Toán 8 Chương 1 Bài 7: Hình bình hành

 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \) AB // CD và AD // BC.

Như vậy, hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

Định lí: Trong một hình bình hành thì:

a) Các cạnh đối bằng nhau.

ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) AB =DC và AD = BC.

b) Các góc đối bằng nhau

ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \)\(\widehat {A\,} = \widehat C\) và \(\widehat B = \widehat D\)

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) OA = OC và OB = OD

Tứ giác có một trong các tính chất sau đây là hình bình hành

1. Các cạnh đối song song

Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

2. Các cạnh đối nhau

Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

3. Các góc đối bằng nhau

Tứ giác ABCD có \(\widehat {A\,} = \widehat C\)  và \(\widehat B = \widehat D\) \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

4. Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Tứ giác ABCD có OA = OC và OB = OD \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

5. Có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD hoặc AD // BC và AD = BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự, lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải: 

ABCD là hình bình hành cho ta:

AB = CD và \(\widehat B = \widehat D\)

Theo giả thiết AM = CP nên từ trên ta suy ra: BM = DP

Xét hai tam giác BMN và DPQ có:

\(\begin{array}{l}BM = DP\\\widehat B = \widehat D\\BN = DQ\\ \Rightarrow \Delta BMN = \Delta DPQ \Rightarrow \widehat M = \widehat P\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Gọi E là giao điểm của PQ và đường thẳng AB

\(DC//AB \Rightarrow \widehat P = \widehat E\)            (2)

Từ (1), (2) và  vì \(\widehat M,\widehat E\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra: MN // PQ

Chứng minh tương tự ta có: MQ // NP

Tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song nên theo định nghĩa nó là hình bình hành.

Câu 2: Cho tam giác cân ABC, AB = AC và P là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BP, CP.  Đường trung trực của BP cắt cạnh AB tại điểm E. Đường trung trực của CP cắt cạnh AC tại điểm F.

a. Chứng tỏ tứ giác AEPF là hình bình hành

b. Tổng PE + PF không phụ thuộc vào việc chọn điểm P trên BC.

Hướng dẫn giải: 

a. \(\Delta PFC\) cân đỉnh F vì FP = FC

Nên \(\widehat {{P_1}} = \widehat C\) mà \(\widehat C = \widehat B\)

\( \Rightarrow \widehat {{P_1}} = \widehat B \Rightarrow PF//AB\)

Tương tự, ta có PE // AC

Tứ giác AEPF có các cạnh đối song song.

Vậy nó là hình bình hành.

b. AEPF là hình bình hành

nên PE = BE

      PF = EA

\(\Rightarrow PE + PF = BE + EA = AB\)

Tổng PE + PF luôn bằng cạnh bên AB của tam giác cân.

Vậy nó không phụ thuộc  vào việc chọn điểm P trên cạnh BC.

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy hai điểm E, F sao cho AE = EF = FC.

a. Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành

b. DF cắt BC tại M. Chứng minh DF = 2FM

c. BF cắt DC tại I và DE cắt AB tại J. Chứng minh ba điểm I, O, J thẳng hàng.

Hướng dẫn giải: 

a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

OA = OC

Kết hợp với AE = CF, ta suy ra

 OE = OF

\( \Rightarrow \) O là trung điểm của EF

Ta cũng có O là trung điểm của DB.

Vậy BEDF là hình bình hành

b. Ta có \({\rm{OF}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}} \Rightarrow {\rm{FC = }}\frac{2}{3}OC.\) Trong tam giác CDB, điểm F nằm trên trung tuyến CO và cách đỉnh một đoạn bằng \(\frac{2}{3}\) trung tuyến. Vậy F là trọng tâm của \(\Delta CDB,\) suy ra: DF = 2FM

c. F là trọng tâm của \(\Delta CDB\) suy ra I là trung điểm của DC:

\(DI = \frac{1}{2}DC.\)

Tương tự, E là trọng tâm của \(\Delta ADB\), suy ra

\(BJ = \frac{1}{2}AB\)

Vậy DI = BJ

Tứ giác BIDJ có DI // BJ và DI = BJ nên nó là hình bình hành, suy ra IJ đi qua trung điểm O của DB.

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DF, BF và CD. Chứng minh:

a. Các tứ giác IJFK và IEKJ là các hình bình hành

b. Ba điểm E, K, F thẳng hàng

Câu 2: Chứng minh rằng:

a. Trong một hình bình hành, giao điểm của các đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối

b. Ngược lại, nếu một tứ giác có giao điểm của hai đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối hai trung điểm của các cạnh đối thì tứ giác đó là hình bình hành.

Câu 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của hai cạnh đối AB, CD, M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE, BF và DE.

a. Chứng minh các đường thẳng MP, NQ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

b. Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Câu 1: Chọn ý sai

A.  Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

B.  Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

C.  Tứ giác có hai góc đối bằng nhau là hình bình hành

D.  Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

Câu 2: Chọn ý đúng

A. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song

B.  Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau

C.  Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

D.  Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau

Câu 3: Chop hình bình hành ABCD có \(\angle A = {120^0}\) các góc còn lại có giá trị là bao nhiêu?

A. \(\angle B = {60^0}\angle C = {120^0}\angle D = {60^0}\)

B. \(\angle B = {110^0}\angle C = {80^0}\angle D = {60^0}\)

C. \(\angle B = {80^0}\angle C = {120^0}\angle D = {80^0}\)

D. \(\angle B = {120^0}\angle C = {60^0}\angle D = {120^0}\)

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD biết \(\angle A - \angle B = {20^0}\) xác đinh số đo góc A và B

A. \(\angle A = {80^0}\angle B = {100^0}\)

B. \(\angle A = {100^0}\angle B = {80^0}\)

C. \(\angle A = {80^0}\angle B = {60^0}\)

D. \(\angle A = {120^0}\angle B = {100^0}\)

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, gọi I là giao điểm cảu hai đường chéo AC và BD. Chọn ý đúng

A. AC = BD

B. Tam giác ABD cân tại A

C. BI là trung tuyến của tam giác ABC

D. \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D\)

Qua bài giảng Hình bình hành này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm được khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành
• Chứng minh được tứ giác là hình bình hành
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan