Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x₀ ∈ (a ; b).

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x \(\neq\) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x \(\neq\) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀ .

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \(\setminus\){ x₀ }.

• Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x₀ là điểm cực đại của hàm số
• Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số 

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0).

• Nếu f '(x₀) = 0, f ''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f.
• Nếu f '(x₀) = 0, f ''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f.

Quy tắc 1

• Tìm tập xác định.
• Tính f '(x). Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.
• Lập bảng biến thiên.
• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

• Tìm tập xác định.
• Tính f '(x). Tìm các nghiệm \(x_{i}\) của phương trình f '(x)=0.
• Tính f ''(x) và f ''(\(x_{i}\)) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_{i}\).

(Chú ý: nếu f ''(\(x_{i}\))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(x_{i}\)).

Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

Cách 1

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} - 2x - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Kết luận

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\)

Cách 2

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} - 2x - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

\(y ''= 2x - 2\)

 \(y''\left( { - 1} \right) = - 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).

​\(y''\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có 2 cực trị

Hướng dẫn giải

Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} - 2x - 5\) không thể có hai cực trị. (1)

Với \(m\ne-2\) ta có: \(y' = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 3\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1.\) (2)

Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2;1} \right)\)

Câu 1: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) \(y =  - 2{x^2} + 7x - 5\)

b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)

c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\)            

d) \(y = {(x + 1)^3}(5 - x)\)

Câu 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)

b) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\)

c) \(y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\)

Câu 3: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) \(y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}\)

b) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\)

Câu 4: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) \(y = \sin 2x\)

b) \(y = \cos x - \sin x\)

c) \(y = {\sin ^2}x\)

Câu 5: Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị: \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1\)

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 2: Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.

A. \(AB = 2\sqrt 2\)

B. \(AB = 4\sqrt 2\)

C. \(AB = \sqrt 2\)

D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\)

Câu 3: Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)\)  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2.

A. f(2) = 1

B. f(2) = -3

C. f(2) = -7

D. f(2) = -11

Câu 4: Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?

A. \(0\)                            B. \(2\)

C. \(3\)                            D. \(1\)

Câu 5: Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:

A. \(m = 3\)             B. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)

C. \(m < 3\)             D. \(m > 3\)

Qua bài học này giúp các em nắm được

• Biết các khái niệm cực đại, cực tiểu.
• Biết phân biệt các khái niệm lớn nhất, nhỏ nhất.
• Biết các điều kiện đủ để hàm số có cực trị và các quy tắc tìm cực trị.