Luận án TS: Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng Hyperbolic

Hiện nay, các hướng nghiên cứu về phương trình vi phân, phương trình vi tích phân và phương trình đạo hàm riêng mờ được xem như là một sự mở rộng có ý nghĩa và đang thu hút được nhiều nhà khoa học ngoài nước cũng như trong nước quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng của những mô hình này. Từ khi ra đời cho đến nay, hơn nửa thế kỉ, lý thuyết mờ nói chung và giải tích mờ nói riêng vẫn trên con đường tự hoàn thiện. Do vậy, lý thuyết phương trình vi phân mờ, phương trình đạo hàm riêng mờ vì thế cũng trên con đường tự hoàn chỉnh theo. Năm 1987, Kaleva là người đầu tiên đưa ra hướng nghiên cứu về phương trình vi phân mờ dựa trên khái niệm đạo hàm Hukuhara, đặt nền móng cho nhiều phát triển sau đó. Cho đến nay, nhiều vấn đề trọng tâm của lý thuyết phương trình vi phân mờ đã được nghiên cứu, với số lượng các công trình được công bố tăng nhanh chóng. Tuy nhiên, đạo hàm Hukuhara có nhược điểm là đường kính tập mức của một hàm khả vi Hukuhara luôn tăng. Điều này gây khó khăn khi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hay tính tuần hoàn của nghiệm. Năm 2005, Bede và Gal đưa ra các khái niệm đạo hàm suy rộng cho các hàm giá trị số mờ, mở rộng của khái niệm đạo hàm Hukuhara, trong đó tập mức của một hàm giá trị số mờ khả vi suy rộng có thể có đường kính giảm. Phương trình vi phân mờ dưới khái niệm đạo hàm suy rộng cũng đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học.

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu tính giải được cũng như một số tính chất định tính của nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng mờ. Một số quy trình tìm nghiệm mờ xấp xỉ cũng được đưa ra trong ví dụ minh họa cụ thể.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là phương trình hyperbolic mờ có trễ và phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số.

Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm:

- Các kết quả về lý thuyết điểm bất động trong các không gian trừu tượng, không gian metric, không gian metric nửa tuyến tính.

- Lý thuyết giải tích mờ: tính liên tục, tính khả vi Hukuhara suy rộng, tính khả vi Caputo suy rộng và mối quan hệ giữa các khái niệm trên.

- Ứng dụng giải tích mờ, lý thuyết điểm bất động để nghiên cứu bài toán biên cho lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng mờ. 

Sử dụng kiến thức về giải tích hàm, không gian metric và lý thuyết điểm bất động, giải tích đa trị, lý thuyết độ đo, giải tích mờ, giải tích tập hợp.

Sử dụng phương pháp phần tử bị chặn, nguyên lý suy rộng Zadeh để xây dựng thuật toán tìm nghiệm mờ. 

Không gian metric các số mờ

Sơ lược về giải tích mờ

Sơ lược về giải tích bậc phân số mờ

Một số định lý điểm bất động

Bài toán biên đối với phương trình hyperbolic mờ có trễ trên miền bị chặn

Bài toán biên đối với phương trình hyperbolic mờ có trễ trên miền vô hạn

Một số ví dụ minh họa

Đạo hàm bậc phân số của các hàm hai biến giá trị số mờ

Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số trên miền bị chặn

Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số trên miền vô hạn

Một số ví dụ minh họa

Tính ổn định Ulam

Tính ổn định Lyapunov

Một số ví dụ minh họa

Luận án đạt được các kết quả sau:

- Định nghĩa được hai loại nghiệm tích phân tương ứng với hai kiểu đạo hàm Hukuhara suy rộng của hàm hai biến giá trị số mờ của bài toán biên địa phương cho phương trình hyperbolic mờ có trễ. Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của từng loại nghiệm tích phân mờ của bài toán biên địa phương cho phương trình hyperbolic mờ có trễ trong miền bị chặn và miền vô hạn.

- Xây dựng khái niệm tích phân Riemann - Liouville cho hàm hai biến giá trị mờ và chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa thông qua việc sử dụng Định lý Stacking. Từ đó đưa ra khái niệm về đạo hàm gH-Caputo cùng nhiều ví dụ minh họa.

- Đặt bài toán biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số dưới tính khả vi gH-Caputo. Định nghĩa hai loại nghiệm tích phân tương ứng với hai kiểu đạo hàm gH-Caputo của bài toán. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên địa phương cho phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số trong trường hợp vế phải Lipschitz. Khi vế phải không Lipschitz, sử dụng một phiên bản của Định lý Schauder trong không gian metric nửa tuyến tính, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán trên miền bị chặn.

H. T. Nguyen (1978), A note on the extension principle for fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl., 64, No.2, 369 - 380.

H.V. Long, N.T.K. Son, N.T.M. Ha, L.H. Son (2014), The existence and uniqueness of fuzzy solutions for hyperbolic partial differential equations, Fuzzy Optim. Decis. Making, 13, No.4, 435-462.

N.V. Hoa (2015) , Fuzzy fractional functional differential equations under Caputo gH-differentiability, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 22, No.1-3, 1134-1157.

A. Ahmadian, S. Salahshour, D. Baleanu, H. Amirkhani, R. Yunus (2015), Tau method for numerical solution of a fractional kinetic model and its application to the Oil Palm Frond as a promising source of xylose, J. Comput. Phys., 294, 562- 584.

L.C. Barros, R.C. Bassanezi, W.A. Lodwick (2016), A First Course In Fuzzy Logic, Fuzzy Dynamical Systems, And Biomathematics: Theory And Applications, Springer Berlin Heidelberg.

S. Abbas, M. Benchohra, G.M. N’Guérékata (2012), Topics in Fractional Differential Equations, Springer, New York.

R.P Agarwal, S. Arshad, D. O’Regan, V. Lupulescu (2013), A Schauder fixed point theorem in semilinear spaces and applications, Fixed Point Theory Appl., 306, 1-13.

T. Allahviranloo, Z. Gouyandeh, A. Armand (2014), Fuzzy fractional differential equations under generalized fuzzy Caputo derivative, J. Intell. Fuzzy Syst., 26, No. 3, 1481-1490.

--- Nhấn nút TẢI VỀ hoặc XEM ONLINE để tham khảo đầy đủ nội dung Luận án tiến sĩ Toán học trên ---