Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương IV: Bất đẳng thức. Bất phương trình

Sử dụng bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau

a) x là số dương

b) y là số không âm

c) Với mọi số thực α, |α| là số không âm

d) Trung bình cộng của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng

Hướng dẫn giải:

a) x > 0

b) y ≥ 0

c) ∀α ∈ R, |α| ≥ 0

d) ∀a, b > 0, \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)

Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết

a) \(ab > 0\)

b) \(\frac{a}{b} > 0\)

c) \(ab < 0\)

d) \(\frac{a}{b} < 0\)

Hướng dẫn giải:

a) Hai số a và b cùng dấu

b) Hai số a và b cùng dấu

c) Hai số a và b trái dấu nhau

d) Hai số a và b trái dấu nhau

Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1}\\
{y < 1}
\end{array}} \right. \Rightarrow xy < 1\)

(B) \(\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
y < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} < 1\)

(C) \(\left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
y < 1
\end{array} \right. \Rightarrow xy < 1\)

(D) \(\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
y < 1
\end{array} \right.x - y < 1\)

Hướng dẫn giải:

Suy luận (A) sai vì giả sử x = y = –2 thì x.y = 4 > 1

Suy luận (B) sai vì giả sử x = –6, y = –3 thì (x/y) = 2 > 1

Suy luận (C) đúng

Suy luận (D) sai vì giả sử x = 0, y = -5 => x - y = 5 > 1

Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào?

Hướng dẫn giải:

Khối lượng thực của vật nằm trong khoảng:

(26,4 - 0,05; 26,4 - 0,05) kg hay (26,35; 26,35) kg

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 - x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn:

a) f(x) = g(x)

b) f(x) > g(x)

c) f(x) < g(x)

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình

Phương pháp giải:

+) Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.

+) Kiểm tra lại bằng cách giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải:

* Vẽ đồ thị:

Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x + 1 qua hai điểm (0; 1) và (1; 2).

Vẽ đồ thị hàm số y = g(x) = 3 - x qua hai điểm (0; 3) và (3; 0)

Câu a: Đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm A(1; 2), hay tại x = 1 thì f(x) = g(x) = 2

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3 - x ⇔ x = 1

Câu b: Khi x > 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g(x), hay với x > 1 thì f(x) > g(x).

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) > g(x) ⇔ x + 1 > 3 - x ⇔ x > 1

Câu c: Khi x < 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = g(x), hay với x < 1 thì f(x) < g(x).

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) < g(x) ⇔ x + 1 < 3 - x ⇔ x < 1

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \ge 6\)

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} = \left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{a}{b}} \right)\\
 = \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right)
\end{array}\)

Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \ge 2 + 2 + 2 = 6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Vậy: \(\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \ge 6\) (đpcm)

Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương

Hướng dẫn giải:

Điều kiện của một bất phương trình là: các điều kiện của ẩn x sao cho các biểu thức của bất phương trình đó đều có nghĩa.

Hai bất phương trình tương đương là: nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.

Hướng dẫn giải:

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c

- Vẽ đường thẳng (d): ax + by = c

- Chọn điểmM(xo, yo) (thường chọn điểm (0; 0)) và tính giá trị axo + byo

- So sánh axo + byo với c:

   + Nếu axo + byo < c thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M

   + Nếu axo + byo = c thì miền nghiệm là đường thẳng (d)

   + Nếu axo + byo > c thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M

Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Hướng dẫn giải: 

Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

- Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x

- Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}}\)

- Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂ và f(x) trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂ (trong đó x₁, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm của f(x))

Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng \(\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \\
 \Leftrightarrow a\sqrt a  + b\sqrt b  \ge \sqrt a \sqrt b \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a + b - \sqrt a \sqrt b } \right) \ge \sqrt a \sqrt b \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\
 \Leftrightarrow a + b - \sqrt a \sqrt b  \ge \sqrt a \sqrt b \\
 \Leftrightarrow \left( {{{\sqrt a }^2}} \right) + {\left( {\sqrt b } \right)^2} - 2\sqrt a \sqrt b  \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0
\end{array}\)

(đúng với mọi a > 0, b > 0)

Vậy \(\frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \) (đpcm)

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 - x2 + 6x - 9 và \(g(x) = {x^2} - 2x - \frac{4}{{{x^2} - 2x}}\)

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau:

x(x3 - x + 6) > 9

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xét dấu f(x) = x⁴ - x² + 6x - 9 và \(g(x) = {x^2} - 2x - \frac{4}{{{x^2} - 2x}}\)

* Xét: f(x) = x⁴ - x² + 6x - 9

= x⁴ - (x - 3)² = (x² + x - 3)(x² - x + 3)

Do (x2 - x + 3) = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{13}}{4}\) > 0 nên f(x) cùng dấu với (x2 + x - 3).

Tam thức x2 + x - 3 có hai nghiệm là \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\) và \(\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\)

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ \(\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\)

f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\)) ∪ (\(\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\);+∞)

* Xét:

\(\begin{array}{l}
g(x) = {x^2} - 2x - \frac{4}{{{x^2} - 2x}}\\
 = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 4}}{{{x^2} - 2x}} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}}{{{x^2} - 2x}}
\end{array}\)

Vì x² - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 > 0 nên g(x) cùng dấu với \(\frac{{\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}}{{{x^2} - 2x}}\)

Tam thức x² - 2x - 2 có hai nghiệm là x1 = 1 - √3; x2 = 1 + √3.

Tam thức x² - 2x có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = 2

Vậy g(x) < 0 khi x ∈ (1 - √3; 0) ∪ (2; 1 + √3)

g(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 1 - √3) ∪ (0; 2) ∪ (1 + √3; +∞)

Câu b: Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình x(x³ - x + 6) > 9

Ta có: x(x³ - x + 6) > 9 ⇔ x⁴ - x² + 6x - 9 > 0

⇔ x⁴ - (x - 3)2 > 0 ⇔ (x² - x + 3)(x2 - x - 3) > 0 (*)

Do x² - x + 3 = x² - 2.x.1/2 + 1/4 + 11/4 = (x - 1/2)2 + 11/4 > 0 nên (*) tương đương với:

x² - x - 3 > 0

⇔ x < \(\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\) hoặc x > \(\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\) (kết quả phần a)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { - \infty ;\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}} \right)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}; + \infty } \right)\)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, chứng mình rằng:

b²x² - (b² + c² - a²)x + c² > 0 ∀x

 Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = b²x² - (b² + c² - a²)x + c² ta có:

Δ = (b² + c² - a²)2 - 4b2c2

= (b² + c² - a² - 2bc)(b² + c² - a² + 2bc)

= [(b - c)² - a²][(b + c)² - a²]

= [b - (c + a)][b - c + a](b + c + a)(b + c - a)

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên b < c + a; c < a + b; a < b + c

⇒ b - (c + a) < 0; b - c + a > 0; b + c + a > 0; b + c - a > 0

⇒ Δ < 0

Vậy f(x) cùng dấu với b² ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y \ge 9\\
x \ge y - 3\\
2y \ge 8 - x\\
y \le 6
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng

(Δ): 3x + y = 9 ⇔ y = -3x + 9 đi qua điểm (3; 0); (0; 9)

(Δ1): x - y + 3 = 0 ⇔ y = x + 3 đi qua điểm (-3; 0); (0; 3)

(Δ2): x + 2y = 8 ⇔ y = -x/2 + 4 đi qua điểm (8; 0); (0; 4)

(Δ3): y = 6 đi qua điểm (0; 6) song song với Ox

Miền nghiệm là miền không gạch chéo kể cả các đường biên của nó