Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Xét dấu các tam thức bậc hai

a) \(5x^2 - 3x + 1\)

b) \(- 2x^2 + 3x + 5\)

c) \(x^2 + 12x + 36\)

d) \((2x - 3)(x + 5)\)

Phương pháp giải:

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xét dấu tam thức bậc hai \(5x^2 - 3x + 1\)

Xét \(f(x) = 5{x^2} - 3x + 1\) có

\(\Delta  = {3^2} - 4.5.1 =  - 11 < 0\) mà a = 5 > 0

Suy ra: \(f(x) > 0\,\,\,\forall x \in R\)

Câu b: Xét dấu tam thức bậc hai \(- 2x^2 + 3x + 5\)

Xét \(f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 5\) có:

\(\Delta  = {3^2} - 4( - 2).5 = 49 > 0\), suy ra f(x) có nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} = \frac{5}{2}\)

Mà a = -2 < 0, do vậy f(x) < 0 với \(\left[ \begin{array}{l}x > \frac{5}{2}\\x <  - 1\end{array} \right.\)

f(x) > 0 với \( - 1 < x < \frac{5}{2}\)

f(x) = 0 với \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Câu c: Xét dấu tam thức bậc hai \(x^2 + 12x + 36\)

Xét \(f(x) = {x^2} + 12x + 36\) có \(\Delta ' = {6^2} - 36 = 0\)

Suy ra: f(x) > 0 với mọi \(x \in R\backslash {\rm{\{ }} - 6\} \)

f(x) = 0 với x = - 6

Câu d: Xét dấu tam thức bậc hai \((2x - 3)(x + 5)\)

Xét f(x) = (2x-3)(x+5) có 2 nghiệm \(x =  - 5,x = \frac{3}{2}\) , mà a = 2 > 0

Do vậy: f(x) > 0 với \(\forall x:\left[ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x <  - 5\end{array} \right.\)

f(x) < 0 với \(\forall x: - 5 < x < \frac{3}{2}\)

f(x) = 0 với \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x =  - 5\end{array} \right.\)

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) \(f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5)\)

b) \(f(x) = (3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1)\)

c) \(f(x) = (4x^2 - 1)(- 8x^2 + x - 3)(2x + 9)\)

d) \(f(x) =\frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}\)

Phương pháp giải:

Cho nhị thức: \(f(x)=a x+b\) ta có:

+) \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x \in\left( { - \frac{b}{a};\, + \infty } \right).\)

+) \(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x \in \left( { + \infty ; \, - \frac{b}{a}} \right)\)

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5)\)

Xét tan thức 3x2 - 10x + 3 và nhị thức 4x - 5, rồi lập bảng xét dầu f(x), ta được:

Bảng xét dấu:

Câu b: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) = (3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1)\)

Xét tam giác: 3x2 - 4x và 2x2 - x -1, rồi lập bảng xét dấu f(x) là được: 

Bảng xét dấu:

Câu c: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) = (4x^2 - 1)(- 8x^2 + x - 3)(2x + 9)\)

Xét các tam giác 4x2 -1, -8x2 + x -3 và nhị thức 2x + 9. Lập bảng xét dấu f(x), ta được:

Câu d: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) =\frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}\)

Xét các tam thức: 3x2 - x, 3 - x2, 4x2 + x - 3. Lập bảng xét dấu f(x), ta được:

Bảng xét dấu:

Giải các bất phương trình sau

a) \(4x^2 - x + 1 < 0\)

b) \(- 3x^2 + x + 4 \geq 0\)

c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\)

d) \(x^2 - x - 6 \leq 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng cách xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(4x^2 - x + 1 < 0\)

Xét tam thức \(f\left( x \right){\rm{ }} = 4{x^2} - x + 1\) có: \(\Delta  = {1^2} - 16 =  - 15 < 0\)

Mà \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} > {\rm{ }}0 \Rightarrow f(x) > 0\) với mọi x.

Suy ra bất phương trình vô nghiệm

Câu b: Giải bất phương trình \(- 3x^2 + x + 4 \geq 0\)

Xét \(f(x) =  - 3{x^2} + x + 4\) có \(a = b + c =  - 3 - 1 + 4 = 0\)

\( \Rightarrow f(x)\) có 2 nghiệm: \(x =  - 1,x = \frac{4}{3}\)

Mà a = -3 < 0, do đó: \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le \frac{4}{3}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \( - 1 \le x \le \frac{4}{3}\)

Câu d: Giải bất phương trình \(x^2 - x - 6 \leq 0\)

Xét \(f(x) = {x^2} - x - 6\) có hai nghiệm x = 3, x = -2, mà hệ số a = 1

Suy ra: \(f(x) \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \( - 2 \le x \le 3\)

Câu c: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\)

\(\frac{1}{{{x^2} - 4}} < \frac{3}{{3{x^2} + x - 4}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} + x - 4 - 3({x^2} - 4)}}{{({x^2} - 4)(3{x^2} + x - 4)}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 8}}{{({x^2} - 4)(3{x^2} + x - 4)}} < 0\)

Lập bảng xét dấu: \(f(x) = \frac{{x + 8}}{{({x^2} - 4)(3{x^2} + x - 4)}},\) ta có

Nhìn vào bảng xét dấu ta có bất phương trình đã cho có nghiệm

\(x \in \left( { - \infty ; - 8} \right) \cup ( - 2; - \frac{4}{3}) \cup (1;2)\)  

Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) \((m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0\)

b) \((3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

+) Xét với từng trường hợp để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.

+) Phương trình bậc hai vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta '  < 0.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \((m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0\) vô nghiệm

Đặt \(f(x) = (m - 2){x^2} + 2(2m - 3)x + 5m - 6\)

Nếu \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\) Khi đó phương trình f(x) = 0 trở thành \(2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\) là nghiệm.

Suy ra m = 2 không là giá trị cần tìm.

Nếu \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(2m - 3)^2} - (m - 2)(5m - 6)\\ = 4{m^2} - 12m + 9 - 5{m^2} + 6m + 10m - 12\\ =  - {m^2} + 4m - 3\end{array}\)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0\)

\( \Leftrightarrow  - {m^2} + 4m - 3 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.\)là giá trị cần tìm.

Câu b: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \((3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0\) vô nghiệm

Đặt \(f(x) = (3 - m){x^2} - 2(m + 3)x + m + 2\)

Nếu \(3 - m = 0 \Leftrightarrow m = 3,\) khi đó phương trình trở thành \( - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{6}\) là nghiệm

Suy ra: m =3 không là giá trị cần tìm.

Nếu \(3 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(m + 3)^2} - (3 - m)(m + 2)\\ = {m^2} + 6m + 9 - 3m - 6 + {m^2} + 2m = 2{m^2} + 5m + 3\end{array}\)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 5m + 3 < 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{2} < m <  - 1\)