Giải bài tập SGK Vật lý 12 Bài 3: Con lắc đơn

Thế nào là con lắc đơn? Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học. Chứng minh khi con lắc dao động nhỏ (sinα ≈ α) (rad), dao động của con lắc đơn là dao động điều hòa.

Phương pháp giải

• Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được khái niệm và các đặc điểm của con lắc đơn.
• Phân tích các lực tác dụng lên vật, tìm giá trị thành phần lực \({\vec P_t}\) và so sánh với lực kéo về của con lắc lò xo F = -kx.

Hướng dẫn giải

- Khái niệm con lắc đơn: Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây không dãn, không đáng kể, chiều dài là l.

- Khảo sát dao động của con lắc đơn:

• Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí mà dây treo có phương thằng đứng.

• Con lắc sẽ đứng yên mãi ở vị trí này nếu lúc đầu nó đứng yên. Kéo nhẹ quả cầu cho dây treo lệch khỏi vị trí cân bằng một góc rồi thả ra, ta thấy con lắc dao động quanh vị trí cân bằng trong mặt phẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật.

- Xét con lắc đơn như hình vẽ:

Tại vị trí M, vật chịu tác dụng trọng lực \(\vec P\) và lực căng \(\vec T\).

• \(\vec P\) được phân tích thành 2 thành phần: \({\vec P_n}\) theo phương vuông góc với đường đi, \({\vec P_t}\) theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo.
• Lực căng \(\vec T\) và thành phần \({\vec P_n}\) vuông góc với đường đi nên không làm thay đổi tốc độ của vật.
• Thành phần lực \({\vec P_t}\) là lực kéo về có giá trị P_t = -mgsinα
• Nếu li độ góc α nhỏ thì sinα ≈ α (rad) thì P_t = -mgα = -\(\frac{{mgs}}{l}\) so sánh với lực kéo về của con lắc lò xo F = -kx.
• Ta thấy \(\frac{{mg}}{l}\) có vai trò của k → \(\frac{{l}}{g}\) = \(\frac{{m}}{k}\)

Vậy khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa.

Viết công thức tính chu kì của con lắc đơn khi dao động nhỏ.

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được công thức tính chu kì T của con lắc đơn khi dao động nhỏ.

Hướng dẫn giải

Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì: \(\small T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

3. Giải bài 3 trang 17 SGK Vật lí 12

Viết biểu thức của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc đơn ở vị trí có góc lệch α bất kì.

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được biểu thức của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc đơn.

Hướng dẫn giải

• Động năng của con lắc đơn: \(W_d=\frac{1}{2}mv^2\)

• Thế năng của con lắc đơn ở li độ góc α: \(W_t=mgl(1-cos\alpha )\) 

(mốc thế năng ở vị trí cân bằng)

• Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát: \(W=\frac{1}{2}mv^2+mgl(1-cos\alpha )\) = const

• Vì cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát, nên khi con lắc dao động, động năng tăng một lượng bao nhiêu thì thế năng giảm một lượng bấy nhiêu và ngược lại.

Hãy chọn đáp án đúng.

Chu kì của con lắc đơn dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)) là: 

A. \(T=\frac{1}{2\pi }.\sqrt{\frac{l}{g }}\).                                      

B. \(T=\frac{1}{2\pi }.\sqrt{\frac{g}{l }}\).

C.  \(T=\sqrt{2\pi \frac{l}{g }}\).                                      

D. \(T=2\pi\sqrt{ \frac{l}{g }}\)

Phương pháp giải

Để chọn phương án đúng ta cần nắm được công thức tính chu kì T của con lắc đơn dao động nhỏ.

Hướng dẫn giải

Công thức tính chu kì của con lắc đơn dao động: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

⇒ Đáp án: D

Hãy chọn câu đúng.

Một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ. Chu kì của con lắc không thay đổi khi:

A. Thay đổi chiều dai của con lắc.

B. Thay đổi gia tốc trọng trường.

C. Tăng biên độ góc đến 30⁰.

D. Thay đổi khối lượng của con lắc.

Phương pháp giải

Để chọn phương án đúng ta cần nắm được công thức tính chu kì T của con lắc đơn khi dao động và hiểu được các thông số đại lượng trong công thức đó.

Hướng dẫn giải

Dựa vào công thức tính chu kì của con lắc đơn khi dao động là: \(T=2\pi\sqrt{ \frac{l}{g }}\)

Ta thấy chu kỳ của con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào g và l mà không phụ thuộc vào khối lượng vật nặng m.

Vậy khi thay đổi khối lượng của con lắc thì chu kỳ của con lắc đơn không thay đổi.

⇒ Đáp án: D

Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ li độ góc α₀. Khi con lắc qua vị trí cân bằng thì tốc độ của quả cầu con lắc là bao nhiêu?

A.  \(\sqrt {gl(1 - cos{\alpha _0})} \)                                                   

B.  \(\sqrt {2glcos{\alpha _0}} \)

C.  \(\sqrt {2gl(1 - cos{\alpha _0})} \)                                                 

D.  \(\sqrt {glcos{\alpha _0}} \)

Phương pháp giải

Để chọn phương án đúng ta cần nắm được đặc điểm của động năng, thế năng và cơ năng khi con lắc đi qua vị trí cân bằng ⇒ v_max^.

Hướng dẫn giải

Khi con lắc qua vị trí cân bằng thì thế năng bằng 0, động năng cực đại (bằng cơ năng): 

Ta có:

\(\begin{array}{l} {W_{dmax}} = W\\ \begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgl\left( {1 - c{\rm{os}}{\alpha _0}} \right)}\\ { \Rightarrow {v_{max}} = \pm \sqrt {2gl\left( {1 - c{\rm{os}}{\alpha _0}} \right)} } \end{array} \end{array}\)

⇒ Đáp án: C

Một con lắc đơn dài l = 2,00 m, dao động điều hòa tại một nơi có gia tốc rơi tự do g = 9,80 m/s². Hỏi con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần trong 5,00 phút?

Phương pháp giải

Đây là dạng toán con lắc đơn dao động điều hòa và yêu cầu ta tính số dao động toàn phần mà con lắc thực hiện được trong thời gian cho trước.

Cách giải:

• Bước 1: Tìm Chu kì dao động của con lắc đơn

• Bước 2 : Tính số dao dộng đã thực hiện dựa trên  công thức : 

\(n=\frac{t}{T}\) (dao động)

• Bước 3: Thay số vào công thức và tính toán 

Hướng dẫn giải

Tính tần số dao động của con lắc đơn:

\(\begin{array}{l} T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \\ \Rightarrow f = \frac{1}{T} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{9,8}}{2}} \approx 0,3523 \end{array}\)

Ta có tần số là số dao động vật thực hiện được trong 1s

=> Số dao động toàn phần mà con lắc thực hiện được trong thời gian t = $5$ phút = 5.60 = 300 s $= \mathrm{5.60 }= \mathrm{300 }s$ là:

N = f.t = 0,3523.300 = 105,69 ≈106 dao động

Vậy, con lắc thực hiện được 106 dao động toàn phần trong 5 phút.