Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 3: Phương trình đường Elip

1. Giải bài 1 trang 88 SGK Hình học 10

Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1.\)

b) \(4x^2+ 9y^2= 1.\)

c) \(4x^2+ 9y^2= 36.\)

Phương pháp giải

Cho phương trình ellip: \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1.\)

Khi đó:

- Độ dài trục lớn là: \(2a\) và độ dài trục nhỏ là \(2b.\)

- Tọa độ các đỉnh là: \({A_1}\left( { - a;\;0} \right),\;{A_2}\left( {a;\;0} \right),\;{B_1}\left( { - b;\;0} \right),\)\(\;{B_2}\left( {b;\;0} \right).\)

- Tọa độ tiêu điểm: \({F_1}\left( { - c;\;0} \right),\;{F_2}\left( {c;\;0} \right)\) với \(c^2=a^2-b^2.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: \(a^2= 25 \Rightarrow a = 5\) độ dài trục lớn \(2a = 10\) 

\( b^2= 9 \Rightarrow  b = 3\) độ dài trục nhỏ \(2a = 6\) 

\(c^2= a^2– b^2= 25 - 9 = 16  \Rightarrow c = 4\)

Vậy hai tiêu điểm là : \(F_1(-4 ; 0)\) và \(F_2(4 ; 0)\)

Tọa độ các đỉnh \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0),  B_1(0; -3),  B_2(0; 3)\).

Câu b:

\(4x^2+ 9y^2= 1\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}}{\dfrac{1}{4}} + \dfrac{y^{2}}{\dfrac{1}{9}} = 1\)

\(a^2  =\dfrac{1}{4}\Rightarrow a = \dfrac{1}{2}\)  \(\Rightarrow\) độ dài trục lớn \(2a = 1\)

\(b^2= \dfrac{1}{9}\Rightarrow b = \dfrac{1}{3}\) \(\Rightarrow\)  độ dài trục nhỏ \(2b = \dfrac{2}{3}\)

\(c^2= a^2– b^2= \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{9} =  \dfrac{5}{36}\) \(\Rightarrow c = \dfrac{\sqrt{5}}{6}\)

\(F_1(-\dfrac{\sqrt{5}}{6} ; 0)\) và \(F_2(\dfrac{\sqrt{5}}{6} ; 0)\)

\(A_1(-\dfrac{1}{2}; 0), A_2(\dfrac{1}{2}; 0)\), \(B_1(0; -\dfrac{1}{3} ), B_2(0; \dfrac{1}{3} )\).

Câu c:

Chia \(2\) vế của phương trình cho \(36\) ta được :

\(\dfrac{x^{2}}{9}+ \dfrac{y^{2}}{4}= 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\\
{b^2} = 4 \Rightarrow b = 2\\
{c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5
\end{array}\)

-  Độ dài trục lớn \(2a = 6\)

- Độ dài trục nhỏ \(     2b = 4\).

- Tiêu điểm \(F_1(-\sqrt5 ; 0)\) và \(F_2(\sqrt5 ; 0)\)

- Các đỉnh \(A_1(-3; 0), A_2(3; 0),  B_1(0; -2),  B_2(0; 2)\).

2. Giải bài 2 trang 88 SGK  Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) Trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(8\) và \(6.\)

b) Trục lớn bằng \(10\) và tiêu cự bằng \(6.\)

Phương pháp giải

• Độ dài trục lớn bằng \(2m \Rightarrow a=m.\)
• Độ dài trục nhỏ bằng \(2n \Rightarrow b=n.\)
• Tiêu cự bằng \(2t \Rightarrow c=t.\)
• \(c^2=a^2-b^2.\)
• Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình chính tắc của elip có dạng : \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1.\)

Ta có \(a > b\):

\(2a = 8  \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2= 16\)

\(2b = 6   \Rightarrow b = 3 \Rightarrow  b^2= 9\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{x^{2}}{16}\)  + \(\dfrac{y^{2}}{9}= 1\)

Câu b:

Ta có: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5  \Rightarrow  a^2= 25\)

\(2c = 6   \Rightarrow c = 3  \Rightarrow c^2= 9\)

\(\Rightarrow b^2=a^2-c^2 \Rightarrow b^2= 25 - 9 = 16\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{16}= 1\)

3. Giải bài 3 trang 88 SGK Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \dfrac{-12}{5}).\)

b) Một tiêu điểm là \(F_1( -\sqrt3; 0)\) và điểm \(M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.

Phương pháp giải

Câu a:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b

Câu b:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

- Từ tiêu điểm F ta suy ra được c.

- Sử dụng công thức \(c^2=a^2-b^2.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Elip đi qua \(M(0; 3)\)

\(\dfrac{0^{2}}{a^{2}} + \dfrac{3^{2}}{b^{2}}= 1 \) \(\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1 \) \(\Rightarrow   b^2= 9\)

Elip đi qua \(N( 3; \dfrac{-12}{5})\)

\(\dfrac{3^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}}\) \( \Rightarrow  a^2= 25\)

Phương trình chính tắc của elip là : \(\dfrac{x^{2}}{25}  + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)

Câu b:

Ta có: \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow  - c =  - \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow c = \sqrt 3 \) \(  \Rightarrow    c^2= 3\)

Elip đi qua điểm \(M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\(\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1 \) \( \Rightarrow   \dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{3}{4b^{2}}= 1\)  (1)

Mặt khác:  \( c^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3\)

Thế vào (1) ta được : \(\dfrac{1}{b^{2}+ 3} + \dfrac{3}{4b^{2}} = 1\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2} + 3{b^2} + 9}}{{4{b^4} + 12{b^2}}} = 1\\
\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\\
\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{b^2} = 1\left( {TM} \right)\\
{b^2} =  - \dfrac{9}{4}\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {a^2} = {b^2} + 3 = 1 + 3 = 4
\end{array}\)

Phương trình chính tắc của elip là : \(\dfrac{x^{2}}{4}  + \dfrac{y^{2}}{1}= 1\)

4. Giải bài 4 trang 88 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

5. Giải bài 5 trang 88 SGK Hình học 10

Phương pháp giải