Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) $\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1}$

b) $\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3}$

c) $2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1}$

d) $2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}$

Phương pháp giải:

$\dfrac{A}{B}$  có nghĩa khi và chỉ khi $B\ne 0$

$\sqrt{A}$  có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0$

$\dfrac{1}{{\sqrt A }}$  có nghĩa khi và chỉ khi $A>0$

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình $\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1}$

ĐK: 

$\left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne - 1 \end{array} \right.$

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}$

Câu b: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình $\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3}$

ĐK: 

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 \ne 0\\ {x^2} - 4x + 3 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0\\ \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \pm 2\\ x \ne 1,x \ne 3 \end{array} \right. \end{array}$

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}$

Câu c: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình $2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1}$

ĐK: $x+1\ne 0$ $\Leftrightarrow x\ne -1$

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\}$

Câu d: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình $2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}$

ĐK: 

$\left\{ \begin{array}{l} 1 - x \ge 0\\ x + 4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 1\\ x \ne - 4 \end{array} \right.$

TXĐ: $D = ( - \infty ; - 4) \cup ( - 4;1]$ hoặc $D = \left( { - \infty ;1} \right]\backslash \left\{ { - 4} \right\}$

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) $x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3$

b) $\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}$

c) $\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1$

Phương pháp giải:

Đánh giá mỗi vế của các bất phương trình rồi nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: $x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3$

ĐK: $x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 8$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt {x + 8}  \ge 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8}  \ge 0,\forall x \ge  - 8$

$\Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8}  >  - 3,\forall x \ge  - 8$

Vậy bất phương trình ${x^2} + \sqrt {x + 8}  \le  - 3$ vô nghiệm.

Câu b: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: $\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}$

Ta có: ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ $\Rightarrow 1 + 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 1$ $\Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  \ge 1$

$5 - 4x + {x^2}$ $= \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 1$ $= {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1$ $\Rightarrow \sqrt {5 - 4x + {x^2}}  \ge 1$

$\Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {5 - 4x + {x^2}}$ $\ge 1 + 1 = 2 > \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow$ BPT $\sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {5 - 4x + {x^2}}  < \dfrac{3}{2}$ vô nghiệm.

Câu c: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: $\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1$

Vì $1 < 7 \Rightarrow 1 + {x^2} < 7 + {x^2}$ $\Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  < \sqrt {7 + {x^2}}$

$\Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {7 + {x^2}}  < 0 < 1$

$\Rightarrow$ BPT $\sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {7 + {x^2}}  > 1$ vô nghiệm.

Kết luận

Vậy ta được điều cần chứng minh

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) $- 4x + 1 > 0$ và $4x - 1 <0$

b) $2x^2 +5 \leq 2x - 1$ và $2x^2 - 2x + 6 \leq 0$

c) $x + 1 > 0$ và  $x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1}$

d) $\sqrt{x-1} \geq x$ và $(2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp để nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Vì sao cặp bất phương trình $- 4x + 1 > 0$, $4x - 1 <0$ tương đương

Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với -1 và đổi chiều ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).

Câu b: Vì sao cặp bất phương trình $2x^2 +5 \leq 2x - 1$, $2x^2 - 2x + 6 \leq 0$ tương đương

Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương.

Câu c: Vì sao cặp bất phương trình $x + 1 > 0$, $x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1}$ tương đương

Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức $\frac{1}{{{x^2} + 1}}$ không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương.

Câu d: Vì sao cặp bất phương trình $\sqrt{x-1} \geq x$, $(2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1)$ tương đương

Hai bất phương trình có điều kiện chung là $x \ge 1$. Trên tập các giá trị này của x thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).

Vậy ta được điều chứng minh.

Giải các phương trình sau

a) $\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}$

b) $(2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5$

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số đưa về bất phương trình bậc nhất bằng các phép biến đổi tương đương đã học.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình $\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}$

$\frac{{3x + 1}}{2} - \frac{{x - 2}}{3} < \frac{{1 - 2x}}{4} \Leftrightarrow \frac{{3(3x + 1) - 2(x - 2)}}{6} - \frac{{1 - 2x}}{4} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{{7x + 7}}{6} + \frac{{2x - 1}}{4} < 0 \Leftrightarrow 14x + 14 + 6x - 3 < 0 \Leftrightarrow 20x <  - 11$

$\Leftrightarrow x <  - \frac{{11}}{{20}}$

Vậy $S = \left( { - \infty ; - \frac{{11}}{{20}}} \right)$

Câu b: Giải phương trình $(2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5$

$(2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \le (x - 1)(x + 3) + {x^2} - 5$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 - 3x + 1 \le {x^2} + 2x - 3 + {x^2} - 5$

$\Leftrightarrow 1 \le  - 5$ vô nghiệm. 

$S = \emptyset$

Giải các hệ bất phương trình

a) $\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5 \end{matrix}\right.$

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}}\end{array}} \right.$

Phương pháp giải:

- Giải từng bất phương trình tìm tập nghiệm.

- Lấy giao các tập nghiệm đó được tập nghiệm của hệ.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình $\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5 \end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\ \frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x < 7 - \frac{5}{7}\\ 8x + 3 < 4x + 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x < \frac{{44}}{7}\\ 4x < 7 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < \frac{{22}}{7}\\ x < \frac{7}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}$

Vậy $S = \left( { - \infty ;\frac{7}{4}} \right)$

Câu b: Giải bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}}\end{array}} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}\\ 2(x + 4) < \frac{{3x - 14}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 13x > \frac{7}{3}\\ 4x - 16 < 3x - 14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{7}{{39}}\\ x < 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \frac{7}{{39}} < x < 2$

Vậy $S = \left( {\frac{7}{{39}};2} \right)$