Giải bài tập SGK Vật lý 12 Bài 1: Dao động điều hòa

Phát biểu định nghĩa của dao động điều hòa.

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được định nghĩa dao động điều hòa.

Hướng dẫn giải

Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian.

Viết phương trình của dao động điều hòa và giải thích các đại lượng trong phương trình.

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được phương trình dao động điều hòa và hiểu được các thông số đại lượng trong phương trình đó.

Hướng dẫn giải

Phương trình dao động điều hòa là \(x = Acos(\omega t + \varphi)\).

Trong đó:

• x là li độ của dao động
• A là biên độ dao động, là li độ cực đại của vật, A > 0.
• ω là tần số góc của đơn vị, đơn vị là rad/s
• \(\omega t + \varphi\) là pha của dao động tại thời điểm t, đơn vị là rad
• \(\varphi\) là pha ban đầu tại t = 0 (\(\varphi\) < 0, \(\varphi\)>0, \(\varphi\) = 0)

Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn thể hiện ở chỗ nào?

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn.

Hướng dẫn giải

Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn: 

Một điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thằng đó.

Nêu định nghĩa chu kì và tần số của dao động điều hòa.

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi trên cần nắm được khái niệm chu kì và tần số của dao động điều hòa và đơn vị của chúng.

Hướng dẫn giải

- Tần số của dao động điều hòa: 

• Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.

• Đơn vị của tần số là héc (Hz).

- Chu kì của dao động điều hòa:

• Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện được một dao động toàn phần.
• Đơn vị của chu kì là giây (s).

Giữa chu kì, tần số và tần số góc có mối liên hệ như thế nào?

Phương pháp giải

Để tìm mối liên hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc cần tìm công thức mà trong đó có các đại lượng chu kì, tần số và tần số góc.

Hướng dẫn giải

Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc:

• Trong dao động điều hòa, đại lượng  \(\omega\) được gọi là tần số góc.

• Giữa tần số góc \(\omega\) , chu kì và tần số có mối liên hệ: \(\omega = \frac{2\pi}{T}=2\pi f\).

Một vật dao động điều hòa theo phương trình: \(\small x=Acos(\omega t+\phi )\). 

a. Lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật.

b. Ở vị trí nào thì vận tốc bằng 0? Ở vị trí nào thì gia tốc bằng 0? 

c. Ở vị trí nào thì vận tốc có độ lớn cực đại? Ở vị trí nào thì gia tốc có độ lớn cực đại? 

Phương pháp giải

a. Để lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Từ phương trình dao động điều hòa \(\small x=Acos(\omega t+\phi )\) để lập công thức tính vận tốc v, ta tìm x^' (đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian).
• Bước 2: Để lập công thức tính gia tốc a ta tìm v^' (đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian).

b. Để xác định vị trí vận tốc bằng 0 và gia tốc bằng 0 ta dựa vào vòng tròn lượng giác để xác định các vị trí mà tại đó v =0 và a =0.

c.  Để xác định vị trí vận tốc và gia tốc có độ lớn cực đại ta dựa vào vòng tròn lượng giác để xác định các vị trí mà tại đó v_max và a_max.

Hướng dẫn giải

Câu a: Công thức tính vận tốc và gia tốc của vật:

• \(v=x' =-\omega Asin(\omega t+\phi )\)

• \(a = v' =  - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \phi ) =  - {\omega ^2}x\)

Câu b 

• Ở vị trí biên thì vận tốc bằng 0

• Ở vị trí cân bằng thì gia tốc bằng 0

Câu c

• Ở vị trí vân bằng thì vận tốc có độ lớn cực đại: 

Tại \(x = 0\) thì \(v = v_{max} = \omega A\)

• Ở vị trí biên thì gia tốc có độ lớn cực đại:

Tại \(x=\pm A\) thì \(a=a_{max}=\omega^2A\)

Một con lắc dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 12cm. Biên độ dao động vật lí là bao nhiêu?

A. 12cm

B. -12cm

C. 6cm

D. -6cm

Phương pháp giải

Đây là dạng câu hỏi vận dụng đơn giản, đề cho chiều dài quỹ đạo và yêu cầu tìm chiều dài của biên độ dao động

Cách giải :

• Bước 1: Vì Quỹ đạo dao động có độ dài bằng hai lần biên độ nên áp dụng công thức \(l=2A\)

• Bước 2: Thay số vào và tìm A.

• Bước 3: Chọn phương án đúng với kết quả.

Hướng dẫn giải

Áp dụng phương pháp trên để giải bài 7 như sau: 

Vì Quỹ đạo dao động có độ dài bằng hai lần biên độ. 

\(\Leftrightarrow 2A=12cm\rightarrow A=6cm\)

⇒ Chọn C.

Một vật chuyển động tròn đều với tốc độ góc là π rad/s. Hình chiếu của vật trên một đường kính dao động điều hòa với tần số góc, chu kì và tần số bằng bao nhiêu?

A. \(\small \pi rad/s; 2 s; 0,5 Hz.\)

B. \(\small 2 \pi rad/s; 0,5 s; 2 Hz\).

C. \(\small 2 \pi rad/s; 1 s; 1 Hz.\)

D. \(\small \frac{\pi}{2}rad/s; 4 s; 0,25 Hz.\)

Phương pháp giải

Đây là dạng câu hỏi vận dụng đơn giản, đề cho giá trị của tốc độ góc của vật chuyển động tròn đều  và yêu cầu tìm tần số góc, chu kì và tần số  của hình chiếu vật  dao động điều hòa.

