Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 3: Phương trình đường Elip

1. Giải bài 1 trang 88 SGK Hình học 10

Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1.$

b) $4x^2+ 9y^2= 1.$

c) $4x^2+ 9y^2= 36.$

Phương pháp giải

Cho phương trình ellip: $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1.$

Khi đó:

- Độ dài trục lớn là: $2a$ và độ dài trục nhỏ là $2b.$

- Tọa độ các đỉnh là: ${A_1}\left( { - a;\;0} \right),\;{A_2}\left( {a;\;0} \right),\;{B_1}\left( { - b;\;0} \right),$$\;{B_2}\left( {b;\;0} \right).$

- Tọa độ tiêu điểm: ${F_1}\left( { - c;\;0} \right),\;{F_2}\left( {c;\;0} \right)$ với $c^2=a^2-b^2.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: $a^2= 25 \Rightarrow a = 5$ độ dài trục lớn $2a = 10$ 

$b^2= 9 \Rightarrow  b = 3$ độ dài trục nhỏ $2a = 6$ 

$c^2= a^2– b^2= 25 - 9 = 16  \Rightarrow c = 4$

Vậy hai tiêu điểm là : $F_1(-4 ; 0)$ và $F_2(4 ; 0)$

Tọa độ các đỉnh $A_1(-5; 0), A_2(5; 0),  B_1(0; -3),  B_2(0; 3)$.

Câu b:

$4x^2+ 9y^2= 1\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}}{\dfrac{1}{4}} + \dfrac{y^{2}}{\dfrac{1}{9}} = 1$

$a^2  =\dfrac{1}{4}\Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$  $\Rightarrow$ độ dài trục lớn $2a = 1$

$b^2= \dfrac{1}{9}\Rightarrow b = \dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow$  độ dài trục nhỏ $2b = \dfrac{2}{3}$

$c^2= a^2– b^2= \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{9} =  \dfrac{5}{36}$ $\Rightarrow c = \dfrac{\sqrt{5}}{6}$

$F_1(-\dfrac{\sqrt{5}}{6} ; 0)$ và $F_2(\dfrac{\sqrt{5}}{6} ; 0)$

$A_1(-\dfrac{1}{2}; 0), A_2(\dfrac{1}{2}; 0)$, $B_1(0; -\dfrac{1}{3} ), B_2(0; \dfrac{1}{3} )$.

Câu c:

Chia $2$ vế của phương trình cho $36$ ta được :

$\dfrac{x^{2}}{9}+ \dfrac{y^{2}}{4}= 1$

Ta có:

$\begin{array}{l} {a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\\ {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2\\ {c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 \end{array}$

-  Độ dài trục lớn $2a = 6$

- Độ dài trục nhỏ $2b = 4$.

- Tiêu điểm $F_1(-\sqrt5 ; 0)$ và $F_2(\sqrt5 ; 0)$

- Các đỉnh $A_1(-3; 0), A_2(3; 0),  B_1(0; -2),  B_2(0; 2)$.

2. Giải bài 2 trang 88 SGK  Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) Trục lớn và trục nhỏ lần lượt là $8$ và $6.$

b) Trục lớn bằng $10$ và tiêu cự bằng $6.$

Phương pháp giải

• Độ dài trục lớn bằng $2m \Rightarrow a=m.$
• Độ dài trục nhỏ bằng $2n \Rightarrow b=n.$
• Tiêu cự bằng $2t \Rightarrow c=t.$
• $c^2=a^2-b^2.$
• Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình chính tắc của elip có dạng : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$

Ta có $a > b$:

$2a = 8  \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2= 16$

$2b = 6   \Rightarrow b = 3 \Rightarrow  b^2= 9$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{x^{2}}{16}$  + $\dfrac{y^{2}}{9}= 1$

Câu b:

Ta có: $2a = 10 \Rightarrow a = 5  \Rightarrow  a^2= 25$

$2c = 6   \Rightarrow c = 3  \Rightarrow c^2= 9$

$\Rightarrow b^2=a^2-c^2 \Rightarrow b^2= 25 - 9 = 16$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{16}= 1$

3. Giải bài 3 trang 88 SGK Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm $M(0; 3)$ và $N( 3; \dfrac{-12}{5}).$

b) Một tiêu điểm là $F_1( -\sqrt3; 0)$ và điểm $M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})$ nằm trên elip.

Phương pháp giải

Câu a:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b

Câu b:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

- Từ tiêu điểm F ta suy ra được c.

- Sử dụng công thức $c^2=a^2-b^2.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Elip đi qua $M(0; 3)$

$\dfrac{0^{2}}{a^{2}} + \dfrac{3^{2}}{b^{2}}= 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1$ $\Rightarrow   b^2= 9$

Elip đi qua $N( 3; \dfrac{-12}{5})$

$\dfrac{3^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}}$ $\Rightarrow  a^2= 25$

Phương trình chính tắc của elip là : $\dfrac{x^{2}}{25}  + \dfrac{y^{2}}{9} = 1$

Câu b:

Ta có: ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow  - c =  - \sqrt 3$ $\Leftrightarrow c = \sqrt 3$ $\Rightarrow    c^2= 3$

Elip đi qua điểm $M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})$

$\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1$ $\Rightarrow   \dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{3}{4b^{2}}= 1$  (1)

Mặt khác:  $c^2=a^2-b^2$

$\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3$

Thế vào (1) ta được : $\dfrac{1}{b^{2}+ 3} + \dfrac{3}{4b^{2}} = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2} + 3{b^2} + 9}}{{4{b^4} + 12{b^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\\ \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {b^2} = 1\left( {TM} \right)\\ {b^2} =  - \dfrac{9}{4}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 3 = 1 + 3 = 4 \end{array}$

Phương trình chính tắc của elip là : $\dfrac{x^{2}}{4}  + \dfrac{y^{2}}{1}= 1$

4. Giải bài 4 trang 88 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

5. Giải bài 5 trang 88 SGK Hình học 10

Phương pháp giải