Toán 12 Chương 2 Bài 3: Lôgarit

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).

Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)

Ví dụ

\(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)

\(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)

\(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)

\(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)

\(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)

a) Qui tắc tính lôgarit

Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

- Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)

- Lôgarit của một tích:

• Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
• Mở rộng với \(x_1,x_2,..., x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2....x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+...+\log_ax_n\)

- Lôgarit của một thương

• Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
• Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)

- Lôgarit của một lũy thừa:

• Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
• \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)

b) Công thức đổi cơ số:

Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

- Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)

Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

- Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)

- Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

• Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
• Nếu \(0\log_ay \Leftrightarrow 0\)
• Nếu \(00\)

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)

Tìm x để:

\(\eqalign{
& a)\,{2^x} = 8 \cr } \)

\(\eqalign{& b)\,{2^x} = {1 \over 4} \cr } \)

\(\eqalign{& c)\,{3^x} = 81 \cr } \)

\(\eqalign{& d)\,{5^x} = {1 \over {125}} \cr} \)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& \,{2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3 \cr } \)

b) \(\eqalign{& \,{2^x} = {1 \over 4} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2 \cr } \)

c) \(\eqalign{& \,{3^x} = 81 \Leftrightarrow {3^x} = {3^4} \Leftrightarrow x = 4 \cr } \)

d) \(\eqalign{& \,{5^x} = {1 \over {125}} \Leftrightarrow {5^x} = {5^{ - 3}} \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \)

a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)

b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)

Hướng dẫn giải

a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)

b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\)

Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)

Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)

b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)

b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\)

Không dùng máy tính, hãy so sánh:

a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)

b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)

c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)

Câu 1: Tính

\(a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\)

\(b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}\)

\(c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\)

Câu 2: Tính:

a) \({{4}^{{{\log }_{2}}3}}\)

b) \({{27}^{{{\log }_{9}}2}}\)

c) \({{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}\)

d) \({{4}^{{{\log }_{8}}27}}\)

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

a) \({{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2;\)

b) \({{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}\).

Câu 4: Tìm x, biết:

\(a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b\)

\(b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b\)

Câu 5: So sánh các cặp số sau:

a) \({{\log }_{3}}5\,\text{và}\,{{\log }_{7}}4;\)   

b) \({{\log }_{0,3}}2\,\text{và}\,{{\log }_{5}}3;\)

c) \({{\log }_{2}}10\,\text{và}\,{{\log }_{5}}30\).

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)

A. \(P = \frac{3}{{10}}\)

B. \(P = 4\)​

C. \(P = \frac{1}{2}\)​

D. \(P = \frac{1}{4}\)​

Câu 2: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \(4^{\log_2 3}<4^{\log_32}\)

B. \(\log_24=\log_4 2\)

C. \(\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3\)

D. \(\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6\)

Câu 3 Rút gọn biểu thức 

\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).

A. \(A = \frac{{62}}{5}\)

B. \(A = \frac{{16}}{5}\)

C. \(A = \frac{{22}}{5}\)

D. \(A = \frac{{67}}{5}\)

Câu 4: Đặt  \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\)  theo a và b.

A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)

B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)

C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)

D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{2ab + b}}\)

Qua bài học này, giúp các em biết được một số nội dung như sau:

• Biết khái niệm các tính chất của lôgarit
• Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản
• Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit