Toán 10 Chương 2 Bài 2: Hàm số y = ax + b

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = {\rm{ax + b}}\) với a, b là những hằng số và \({\rm{a}} \ne {\rm{0}}\).

- Hàm số bậc nhất có tập xác định là R.

• Khi \({\rm{a > 0}}\) hàm số bậc nhất \(y = {\rm{ax + b}}\) đồng biến trên R.
• Khi \({\rm{a < 0}}\) hàm số bậc nhất \(y = {\rm{ax + b}}\) nghịch biến trên R.

- Đồ thị hàm số \(y = {\rm{ax + b}}\) (\({\rm{a}} \ne {\rm{0}}\)) là một đường thẳng gọi là đường thẳng \(y = {\rm{ax + b}}\). Nó có hệ số góc là a và có các đặc điểm sau:

• Không song song và không trùng với các trục tọa độ

• Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm \(A(\frac{{ - b}}{a};0)\)

- Cho hai đường thẳng \(y = a{\rm{x}} + b\) và hàm số \(y= a'x + b'\)

• Khi a=a' và \(b \ne b'\) thì d và d' song song với nhau.

• Khi a=a' và b=b' thì d và d' trùng nhsu.

• Khi \(a \ne a'\) thì d và d' cắt nhau.

a) Hàm số bậc nhất trên từng khoảng

• Hàm số bậc nhất trên từng khoảng là sự " lắp ghép" của nhiều hàm số bậc nhất khác nhau.

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số  \(y = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 2}}{3}x + 5\,\,\,\,khi\,\,0 \le x \le 0\\ x\,\,\,\,khi\,\,3 \le x \le 6\\ - 2x + 18\,\,\,\,khi\,\,6 \le x \le 8 \end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Để vẽ đồ thị hàm số này, ta vẽ đồ thị của từng hàm số tạo thành chẳng hạn:

AB là phần đồ thị của \(y = \frac{{ - 2}}{3}x + 5\) ứng với \({0 \le x \le 3}\) .

BC là phần đồ thị của \(y = x\) ứng với \({3 \le x \le 6}\) .

CD là phần đồ thị của \(y = - 2x + 18\) ứng với \({6 \le x \le 8}\) .  

Ghép các phần trên lại ta được đồ thị của hàm số đã cho như hình vẽ:

b) Hàm số dạng \(y = \left| {ax + b} \right|\)

Hàm số dạng \(y = \left| {ax + b} \right|\) thực chất cũng là một dạng hàm số bậc thất trên từng khoảng.

Chẳng hạn như khi xét hàm số \(y = \left| {3x - 9} \right|\) thì theo định nghĩa trị tuyệt đối thì ta có:

• Nếu \(3x - 9 \ge 0\) tức là \(x \ge 3\) ,thì \(\left| {3x - 9} \right| = 3x - 9\) 

• Nếu \(3x - 9 < 0\) tức là \(x < 3\) ,thì \(\left| {3x - 9} \right| = 9 - 3x\)

Do đó hàm số \(y = \left| {3x - 9} \right|\) có thể viết là \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 9\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 3}\\ {9 - 3x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 3} \end{array}} \right.\) 

Chú ý: Một cách khá đơn giản để vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left| {ax + b} \right|\) là ta có thể vẽ  các đường thẳng ax+b và -ax-b rồi xóa đi phần nằm dưới trục hoành. 

Câu 1: Tính a và b để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua 2 điểm M(0;4) và N(4;2).

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ điểm M(0;4) vào hàm số y=ax+b ta được:

4 = a.0 + b ⇒ b = 4

Thay tọa độ điểm N(4;2) vào hàm số y=ax+b với b=2 ta được:

2 = a.4 + 4 ⇒ a = -1/2

Vậy ta được a=-1/2 và b=2

Câu 2: Tính a và b để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm A(4;-2) và song song với đường thẳng y=-x+7.

Hướng dẫn giải

Vì đồ thị hàm số y=ax+b song song với đường thẳng y=x+7 ⇒ a=1

Thay tọa độ điểm A(4;-2) vào hàm số y=ax+b với a=1 ta được:

-2 = 4.1+b ⇒ b=-6

Vậy ta được a=1 và b=-6.

Câu 1: Tính a và b để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua 2 điểm A(-1; 3) và B(2; 5).

Câu 2: Tính a và b để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm M(3;-2) và song song với đường thẳng y=3x-4

Câu 1: Không vẽ đồ thị, hãy cho biết cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau?

A. \(y = {\textstyle{1 \over {\sqrt 2 }}}x - 1;\,y = \sqrt 2 x + 3\)

B. \(y = {\textstyle{1 \over {\sqrt 2 }}}x;\,y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x - 1\)

C. \(y = - {\textstyle{1 \over {\sqrt 2 }}}x + 1;\,y = - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x - 1} \right)\)

Câu 2: Cho hai đường thẳng \({d_1}:y = \frac{1}{2}x + 100;\,{d_2}:y = - \frac{1}{2}x + 100\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Trùng nhau

B. cắt nhau và không vuông góc

C. song song với nhau.

D. vuông góc

Câu 3: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-1 ;2) và B(3 ;1) là:

A. \(y = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}\)

B. \(y = \frac{{ - x}}{4} + \frac{7}{4}\)

C. \(y = \frac{{3x}}{2} + \frac{7}{2}\)

D. \(y = - \frac{{3x}}{2} + \frac{1}{2}\)

Câu 4: Cho hàm số y = x - |x|. Trên đồ thị của hàm số lấy hai điểm A và B hoành độ lần lượt là -2 và 1. Phương trình đường thẳng AB là:

A. \(y = \frac{{3x}}{4} - \frac{3}{4}\)

B. \(y = \frac{{4x}}{3} - \frac{4}{3}\)

C. \(y = \frac{{ - 3x}}{4} + \frac{3}{4}\)

D. \(y = - \frac{{4x}}{3} + \frac{4}{3}\)

Câu 5: Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm x = 3 và đi qua điểm M(-2;4) với các giá trị a, b là:

A. a = 0,5; b = 3

B. a = -0,5 ; b = 3

C. a = -0,5 ; b = -3

D. a = 0,5 ; b = -3

Qua bài học Hàm số y = ax +b, các em cần nắm được các nội dung sau:

• Hàm số bậc nhất
• Khái niệm hàm số y = ax +b và cách vẽ hàm số này.
• Hàm số y = |ax + b|.