Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 1: Phương trình đường thẳng

1. Giải bài 1 trang 80 SGK Hình học 10

Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d$ đi qua điểm $M(2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3;4).$

b) $d$ đi qua điểm $M(-2; 3)$ và có vec tơ pháp tuyến $\vec{n}= (5; 1).$

Phương pháp giải

- Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(a; \, b)$ có phương trình tham số: $\left\{\begin{matrix} x = x_0 + at& \\ y = y_0 +bt & \end{matrix}\right..$

- Đường thẳng $d$ có VTPT là $\vec{n}=(a; \, b)$ thì có VTCP là $\vec{u}=(-b; \, a)$ hoặc $\vec{u}=(b; \, -a).$

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3;4)$ là:   $d:\left\{\begin{matrix} x= 2+3t& \\ y= 1+4t& \end{matrix}\right.$

Câu b:

Vì $\vec{n} = (5; 1)$ nên ta chọn vectơ  $\vec{a} ⊥  \vec{n}$ có tọa độ $\vec{a} = (1; -5)$ làm VTCP.

Phương trình tham số của $d:\left\{\begin{matrix} x= -2+t& \\ y= 3-5t& \end{matrix}\right.$

2. Giải bài 2 trang 80 SGK  Hình học 10

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $∆$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $∆$ đi qua điểm $M (-5; -8)$ và có hệ số góc $k = -3$

b) $∆$ đi qua hai điểm $A(2; 1)$ và $B(-4; 5)$.

a) $∆$ đi qua điểm $M (-5; -8)$ và có hệ số góc $k = -3$

b) $∆$ đi qua hai điểm $A(2; 1)$ và $B(-4; 5)$

Phương pháp giải

Câu a:

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(x_0; \, y_0)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình tổng quát: $y=k(x-x_0)+y_0.$

Câu b:

- Tìm $\overrightarrow {AB}$ suy ra VTPT của đường thẳng $AB$.

- Phương trình tổng quát $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

Hướng dẫn giải

Câu a:

$\Delta$ đi qua điểm $M\left( { - 5; - 8} \right)$ và có hệ số góc $k =  - 3$ nên:

Phương trình của $∆$ là : $y = -3(x + 5) -8$$\Leftrightarrow y =  - 3x - 23$

$\Rightarrow$ PTTQ của ∆ là $3x + y + 23 = 0$

Câu b:

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2; 1)$ và $B(-4; 5)$ nên nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;4} \right)$ làm VTCP

$\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4;6} \right)$ là một VTPT của $\Delta$.

$\Delta$ đi qua $A\left( {2;1} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {4;6} \right)$ nên có PTTQ:

$\begin{array}{l}4\left( {x - 2} \right) + 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 6y - 14 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3y - 7 = 0\end{array}$

Cách khác:

Đường thẳng $∆$ đi qua $A(2; 1)$ và $B(-4; 5)$ có phương trình:

$\dfrac{x-2}{-4-2}=\dfrac{y-1}{5-1} \\  \Leftrightarrow 2(x-2) =-3(y-1)$

$\Rightarrow ∆ : 2x + 3y - 7 = 0.$

3. Giải bài 3 trang 80 SGK Hình học 10

Cho tam giác $ABC$, biết $A(1; 4), B(3; -1)$ và $C(6; 2).$

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng $AB, BC$, và $CA.$

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao $AH$ và trung tuyến $AM.$

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng $AB, BC$, và $CA.$

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao $AH$ và trung tuyến $AM.$

Phương pháp giải

Câu a:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$:

• Tìm tọa độ $\overrightarrow {AB}$ suy ra VTPT của $AB$.
• PTTQ: $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

Câu b:

- Đường cao AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC  hay nhận VTCP của BC là VTPT.

- Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình $AB$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)$

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5;2} \right)$ làm VTPT

Mà $AB$ đi qua $A\left( {1;4} \right)$ nên PTTQ: $5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $5x + 2y - 13 = 0$

Phương trình $AC$.

Ta có: $\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)$

Đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)$ làm VTPT

Mà $AC$ đi qua $A\left( {1;4} \right)$ nên PTTQ: $2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $2x + 5y - 22 = 0$

Phương trình $BC$.

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right)$

Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right) = 3\left( {1;1} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTPT

Mà $BC$ đi qua $B\left( {3; - 1} \right)$ nên PTTQ: $1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $x - y - 4 = 0$

Cách khác:

Phương trình đường thẳng $AB:  \dfrac{x-1}{3-1}=\dfrac{y-4}{-1-4}$

$\Leftrightarrow  \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-5}$ $\Leftrightarrow 5x+2y-13=0.$

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng $BC: x - y -4 = 0$

phương trình đường thẳng $CA: 2x + 5y -22 = 0$

Câu b:

Đường cao $AH$ là đường thẳng đi qua $A(1; 4)$ và vuông góc với $BC$.

$\vec{BC} = (3; 3)$

${AH}  ⊥ {BC}$ nên AH nhận vectơ $\vec{n} = (3; 3)$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

$AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 5 = 0$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = \frac{9}{2}\\ {y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 2}}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.$

Do đó $M (\dfrac{9}{2}; \dfrac{1}{2})$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{7}{2}\left( {1; - 1} \right)$

Trung tuyến $AM$ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;4)$ và nhận $\overrightarrow {u_4}   = \dfrac{2}{7}\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;1} \right)$ làm VTPT

PTTQ: $1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $x + y - 5 = 0$.

