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|}\sqrt{AB}\) (với \(AB\geq 0;B\neq 0\))

7. \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\) (với \(B>0\))

8. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}\) (với \(A\geq 0;A\neq B^2\))

9. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0;A\neq B\))

Câu 1. Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài là \(16m\) và chiều rộng là \(9m\).

Hướng dẫn giải

Diện tích của hình chữ nhật là: \(16.9=144(m^2)\)

Theo đề, diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên cạnh a của hình vuông là: \(a^2=\sqrt{144}\Leftrightarrow a=12(m)\)

Câu 2. Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\)

Hướng dẫn giải

\(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\sqrt{13}x+(\sqrt{13})^2=0\)\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{13})^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{13}\)

Câu 3. Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{16+64}\) và \(\sqrt{16}+\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)

\(\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12\)

Vậy \(\sqrt{16}+\sqrt{64}>\sqrt{16+64}\)

Câu 4. Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{100-64}\) và \(\sqrt{100}-\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\)

\(\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2\)

Vậy \(\sqrt{100-64}>\sqrt{100}-\sqrt{64}\)

Nhận xét: Với hai số dương a, b, \(a>b\) ta có: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\)

\((\sqrt{a-b})^2=a-b\)

\((\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-b-a-b+2\sqrt{ab}=2(\sqrt{ab}-b)\)

\(=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\)

Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\)

Câu 5. Rút gọn biểu thức chứa biến sau: \(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(a\geq 0;a\neq 1\)

Với điều kiện trên:

\(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)

\( = \left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a } \right)\)\(=1-a\)

Câu 6. Thực hiện phép tính: \(A=\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}\) 

Hướng dẫn giải

Do A dương nên bình phương đẳng thức, ta được:

\(A^2=5+5+\sqrt{24}-\sqrt{24}+2\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}=12\)

Vậy \(A=3\sqrt{2}\)

Câu 7. Giải phương trình: \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Với điều kiện trên, đặt \(\sqrt{2x-1}=a(a\geq 0);\sqrt{x}=b(b\geq 0)\)

Ta có: \(a^2=2x-1;b^2=x\)\(\Rightarrow a^2-2b^2=-1\)

Mặc khác: \(a+b=2\)

Ta đưa vào hệ: \(\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^2-2b^2=-1 \end{matrix}\right.\)

Giải hệ trên bằng phương pháp thế:

\(\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.\) (nhận) và \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=-5 \end{matrix}\right.\)(không nhận)

Với \(a=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình

Câu 1. Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình tam giác có cạnh đáy và chiều cao lần lượt là 50cm và 25cm.

Câu 2. Giải phương trình: \({{x}^{2}}-2\sqrt{7}x+7=0\)

Câu 3. Không dùng máy tính, so sánh

a) \(\sqrt{25}+\sqrt{36}\) và \(\sqrt{25+36}.\)            

b) \(\sqrt{225}-\sqrt{169}\) và \(\sqrt{225-169}.\)

Câu 4. Rút gọn biểu thức chứa biến sau: 

\(P=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2} \right)\)

Câu 5. Thực hiện phép tính: \(A=\sqrt{7+\sqrt{24}}+\sqrt{7-\sqrt{24}}\) 

Câu 6. Giải phương trình: \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2\)

Câu 1. Khẳng định nào đúng

A. căn bậc hai của 121 là 11        

B. căn bậc hai của 144 là 12

C. \(\sqrt{169}=\pm13\)        

D. căn bậc hai của 225 là 15 và -15

Câu 2. Giải phương trình: \(\sqrt x=-2\)

A. x=-4                      

B. x=4

C. \(x=\pm4\) 

D. phương trình vô nghiệm

Câu 3. Giá trị của biểu thức \(A=\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}-\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2}}}\) là:

A. 2    

B. \(2\sqrt{3}\)

C. \(\sqrt{2\sqrt{3}}\) 

D. 4

Câu 4. Cho \(B=\left ( 1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1} \right ):\frac{x-2\sqrt{x}}{x-1}\) với \(x>0;x\neq 1;x\neq 4\)

Giá trị của x để \(B=2\) là:

A. \(x=2\)       

B. \(x=1\)

C. \(x=0\)       

D. Không tồn tại x

Câu 5. Cho biểu thức \(C=\left ( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right )\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)với \(x>0;x\neq 1\)

Số nghiệm x thỏa bài toán để C nguyên là:

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Qua bài học này, các em cần đạt được những yêu cầu sau:

• Nắm chắc kiến thức bằng lý thuyết chương 1.
• Làm được các dạng bài tập của chương.