Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Phương pháp giải

Chỉ ra  \(SM\bot HB \) và  \(HN\bot SB \) 

Xét tam giác SHB, chứng minh được \(AB\bot SH\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\widehat{AMB}={{90}^{o}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

Suy ra \(SM\bot HB \)

\(\widehat{ANB}={{90}^{o}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

Suy ra \(HN\bot SB \)

Xét tam giác SHB có:

SM và HN là hai đường cao cắt nhau tại A.

Nên A là trực tâm của tam giác SHB

Suy ra \(AB\bot SH\)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Phương pháp giải

Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Xét đường tròn (O) chứng minh \(\widehat{ABC}=90^o\)

Xét đường tròn (O') chứng minh \(\widehat{ABD}=90^o\)

Từ đó chứng minh \(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ\)

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) vì AC là đường kính nên \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay \(\widehat{ABC}=90^o\)

Suy ra \(AB\bot CB\)  (1)

Xét đường tròn (O') vì AD là đường kính nên \(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay \(\widehat{ABD}=90^o\)

Suy ra \(AB\bot DB\)  (2)

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ  \Rightarrow C,B,D\) thẳng hàng.

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Phương pháp giải

Ta chỉ cần chứng minh \(\overset\frown{AmB}=\overset\frown{AnB}\)

Hướng dẫn giải

Hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau cắt nhau tại hai điểm A và B nên \(\overset\frown{AmB}=\overset\frown{AnB}\)

Trong đường tròn (O), ta có \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overset\frown{AnB}\)

Trong đường tròn (O'),  ta có \(\widehat{ANB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overset\frown{AnB}\)

Suy ra \(\widehat{AMB}=\widehat{ANB}\)

Vậy tam giác BMN là tam giác cân tại B

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: \(MA^2 = MB . MC\)

Phương pháp giải

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+ Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A là đường thẳng qua A và vuông góc với bán kính OA.

Hướng dẫn giải

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên \(OA\bot AC\) hay tam giác ABC vuông tại A.

Lại có \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{AMB} =90^o.\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có \(AM\bot BC\) có:

\(MA^2 = MB . MC\)  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh \(MA.MB = MC.MD.\)

Phương pháp giải

Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.

TH1: M nằm bên trong đường tròn.

Trong đường tròn (O), ta có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Xét hai tam giác AMD và CMB có: 

+) \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (cmt)

+) \(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AMD\backsim\Delta CMB\) (g.g)

TH2: M nằm bên ngoài đường tròn

Trong đường tròn (O), \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét hai tam giác AMD và CMB có: 

+) \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (cmt)

+) \(\widehat{M}\) chung.

Suy ra \(\Delta AMD\backsim\Delta CMB\) (g.g)

Hướng dẫn giải

TH1: M nằm bên trong đường tròn.

Trong đường tròn (O), ta có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Xét hai tam giác AMD và CMB có: 

+) \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (cmt)

+) \(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AMD\backsim\Delta CMB\) (g.g)

Có \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\Rightarrow MA.MB=MD.MC\) (cặp cạnh tương ứng)

TH2: M nằm bên ngoài đường tròn

Tương tự, ta có: 

Trong đường tròn (O), \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét hai tam giác AMD và CMB có: 

+) \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (cmt)

+) \(\widehat{M}\) chung.

Suy ra \(\Delta AMD\backsim\Delta CMB\) (g.g)

Có \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\Rightarrow MA.MB=MD.MC\) (cặp cạnh tương ứng)

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Phương pháp giải

(Biểu diễn bài toán như hình vẽ)

- Gọi MN là đường kính đi qua M là điểm chính giữa cung AB.

- Chứng minh \(\Delta KAM\backsim \Delta KNB\), từ đó tính R

Hướng dẫn giải

Kẻ MN vuông góc với AB tại K.

Khi đó:  \(MN = 2R\) là đường kính của đường tròn chứa cung tròn \(AMB\).

Theo định lý về đường kính và dây cung ta có: K là trung điểm của AB nên \(KA=KB=20m\)

Xét hai tam giác KAM và KNB có:

+) \(\widehat{AKM}=\widehat{BKN}=90^o\)

+) \(\widehat{MAK}=\widehat{BNK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Suy ra \(\Delta KAM\backsim \Delta KNB\) (g.g)

Có \(\dfrac{KA}{KN}=\dfrac{KM}{KB}\)

Thay số:

\(\dfrac{20}{2R-3}=\dfrac{3}{20}\\ \Rightarrow 2R-3=\dfrac{400}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{409}{6}\approx68,2m\)

Vậy bán kính đường tròn chứa cung AMB dài 68,2 m

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.

Phương pháp giải

Góc nội tiếp chắn một nửa đường tròn là góc vuông.

Hướng dẫn giải

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.

- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC.

- Vẽ đường tròn tâm B bán kính 2,5cm cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.

Cho \(AB, BC, CA\) là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh \(SM = SC\) và \(SN = SA\).

Phương pháp giải

Ta cần chứng minh tam giác SAN và tam giác SMC cân tại S.

Hướng dẫn giải

* Vì điểm M là điểm chính giữa của cung AB nên ta có: \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{BM}\)

Lại có MN // BC (theo bài 13 trang 72) suy ra \(\overset\frown{MB}=\overset\frown{NC}\)

Do đó: \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{NC}\)

\(\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{NMC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Vậy tam giác SMC cân tại S suy ra SM = SC.

Tương tự ta cũng có: \(\widehat{ANM}=\widehat{NAC}\) ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Suy ra tam giác SAN cân tại S hay SA = SN