Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1}\)

b) \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3}\)

c) \(2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1}\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}\)

Phương pháp giải:

\(\dfrac{A}{B}\)  có nghĩa khi và chỉ khi \(B\ne 0\)

\(\sqrt{A}\)  có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\)

\(\dfrac{1}{{\sqrt A }}\)  có nghĩa khi và chỉ khi \(A>0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1}\)

ĐK: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ne - 1
\end{array} \right.\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\)

Câu b: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3}\)

ĐK: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 \ne 0\\
{x^2} - 4x + 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0\\
\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \pm 2\\
x \ne 1,x \ne 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\)

Câu c: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình \(2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1}\)

ĐK: \(x+1\ne 0\) \(\Leftrightarrow x\ne -1\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\}\)

Câu d: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của phương trình \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}\)

ĐK: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - x \ge 0\\
x + 4 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ne - 4
\end{array} \right.\)

TXĐ: \(D = ( - \infty ; - 4) \cup ( - 4;1]\) hoặc \(D = \left( { - \infty ;1} \right]\backslash \left\{ { - 4} \right\}\)

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)

Phương pháp giải:

Đánh giá mỗi vế của các bất phương trình rồi nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)

ĐK: \(x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 8\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt {x + 8}  \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8}  \ge 0,\forall x \ge  - 8\)

\( \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8}  >  - 3,\forall x \ge  - 8\)

Vậy bất phương trình \({x^2} + \sqrt {x + 8}  \le  - 3\) vô nghiệm.

Câu b: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\)

Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow 1 + 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 1\) \( \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  \ge 1\)

\(5 - 4x + {x^2}\) \( = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 1\) \( = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) \( \Rightarrow \sqrt {5 - 4x + {x^2}}  \ge 1\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {5 - 4x + {x^2}} \) \( \ge 1 + 1 = 2 > \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \) BPT \(\sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {5 - 4x + {x^2}}  < \dfrac{3}{2}\) vô nghiệm.

Câu c: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)

Vì \(1 < 7 \Rightarrow 1 + {x^2} < 7 + {x^2}\) \( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  < \sqrt {7 + {x^2}} \)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {7 + {x^2}}  < 0 < 1\)

\( \Rightarrow \) BPT \(\sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {7 + {x^2}}  > 1\) vô nghiệm.

Kết luận

Vậy ta được điều cần chứng minh

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\)

b) \(2x^2 +5 \leq 2x - 1\) và \(2x^2 - 2x + 6 \leq 0\)

c) \(x + 1 > 0\) và  \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1}\)

d) \(\sqrt{x-1} \geq x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp để nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Vì sao cặp bất phương trình \(- 4x + 1 > 0\), \(4x - 1 <0\) tương đương

Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với -1 và đổi chiều ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).

Câu b: Vì sao cặp bất phương trình \(2x^2 +5 \leq 2x - 1\), \(2x^2 - 2x + 6 \leq 0\) tương đương

Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương.

Câu c: Vì sao cặp bất phương trình \(x + 1 > 0\), \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1}\) tương đương

Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức \(\frac{1}{{{x^2} + 1}}\) không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương.

Câu d: Vì sao cặp bất phương trình \(\sqrt{x-1} \geq x\), \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1)\) tương đương

Hai bất phương trình có điều kiện chung là \(x \ge 1\). Trên tập các giá trị này của x thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).

Vậy ta được điều chứng minh.

Giải các phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5\)

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số đưa về bất phương trình bậc nhất bằng các phép biến đổi tương đương đã học.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\)

\(\frac{{3x + 1}}{2} - \frac{{x - 2}}{3} < \frac{{1 - 2x}}{4} \Leftrightarrow \frac{{3(3x + 1) - 2(x - 2)}}{6} - \frac{{1 - 2x}}{4} < 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{{7x + 7}}{6} + \frac{{2x - 1}}{4} < 0 \Leftrightarrow 14x + 14 + 6x - 3 < 0 \Leftrightarrow 20x <  - 11\)

\( \Leftrightarrow x <  - \frac{{11}}{{20}}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \frac{{11}}{{20}}} \right)\)

Câu b: Giải phương trình \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5\)

\((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \le (x - 1)(x + 3) + {x^2} - 5\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 - 3x + 1 \le {x^2} + 2x - 3 + {x^2} - 5\)

\( \Leftrightarrow 1 \le  - 5\) vô nghiệm. 

\(S = \emptyset \)

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải:

- Giải từng bất phương trình tìm tập nghiệm.

- Lấy giao các tập nghiệm đó được tập nghiệm của hệ.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\
\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x < 7 - \frac{5}{7}\\
8x + 3 < 4x + 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x < \frac{{44}}{7}\\
4x < 7
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{{22}}{7}\\
x < \frac{7}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\frac{7}{4}} \right)\)

Câu b: Giải bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}\\
2(x + 4) < \frac{{3x - 14}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x > \frac{7}{3}\\
4x - 16 < 3x - 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{7}{{39}}\\
x < 2
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{7}{{39}} < x < 2\)

Vậy \(S = \left( {\frac{7}{{39}};2} \right)\)