Cách giải :

- Lập luận: Tốc độ góc của vật chuyển động tròn đều có giá trị đúng bằng tần số góc của hình chiếu vật trên một đường kính  dao động điều hòa 

⇒ \(\omega =\pi\)

- Áp dụng công thức: 

• Chu kì: T = 

• Tần số: f = 

- Thay số vào và chọn phương án đúng

Hướng dẫn giải

Áp dụng phương pháp trên để giải bài 8 như sau: 

Tần số góc bằng tốc độ góc:  \(\omega =\pi\) (rad/s).

Chu kì: T =  = 2 s; Tần số: f =  = 0,5 Hz.

⇒ Chọn A. 

Cho phương trình của dao động điều hòa \(\small x = - 5cos(4 \pi \ t)\)(cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động là bao nhiêu?

A. \(\small 5 cm; 0  rad\).                                      

B. \(\small 5 cm; 4 \pi \ rad\).

C. \(\small 5 cm; (4 \pi \ t) rad.\)                             

D. \(\small 5 cm; \pi \ rad\)

Phương pháp giải

Đây là dạng bài xác định các thông số của phương trình dao dộng điều hòa dựa theo phương trình cho trước.

Cách giải:

• Viết lại phương trình về dạng \(x = Acos(\omega t + \varphi)\) .

• Sau đó xác định theo yêu cầu của đề là tìm : A, 

• Chọn phương án đúng với kết quả.

Hướng dẫn giải

Áp dụng phương pháp trên để giải bài 9 như sau: 

Phương trình dao động: \(\small x = - 5cos(4 \pi \ t)\)  \(= 5cos(4 \pi \ t+\pi )\) (cm).

Biên độ A = 5 cm, pha ban đầu  = π rad.

⇒ Đáp án D.

Phương trình của dao động điều hòa là \(\small x = 2cos(5t - \frac{\pi}{6})\) (cm). Hãy cho biết biên độ, pha ban đầu, và pha ở thời điểm t của dao động.

Phương pháp giải

Đây là dạng bài xác định các thông số của phương trình dao dộng điều hòa dựa theo phương trình cho trước:

Cách giải:

• Đối chiếu phương trình của đề với phương trình tổng quát dạng \(x = Acos(\omega t + \varphi)\) .

• Sau đó xác định theo yêu cầu của đề là tìm : A, , \((\omega t+\varphi )\)

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l} x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\\ \Leftrightarrow x = 2cos\left( {5t{\rm{ }}-\frac{\pi }{6}} \right)cm \end{array}\)

Suy ra: 

• A = 2 cm
• \(\varphi = -\frac{\pi }{6}\,\,rad\)
• \(\left( {\omega t + \varphi } \right) = (5t + \left( { - \frac{\pi }{6}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} )\,rad = \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\,rad\)

Vậy:

- Biên độ: A = 2 cm;

- Pha ban đầu: ;

- Pha tại thời điểm t: (5t - )

Một vật chuyển động điều hòa phải mất 0,25 s để đi từ điểm có vận tốc bằng 0 tới điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng 0. Khoảng cách giữa hai điểm là 36 cm. Tính:

a) Chu kì

b) Tần số 

c) Biên độ

Phương pháp giải

Đây là dạng bài tính toán đơn giản xác định các thông số của phương trình dao dộng điều hòa dựa theo phương trình cho trước:

Cách giải:

• Bước 1: Tìm T

• Bước 2: tìm \(f=\frac{1}{T}\)

• Bước 3: Sử dụng sơ đồ thời gian để tìm ra thời gian đi từ vị trí nầy đến vị trí tiếp theo cũng có vận tốc bằng 0

Hướng dẫn giải

Sử dụng hệ thức độc lập với thời gian của x và v: 

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}{A^2}}} = 1\\ \Rightarrow v = \pm \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}} \end{array}\)

Vận tốc bằng 0 khi vật đi qua vị trí biên :

\(\begin{array}{l} v = 0\,\, \Leftrightarrow \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}} = 0\\ = > x = A \end{array}\)

Áp dụng phương trình đường tròn lượng giác:

Góc mà vật quét được khi đi từ biên này sang biên kia là:

 \({\rm{\Delta }}\varphi = {180^0} = \pi = \omega {\rm{\Delta }}t\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l} {\rm{\Delta }}\varphi = \omega {\rm{\Delta }}t\\ \Leftrightarrow {\rm{\Delta }}t = \frac{{{\rm{\Delta }}\varphi }}{\omega }\\ \Rightarrow {\rm{\Delta }}t = \frac{\pi }{{\frac{{2\pi }}{T}}} = \frac{T}{2} = 0,25s \end{array}\)

a) Chu kỳ dao động của vật là:

\(\begin{array}{l} {\rm{\Delta }}t = \frac{T}{2} = 0,25s\\ \Rightarrow T = 2.0,25 = 0,5s \end{array}\)

b) Tần số dao động của vật: 

c) Khoảng cách giữa hai biên là:  \(2A = 36cm\)

⇒ Biên độ dao động của vật: \(A = \frac{{36}}{2} = 18cm\)