Bài 2: Vi phân - Khái niệm, định lý, qui tắc, đạo hàm

Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và y = f(x). Giả sử, ta có: 

$\Delta y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}\varepsilon \left( x \right).\Delta \left( x \right)$

với $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0$ và A không phụ thuộc $\Delta x$ thì ta nói $A.\Delta x$ là vi phân của f tại x. Khi đó ta ký hiệu vi phân của hàm f tại x là $dy{\rm{ }} = {\rm{ }}df\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x$. Nếu f có vi phân tại x, ta nói hàm số f khả vi tại x.

Định lý: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và $y = f(x)$. Ta có: f khả vi tại x ⇔ f có đạo hàm tại x.

Chứng minh:

$( \Leftarrow )$ Giả sử f có đạo hàm tại x

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} - f'(x)} \right] = 0$

$\Rightarrow \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = f'(x).\Delta x + \varepsilon (x).\Delta (x)$

với $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0 \Rightarrow f$ khả vi tại x.

(⇒) Đảo lại, nếu f khả vi tại x thì ta có:

$\Delta y = A.\Delta x + \varepsilon (x).\Delta (x)$ với A độc lập với $\Delta x$ và $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0$

$\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \varepsilon (x)$ với $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0$

suy ra $f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A$. Do đó, f có đạo hàm tại x.

Nhận xét:

• Từ định lý trên, ta có $dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( x \right).\Delta x$ là vi phân của hàm f tại x.

Khi y = x thì $dy = dx = (x)'.\Delta x = 1.\Delta x = \Delta x$, nên ta viết $dy = f'(x)dx\,\,hay\,\,\frac{{dy}}{{dx}} = f'(x)$

• dy là giá trị gần đúng của $\Delta y$ khi  tức là $\Delta x \to 0$ tức là $dy \approx \Delta y$ (khi $\Delta x \to 0$)

Ví dụ: Cho $y{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left( {{x^2}{\rm{ }} - 5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dy{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left( {2x{\rm{ }} - 5} \right)dx$

$\Rightarrow y' = 3(2x - 5) = \frac{{dy}}{{dx}}$

Tính gần đúng: Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở I chứa x sao cho $x + \Delta x \in I$ và khả vi tại X. Ta có: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x.f'(x)$ khi $\Delta x$ khá nhỏ

Ví dụ 1: Cho ln4 , tính gần đúng: $ln4,001; ln4,002; ln4,005$.

Đặt $f(x) = lnx \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$

$\Rightarrow {\rm{ }}f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}f'{\rm{ }}\left( x \right).\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}o\left( {\Delta x} \right)$

$\Rightarrow {\rm{ }}ln\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}lnx{\rm{ }} \approx {\rm{ }}f'\left( x \right).\Delta x{\rm{ }}\left( {\Delta x{\rm{ }} \to 0} \right)$

$\Rightarrow {\rm{ }}ln\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} \approx {\rm{ }}lnx{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( x \right).\Delta x$ (khi $\Delta x$ khá nhỏ)

$ln(4,001) = ln(4 + 0,001)$

$\approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,001{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00025$

$ln\left( {4,002} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ln\left( {4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,002} \right){\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( 4 \right).0,002$

$= {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}{\rm{ }}.0,002{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,0005$

$ln4,005{\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,005{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00125{\rm{ }}$

Ví dụ 2: Tính gần đúng $sin 31°, sin 29°$

$sin{\rm{ }}{31^0} = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}$

$sin{\rm{ 2}}{{\rm{9}}^0} = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) - \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}$

Ví dụ 3: Tính gần đúng $\sqrt[3]{{126}}$

Xét $f(x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}$

Với x = 125 và h = 1, sử dụng công thức tính gần đúng $f(x + h) \approx f(x) + h.f'(x)$ta có:

$\sqrt[3]{{126}} = \sqrt[3]{{125 + 1}} \approx \sqrt[3]{{125}} + 1.\frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{125}^2}}}}} = 5 + \frac{1}{{75}}$

Cho f, g là các hàm khả vi tại x

$1)\,\,d(f \pm g)(x) = df(x) \pm dg(x)$

$2)\,\,d(kf)(x) = k.df(x)$

$3)\,\,d(f.g)(x) = df(x).g(x) + f(x).dg(x)$

$4)\,\,d\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = \frac{{g(x)df(x) - f(x)dg(x)}}{{{g^2}(x)}}\,\,\,(g(x) \ne 0)$

Chứng minh:

Do tính chất đạo hàm và nếu y = f(x) khả vi tại x thì $dy=df(x)=f'(x)dx$

Ví dụ: $h = \frac{f}{g}$ với f, g khả vi tại x ta có:

$d\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = dh(x) = h'(x)dx = \left( {\frac{{f'g - g'f}}{{{g^2}}}} \right)(x)dx = \frac{{g(x)df(x) - f(x)dg(x)}}{{{g^2}(x)}}$

Cho $z = g(y)$ khả vi tại y, với y là biến độc lập.

Ta có: $dz = g'(y)dy$

Cho $z = g(y)$ với y là hàm theo x và $y = f(x)$ khả vi.

Ta có: $z'(x) = z'({\rm{x}}) = \frac{{dz}}{{dx}}[g[f(x)]]' = g'[f(x)].f'(x)$

$\Rightarrow {\rm{ }}dz{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f(x} \right).f'\left( x \right)dx{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f\left( x \right)} \right].dy{\rm{ }} = {\rm{ }}g'(y).dy$

Như vậy, biểu thức $dz = g'(y).dy$ không thay đổi dù y là biến độc lập hay là hàm theo một biến khác.

Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x0.

Nếu $\exists h > 0$ sao cho $f(x) \le f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \cap I$ thì ta nói f đạt cực đại địa phương tại x0.

Tương tự, f đạt cực tiểu địa phương tại x0 nếu $\exists h > 0$ sao cho $f(x) \ge f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \cap I$

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Bổ đề Fermat: Cho f xác định trên khoảng mở (a,b). Nếu f đạt cực đại địa phương tại ${x_0} \in (a;b)$ và f'(x0) tồn tại thì f(x0) = 0.

Chứng minh: Vì f đạt cực đại tại x0 nên

$\exists h > 0:f(x) \le f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \subset (a,b)$

Xét $x \in (a,b)$ và $x_0- h < x < x_0$, ta có:

$\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0$

Do f'(x0) tồn tại nên $f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = f'(x_0^ + )$

$f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0$    (1)

Xét \(x_0

Trên đây là nội dung bài giảng Bài 2: Vi phân - Khái niệm, định lý, qui tắc, đạo hàm được eLib tổng hợp lại nhằm giúp các bạn sinh viên có thêm tư liệu tham khảo. Hy vọng đây sẽ là tư liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung bài học dễ dàng hơn.