Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) \(- x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)\)

b) \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3\)

Phương pháp giải:

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c\left( {ax + by \ge c} \right)\)

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.

Bước 2: Lấy một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ).

Bước 3: Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh  \(a{x_0} + b{y_0}\) với c.

Bước 4: Kết luận:

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0} \le c\).

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0}  \ge  c\).

Hướng dẫn giải:

Câu a: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình \(- x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)\)

Ta có: \( - x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) (1)\)

\( \Leftrightarrow x + 2y - 4 < 0\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng có phương trình: \(x + 2y - 4 = 0\)

Xét M(0;0), ta có: 0 + 2.0 - 4 = -4 < 0

Vậy miền nghiệm của bất phương trình (1) là nữa mặt phẳng bờ \(\Delta \) chứa gốc toạ độ O (trừ đường thẳng \(\Delta \)) (màu gạch chéo).

Câu b: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3\)

Ta có: \(3x - 3 + 4(y - 2) < 5x - 3\)

\( \Leftrightarrow  - 2x + 4y - 8 < 0\)

Gọi \(\Delta \): \( - 2x + 4y - 8 = 0\). Vẽ đường thẳng \(\Delta \).

Lấy O(0;0), ta có: -2.0 + 4.0 - 8 < 0

Do vậy nữa mặt phẳng bờ \(\Delta \) chưa gốc toạ độ O (trừ đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình.

 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau.

a) \(\left\{\begin{matrix} x-2y<0\\ x+3y>-2 \\ y-x<3 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\leq 2 \\ x\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Ta biểu diễn hình học tập nghiệm của từng bất phương trình của hệ, nghiệm chung của chúng chính là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c\left( {ax + by \ge c} \right)\)

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.

Bước 2: Lấy một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ).

Bước 3: Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh  \(a{x_0} + b{y_0}\) với c.

Bước 4: Kết luận:

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0} \le c\).

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0}  \ge  c\).

Hướng dẫn giải:

Câu a: Biễu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương \(\left\{\begin{matrix} x-2y<0\\ x+3y>-2 \\ y-x<3 \end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 2y < 0}\\
{x + 3y >  - 2}\\
{y - x < 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y < 0\\
x + 3y >  - 2\\
y - x < 3
\end{array} \right.\)

Gọi \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) lần lượt là ba đường thẳng có phương trình là:

\(x - 2y = 0;x + 3y + 2 = 0;\)

x - y + 3 = 0

Lấy điểm M(1;0), ta có:

1 - 2.0 = 1 > 0

1 + 3.0 + 2 = 3 >0

1 - 0 + 3 = 4 > 0

Vẽ \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) trên hệ trục, ta có: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch sọc ở hình bên dưới (không kể các bờ)

Vậy tập nghiệm của hệ là miền không gạch

Câu b:  Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\leq 2 \\ x\geq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 1 < 0\\
x + \frac{1}{2} - \frac{{3y}}{2} \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - 6 < 0\\
2x - 3y - 3 \le 0\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

Gọi \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) lần lượt là ba đường thẳng có phương trình lần lượt là 2x + 3y - 6 =0;

2x - 3y - 3 = 0; x = 0.

Lấy điểm M(1;1), ta có:

2.1 + 3.1 - 6= -1< 0

2.1 - 3.1 - 3 =-4 < 0; 1 >0

Vẽ \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) trên hệ trục ta có:

⇒ Trên nghiệm của hệ là miền trong của tam giác \({M _1},{M _2},{M _3}\) và hai đoạn thẳng M1M2, M2M3. Với M1 là giao của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _3}\), M2 là giao \({\Delta _2}\) và \({\Delta _3}\), M3 là giao của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch chéo

Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

Phương pháp giải:

- Lập các bất phương trình dựa vào điều kiện bài cho.

- Biểu diễn miền nghiệm.

- Tìm GTLN của biểu thức tiền lãi và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I(x > 0), y là số đơn vị sản phẩm loại II(y>0). Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L =3.x + 5y (nghìn đồng).

Theo bảng, ta có: Nhóm A cần 2x + 2y máy

Nhóm B cần 0x + 2y máy

Nhóm C cần 2x + 4y máy

Theo bài ra, ta có hệ:

Bài toán trở thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm \((x = {x_0};y = {y_0})\) sao cho L = 3x + 5y lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ (1) là ngũ giác OABCD kể cả miền trong (gọi là miền ngũ giác OABCD).

Do vậy để có tổng tiền cao nhất thì x = 4, y = 1 và L=3.4 + 5.1 = 17 (nghìn đồng).

Vậy đề có tiền lãi cao nhất, mỗi ngày sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.