4. Giải bài 4 trang 80 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

5. Giải bài 5 trang 80 SGK Hình học 10

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) 

$d_1: 4x - 10y + 1 = 0$;

$d_2 : x + y + 2 = 0$

b)

$d_1:  12x - 6y + 10 = 0$;

$d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.$

c)

$d_1:8x + 10y - 12 = 0$;

$d_2 :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải

Câu a:

Cho hai đường thẳng: ${d_1}:\;\;ax + by + c = 0,$ ${d_2}:\;\;a'x + b'y + c' = 0.$ Khi đó: 

• ${d_1}  \cap  {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}.$
• ${d_1}//{d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}.$
• ${d_1} \equiv {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.$

Câu b, c:

Viết $d_2$ dưới dạng tổng quát và nhận xét các bộ số tỉ lệ.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} 4x-10y + 1= 0& \\ x + y + 2 = 0& \end{matrix}\right.$

Ta có: $\dfrac{4}{1} \ne \dfrac{{ - 10}}{1} \Rightarrow {d_1} \cap {d_2}.$

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Chú ý:

Có thể bấm máy tính giải hệ trên ra nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Khi giải hệ cần chuyển vế như sau rồi mới bấm máy: 

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 10y = - 1\\ x + y = - 2 \end{array} \right.$

Bấm MODE 5 1 rồi nhập lần lượt các hệ số:

4   -10   -1

1     1    -2

Sau đó sẽ ra nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

Câu b:

Viết $d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.$ dưới dạng tổng quát.

$\begin{array}{l} {d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x = 10 + 2t\\ y = 3 + 2t \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2x - y = 7\\ \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0 \end{array}$

Do đó $d_2: 2x - y - 7 = 0.$

Ta có: $\dfrac{{12}}{2} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{10}}{{ - 7}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.$

Vậy $d_1// d_2$.

Cách khác:

Cách 1:

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 12x - 6y + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 12\left( {5 + t} \right) - 6\left( {3 + 2t} \right) + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 12t + 60 - 18 - 12t + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 52 = 0\left( {VN} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Hệ trên vô nghiệm nên hai đường thẳng song song.

Cách 2:

${d_1}$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {12; - 6} \right)$ làm VTPT.

${d_2}$ nhận $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)$ làm VTPT.

Dễ thấy $\overrightarrow {{n_1}}  = 6\overrightarrow {{n_2}}$ nên ${d_1},{d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M\left( {5;3} \right) \in {d_2}$ thay vào ${d_1}$ ta được:

$12.5 - 6.3 + 10 = 52 \ne 0$ nên $M \notin {d_1}$.

Vậy ${d_1}//{d_2}$.

Câu c: 

$d_1:8x + 10y - 12 = 0$

Viết $d_2  :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.$ dưới dạng tổng quát:

$\begin{array}{l} {d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = - 24 + 20t\\ 5y = 30 - 20t \end{array} \right.\\ \Rightarrow 4x + 5y = 6\\ \Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0 \end{array}$

Do đó $d_2: 4x + 5y - 6 = 0$  

Ta có: $\dfrac{8}{4} = \dfrac{{10}}{5} = \dfrac{{ - 12}}{{ - 6}}\left( { = 2} \right)$ $\Rightarrow {d_1} \equiv {d_2}.$

Vậy $d_1$ trùng $d_2$.

Cách khác:

Cách 1: Xét hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 8x + 10y - 12 = 0\\ x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t\\ 8\left( { - 6 + 5t} \right) + 10\left( {6 - 4t} \right) - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t\\ - 48 + 40t + 60 - 40t - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t\\ 0 = 0\left( {dung} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Do đó hệ có vô số nghiệm hay $d_1$ trùng $d_2$.

Cách 2: 

${d_1}$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {8;10} \right)$ làm VTPT.

${d_2}$ nhận $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 4} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;5} \right)$ làm VTPT.

Dễ thất $\overrightarrow {{n_1}}  = 2\overrightarrow {{n_2}}$ nên ${d_1},{d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M\left( { - 6;6} \right) \in {d_2}$, thay vào ${d_1}$ được:

$8.\left( { - 6} \right) + 10.6 - 12 = 0$ nên $M \in {d_1}$.

Vậy ${d_1} \equiv {d_2}$.

6. Giải bài 6 trang 80 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

7. Giải bài 7 trang 81 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

8. Giải bài 8 trang 81 SGK Hình học 10

Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) $A(3; 5),$ $∆ : 4x + 3y + 1 = 0$;

b)  $B(1; -2),$ $d: 3x - 4y - 26 = 0$;

c) $C(1; 2),$ $m: 3x + 4y - 11 = 0$;

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M(x_0; \, y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: \, ax+by+c=0$ là:  $d(M, \,∆) = \dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Hướng dẫn giải

Câu a:

$d(A,∆) =\dfrac{|4.3+3.5+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}= \dfrac{28}{5}$ 

Câu b:

$d(B,d) =\dfrac{|3.1-4.(-2)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}$ $= \dfrac{|-15|}{5} = \dfrac{15}{5}$$= 3$

Câu c:

Ta có: $3.1+4.2-11=0$ do đó điểm $C$ nằm trên đường thẳng $m$ $\Rightarrow  d(C, \,m) =0.$

Cách khác:

$d\left( {C,m} \right) = \dfrac{{\left| {3.1 + 4.2 - 11} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{0}{5} = 0$

9. Giải bài 9 trang 81 SGK Hình học 10