Giải bài tập SGK Toán 7 Ôn tập chương 2: Hàm số và đồ thị

Một tấn nước biển chứa $25\, kg$ muối. Hỏi $250\,g$ nước biển đó chứa bao nhiêu gam muối?

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của đại lượng tỉ lên thuận:

Tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ.

$\dfrac{y_{1}}{x_{1}}= \dfrac{y_{2}}{x_{2}}= \dfrac{y_{3}}{x_{3}} = ...= k$

Hướng dẫn giải:

Đổi đơn vị: 

Ta có: $1$ tấn = $1000000g$

$25kg =  25000g$

Gọi lượng muối trong $250g$ nước biển là $x (g)\; (x > 0)$.

Vì lượng nước biển và lượng muối chứa trong đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có :

$\eqalign{ & {{250} \over x} = {{1000000} \over {25000}} = 40 \cr & \Rightarrow x = {{250} \over {40}} = 6,25\,\, \text{(thỏa mãn)}\cr}$

Vậy $250\,g$ nước biển chứa $6,25\,g$ muối.

Hai thanh sắt và chì có khối lượng bằng nhau. Hỏi thanh nào có thể tích lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần, biết rằng khối lượng riêng của sắt là $7,8\,g/c{m^3}$ và của chì là $11,3\,g/c{m^3}$?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

- Tính khối lượng: $m = V.D$

- Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}= \dfrac{y_{2}}{y_{1}}; \dfrac{x_{1}}{x_{3}}= \dfrac{y_{3}}{y_{1}}$; ...

Hướng dẫn giải:

Vì $m = V.D$ và khối lượng của hai thanh bằng nhau nên $V$ và $D$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$\dfrac{{V\left( \text{sắt} \right)}}{{V\left( \text{chì} \right)}} = \dfrac{{D\left( \text{chì} \right)}}{{D\left(  \text{sắt} \right)}} = \dfrac{{11,3}}{{7,8}} \approx 1,45$

Vậy thể tích thanh sắt lớn hơn thể tích thanh chì và lớn hơn khoảng $1,45$ lần.

Ông Minh dự định xây một bể nước có thể tích là $V.$ Nhưng sau đó ông muốn thay đổi kích thước so với dự định ban đầu như sau: Cả chiều dài và chiều rộng đáy bể đều giảm đi một nửa. Hỏi chiều cao phải thay đổi như thế nào để bể xây được vẫn có thể tích là $V$?

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}= \dfrac{y_{2}}{y_{1}}; \dfrac{x_{1}}{x_{3}}= \dfrac{y_{3}}{y_{1}}$; ...

Hướng dẫn giải:

Vì $V = h. S$, mà thể tích không đổi nên diện tích đáy và chiều cao tỉ lệ nghịch với nhau.

Gọi $a; b\; (m)$ là chiều rộng và chiều dài dự định $(a; b >0)$ thì $\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}$ là chiều rộng và chiều dài sau khi thay đổi.

$S_1;S_2$ lần lượt là diện tích đáy dự định và sau khi thay đổi của bể nước.

$h_1,h_2$ lần lượt là chiều cao dự định và sau khi thay đổi của bể nước.

Ta có:

$S_1=ab$

${S_2} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{b}{2} = \dfrac{{a.b}}{4} = \dfrac{1}{4}{S_1}$

Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:

$\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} \Rightarrow \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = \dfrac{{{S_1}}}{{\dfrac{1}{4}{S_1}}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = 4 \Rightarrow {h_2} = 4{h_1}$

Vậy chiều cao sau khi thay đổi của bể phải tăng lên $4$ lần so với dự định thì thể tích bể không thay đổi.

Viết tọa độ các điểm $A, B, C, D, E, F, G$ trong hình $32.$

Hình 32

Phương pháp giải:

Để xác định tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ ra làm như sau:

Từ điểm cần xác định, vẽ các đường vuông góc với các trục tọa độ. Tọa độ giao điểm của các đường vuông góc với các trục tọa độ cho ta biết tọa độ của điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ, ta có:  

$A(-2;2);B(-4;0);C(1;0);D(2;4);E(3;-2);$$\,F(0;-2);G(-3;-2)$

(Các xác định như sau: 

+) Tìm tọa độ điểm $A$

Từ điểm $A$ ta kẻ đường vuông góc với $Ox$ ta thấy cắt trục $Ox$ tại $x=-2$.

Cũng từ $A$, kẻ đường vuông góc với $Oy$ ta thấy cắt trục $Oy$ tại $y=2$.

Vậy điểm $A$ có tọa độ là $A(-2;2)$.

+) Tương tự ta có tọa độ của các điểm còn lại) 

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ tam giác $ABC$ với các đỉnh $A(3;5); B(3;-1); C(-5;-1).$ Tam giác $ABC$ là tam giác gì?

Phương pháp giải:

Biểu diễn điểm $M(a;b)$ trên hệ trục tọa độ:

Từ $x=a$ ta vẽ đường vuông góc với $Ox$, từ $y=b$ ta vẽ đường vuông góc với $Oy$. Giao điểm của hai đường vuông góc vừa vẽ chính là điểm $M.$

Hướng dẫn giải:

Vẽ mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Ta xác định các điểm $A,B,C$ như sau:

- Xác định điểm $A(3;5)$: Từ $x=3$ ta vẽ đường vuông góc với $Ox$, từ $y=5$ ta vẽ đường vuông góc với $Oy$. Giao điểm của hai đường vuông góc vừa vẽ chính là điểm $A.$

- Tương tự xác định điểm $B, C$. Nối các điểm $A,B,C$ ta được tam giác $ABC$ với $AB\bot BC$.

