Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Phần hướng dẫn giải bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Mục lục nội dung
Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1.Giải bài 1 trang 99 SGK Đại số 10
Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a) −x+2+2(y−2)<2(1−x)−x+2+2(y−2)<2(1−x)
b) 3(x−1)+4(y−2)<5x−33(x−1)+4(y−2)<5x−3
Phương pháp giải:
Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax+by≤c(ax+by≥c)ax+by≤c(ax+by≥c)
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.
Bước 2: Lấy một điểm M(x0;y0)M(x0;y0) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ).
Bước 3: Tính ax0+by0ax0+by0 và so sánh ax0+by0ax0+by0 với c.
Bước 4: Kết luận:
+) Nếu ax0+by0<cax0+by0<c thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M là miền nghiệm của ax0+by0≤cax0+by0≤c.
+) Nếu ax0+by0>cax0+by0>c thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M là miền nghiệm của ax0+by0≥cax0+by0≥c.
Hướng dẫn giải:
Câu a: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình −x+2+2(y−2)<2(1−x)−x+2+2(y−2)<2(1−x)
Ta có: −x+2+2(y−2)<2(1−x)(1)−x+2+2(y−2)<2(1−x)(1)
⇔x+2y−4<0⇔x+2y−4<0
Gọi ΔΔ là đường thẳng có phương trình: x+2y−4=0x+2y−4=0
Xét M(0;0), ta có: 0 + 2.0 - 4 = -4 < 0
Vậy miền nghiệm của bất phương trình (1) là nữa mặt phẳng bờ ΔΔ chứa gốc toạ độ O (trừ đường thẳng ΔΔ) (màu gạch chéo).
Câu b: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 3(x−1)+4(y−2)<5x−33(x−1)+4(y−2)<5x−3
Ta có: 3x−3+4(y−2)<5x−33x−3+4(y−2)<5x−3
⇔−2x+4y−8<0⇔−2x+4y−8<0
Gọi ΔΔ: −2x+4y−8=0−2x+4y−8=0. Vẽ đường thẳng ΔΔ.
Lấy O(0;0), ta có: -2.0 + 4.0 - 8 < 0
Do vậy nữa mặt phẳng bờ ΔΔ chưa gốc toạ độ O (trừ đường thẳng ΔΔ) là miền nghiệm của bất phương trình.
2. Giải bài 2 trang 99 SGK Đại số 10
Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau.
a) {x−2y<0x+3y>−2y−x<3
b) {x3+y2−1<0x+12−3y2≤2x≥0
Phương pháp giải:
Ta biểu diễn hình học tập nghiệm của từng bất phương trình của hệ, nghiệm chung của chúng chính là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax+by≤c(ax+by≥c)
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.
Bước 2: Lấy một điểm M(x0;y0) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ).
Bước 3: Tính ax0+by0 và so sánh ax0+by0 với c.
Bước 4: Kết luận:
+) Nếu ax0+by0<c thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M là miền nghiệm của ax0+by0≤c.
+) Nếu ax0+by0>c thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M là miền nghiệm của ax0+by0≥c.
Hướng dẫn giải:
Câu a: Biễu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương {x−2y<0x+3y>−2y−x<3
Ta có: {x−2y<0x+3y>−2y−x<3⇔{x−2y<0x+3y>−2y−x<3
Gọi Δ1,Δ2,Δ3 lần lượt là ba đường thẳng có phương trình là:
x−2y=0;x+3y+2=0;
x - y + 3 = 0
Lấy điểm M(1;0), ta có:
1 - 2.0 = 1 > 0
1 + 3.0 + 2 = 3 >0
1 - 0 + 3 = 4 > 0
Vẽ Δ1,Δ2,Δ3 trên hệ trục, ta có: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch sọc ở hình bên dưới (không kể các bờ)
Vậy tập nghiệm của hệ là miền không gạch
Câu b: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình {x3+y2−1<0x+12−3y2≤2x≥0
{x3+y2−1<0x+12−3y2≤0⇔{2x+3y−6<02x−3y−3≤0x≥0
Gọi Δ1,Δ2,Δ3 lần lượt là ba đường thẳng có phương trình lần lượt là 2x + 3y - 6 =0;
2x - 3y - 3 = 0; x = 0.
Lấy điểm M(1;1), ta có:
2.1 + 3.1 - 6= -1< 0
2.1 - 3.1 - 3 =-4 < 0; 1 >0
Vẽ Δ1,Δ2,Δ3 trên hệ trục ta có:
⇒ Trên nghiệm của hệ là miền trong của tam giác M1,M2,M3 và hai đoạn thẳng M1M2, M2M3. Với M1 là giao của Δ1 và Δ3, M2 là giao Δ2 và Δ3, M3 là giao của Δ1 và Δ2.
Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch chéo
3. Giải bài 3 trang 99 SGK Đại số 10
Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.
Phương pháp giải:
- Lập các bất phương trình dựa vào điều kiện bài cho.
- Biểu diễn miền nghiệm.
- Tìm GTLN của biểu thức tiền lãi và kết luận.
Hướng dẫn giải:
Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I(x > 0), y là số đơn vị sản phẩm loại II(y>0). Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L =3.x + 5y (nghìn đồng).
Theo bảng, ta có: Nhóm A cần 2x + 2y máy
Nhóm B cần 0x + 2y máy
Nhóm C cần 2x + 4y máy
Theo bài ra, ta có hệ:
Bài toán trở thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm (x=x0;y=y0) sao cho L = 3x + 5y lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ (1) là ngũ giác OABCD kể cả miền trong (gọi là miền ngũ giác OABCD).
Do vậy để có tổng tiền cao nhất thì x = 4, y = 1 và L=3.4 + 5.1 = 17 (nghìn đồng).
Vậy đề có tiền lãi cao nhất, mỗi ngày sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Bất đẳng thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương IV: Bất đẳng thức. Bất phương trình