Vậy tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$

Một vận động viên xe đạp đi được quãng đường $140$ km từ TP Hồ Chí Minh đến Vĩnh Long với vận tốc $35$ km/h. Hãy vẽ đồ thị của chuyển động trên trong hệ trục tọa độ $Oxy$ (với một đơn vị trên trục hoành biểu thị một giờ và một đơn vị trên trục tung biểu thị hai mươi ki lô mét).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

- Quãng đường = thời gian $\times$ vận tốc,

- Biểu diễn điểm $M(a;b)$ trên hệ trục tọa độ: Từ $x=a$ ta vẽ đường vuông góc với $Ox$, từ $y=b$ ta vẽ đường vuông góc với $Oy$. Giao điểm của hai đường vuông góc vừa vẽ chính là điểm $M.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $y$ (km) là quãng đường đi được và $x$ (h) là thời gian đi trên quãng đường.

Vì vận tốc $v=35\,km/h$ nên ta có $y=35x$ 

+ Vẽ đồ thị hàm số $y=35x$ 

Khi $y=140$ thì $140=35x \Rightarrow x= \dfrac{{140}}{{35}} = 4$

Suy ra điểm $A(4;140)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=35x$.

Vẽ đường thẳng qua $O(0;0)$ và $A(4;140)$ được đồ thị của chuyển động (hình vẽ). 

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số:

a) $y = -x$;

b) $y = \dfrac{1}{2}x$;

c) $y =  - \dfrac{1}{2}x$.

Phương pháp giải:

Đồ thị của hàm số $y=ax\;(a\ne 0)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$. Với mỗi hàm số trên ta chỉ cần lấy thêm điểm $A$ (khác $O$) thuộc hàm số đó, đồ thị của hàm số đã cho là đường thẳng $OA$.

Hướng dẫn giải:

Vẽ hệ trục tọa độ $Oxy$ 

a) $y = -x$

Cho $x = 1$ được $y = -1  \Rightarrow  A (1;-1)$ thuộc đồ thị.

Vậy đường thẳng $OA$ là đồ thị hàm số $y = -x.$

b) $y = \dfrac{1}{2}x$

Cho $x = 2$ được $y =\dfrac{1}{2}.2= 1$$\Rightarrow  B (2;1)$ thuộc đồ thị.

Vậy đường thẳng $OB$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x$

c) $y =  - \dfrac{1}{2}x$

Cho $x = 2$ được $y =-\dfrac{1}{2}.2=-1$$\Rightarrow  C (2;-1)$ thuộc đồ thị.

Vậy đường thẳng $OC$ là đồ thị hàm số $y =  - \dfrac{1}{2}x$.

Vẽ đồ thị: 

Những điểm nào sau đây không thuộc đồ thị của hàm số $y = 3x - 1$

$A\left( {  - \dfrac{1}{3};0} \right);B\left( {\dfrac{1}{3};0} \right);C\left( {0;1} \right);$$D\left( {0; - 1} \right)?$

Phương pháp giải:

Để kiểm tra được điểm nào thuộc đồ thị hàm số thì ta thay hoành độ từng điểm vào hàm số đã cho nếu tung độ tìm được bằng với tung độ đã cho của điểm thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $y = 3x -1$

- Với $A\left( {  - \dfrac{1}{3};0} \right)$

Thay $x= - \dfrac{1}{3}$ vào hàm số ta được: $y = 3.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) - 1 =  - 1 - 1 =  - 2 \ne 0$ nên điểm $A$ không thuộc đồ thị hàm số.

- Với $B\left( {\dfrac{1}{3};0} \right)$

Thay $x=\dfrac{1}{3}$ vào hàm số ta được:

$y = 3.\left( {\dfrac{1}{3}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0$ nên điểm $B$ thuộc đồ thị hàm số.

- Với $C (0 ;1)$

Thay $x=0$ vào hàm số ta được: $y = 3.0 - 1 = -1 ≠ 1$ nên điểm $C$ không thuộc đồ thị hàm số.

- Với $D (0 ;-1)$

Thay $x=0$ vào hàm số ta được: $y = 3.0 – 1 = -1$ nên điểm $D$ thuộc đồ thị hàm số.

Vậy $A\left( {  - \dfrac{1}{3};0} \right);$ $C (0 ;1)$ không thuộc đồ thị hàm số $y = 3x - 1$.

Đố : Xem hình 33, đố em biết được :

a) Trẻ em tròn $5$ tuổi ($60$ tháng) cân nặng bao nhiêu là bình thường, là suy dinh dưỡng vừa, là suy dinh dưỡng nặng, là suy dinh dưỡng rất nặng ?

b) Một em bé cân nặng $9,5$ kg khi tròn $24$ tháng tuổi thuộc loại bình thường suy dinh dưỡng vừa, suy dinh dưỡng nặng, suy dinh dưỡng rất nặng?

Phương pháp giải:

Áp dụng cách đọc số liệu trên bản đồ.

Hướng dẫn giải:

a) Trẻ em tròn $5$ tuổi: 

Nặng từ 14kg đến dưới 19kg là bình thường

Nặng từ 12kg đến dưới 14kg là suy dinh dưỡng vừa;

Nặng từ 10kg đến dưới 12kg là suy dinh dưỡng nặng

Nặng dưới $10$ kg là suy dinh dưỡng rất nặng.

b) Em bé cân nặng $9,5$ kg khi tròn $24$ tháng là suy dinh dưỡng vừa.