Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng

Giải bài tập trang 92 SGK Toán 8 Bài Ôn tập chương 3 Tam giác đồng dạng giúp các em học sinh sẽ dễ dàng ôn tập lại các kiến thức đã học, rèn luyện khả năng tính toán nhanh và chính xác. Sau đây mời các em cùng tham khảo lời giải tương ứng với từng bài tập SGK.

Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng

Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng

1. Giải bài 56 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a) AB=5cm,CD=15cm

b) AB=45dm;CD=150cm

c) AB=5CD

Phương pháp giải

Tỉ số của hai đoạn thẳng ABDC là tỉ số độ dài cùng đơn vị đo của hai đoạn thẳng đó

Hướng dẫn giải

a) AB=5cmCD=15cm

ABCD=515=13

b) AB=45dm=450cmCD=150cm

ABCD=450150=3

c) AB=5CD ABCD=5CDCD=5

2. Giải bài 57 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Cho tam giác ABC(AB<AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H,D,M.

Phương pháp giải

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác chứng minh:

Bước 1: M nằm giữa DC

Bước 2: D nằm giữa hai điểm HC

Bước 3: Kết luận: D nằm giữa HM.

Hướng dẫn giải

+ Nhận xét: D luôn nằm giữa HM.

+ Chứng minh:

AD là đường phân giác của ∆ABC.

\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} (tính chất đường phân giác của tam giác)

AB < AC (giả thiết)

\Rightarrow DB < DC \Rightarrow  DB + DC < DC + DC

\Rightarrow BD + DC < 2DC hay BC < 2DC 

\Rightarrow  DC >\dfrac{{BC}}{2}

MC = \dfrac{{BC}}{2} (M là trung điểm của BC)

\Rightarrow DC > MC \Rightarrow M nằm giữa DC (1)

+ Mặt khác: \widehat {CAH} = {90^0} - \hat C (∆CAH vuông tại H)

\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} (tổng 3 góc ∆ABC)

\Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C

\Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}

AB < AC  \Rightarrow \widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0

Do đó: \widehat {CAH} >  \dfrac{{\widehat A}}{2} hay \widehat {CAH} > \widehat {CAD}

\Rightarrow Tia AD nằm giữa hai tia AHAC

Do đó D nằm giữa hai điểm HC (2)

Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa HM.

3. Giải bài 58 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).

a) Chứng minh BK = CH.

b) Chứng minh KH//BC.

c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác vuông BKCCHB bằng nhau.

b) Sử dụng định lí Ta lét đảo chứng minh: \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}

c) Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IACHBC rồi tính CH.

Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKHABC rồi tính HK.

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác vuông BKCCHB có:

\widehat {KBC} = \widehat {HCB} (∆ABC cân tại A)

BC là cạnh chung 

\Rightarrow ∆BKC = ∆CHB (cạnh huyền - góc nhọn)

\Rightarrow BK = CH (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có : AK = AB - BK, AH = AC - HC (gt)

AB = AC (∆ABC cân tại A)

BK = CH (chứng minh trên) 

\Rightarrow  AK = AH

Do đó : \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow KH // BC (định lí Ta lét đảo)

c) BH cắt CK tại M \Rightarrow M là trực tâm của ∆ABC (định nghĩa trực tâm)

\Rightarrow AM ⊥ BC tại I (tính chất trực tâm)

Xét ∆AIC và ∆BHC có:

\widehat{I} = \widehat{H } = 90^o

\widehat{C} chung

\Rightarrow ∆AIC \backsim ∆BHC (g - g)

\Rightarrow \dfrac{IC}{HC} = \dfrac{AC}{BC} (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC} = \dfrac{b}{a}\\ \Rightarrow HC = \dfrac{BC.AH}{AC}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{a}{b}. \dfrac{2b^2 - a^2}{2b} = \dfrac{2ab^2 - a^3}{2b^2} = a - \dfrac{a^3}{2b^2}

4. Giải bài 59 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Hình thang ABCD \,(AB//CD)ACBD cắt nhau tại O, ADBC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh ABCD.

Phương pháp giải

- Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

- Chứng minh \dfrac{{AN}}{{EO}}=\dfrac{{BN}}{{FO}}.

- Chứng minh \dfrac{{EO}}{{DM}}=\dfrac{{FO}}{{CM}}.

Hướng dẫn giải

Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

Suy ra AB//EF//CD

Gọi N là giao của KO và AB, M là giao của KO với DC.

Ta có: OE // DC (gt) 

\Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right) (hệ quả của định lí TaLet)

OF // DC (gt)

\Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\left( 2 \right) (hệ quả của định lí TaLet)

OF // AB (gt)

\Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{OA}}{{AC}} (3) (hệ quả của định lí TaLet)

Từ (1), (2) và (3) ta có: 

\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF

Ta có: AB//EF (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có: 

\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà  } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN \end{array}

\Rightarrow  N là trung điểm của AB.

Tương tự ta có: EF // DC (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà  }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM \end{array}

\Rightarrow M là trung điểm của CD.

Vậy OK đi qua trung điểm của các cạnh ABCD

5. Giải bài 60 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Cho tam giác vuông ABC, \widehat A =90^0, \widehat C=30^0 và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC). 

a) Tính tỉ số \dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} .

b) Cho biết độ dài AB = 12,5 cm. Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, định lí Pitago, công thức tính chu vi và diện tích của tam giác.

a) Muốn tính tỉ số \dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} ta cần chứng minh \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}

b) Xét tam giác ABC

- Chu vi tam giác là: p = AB + BC + CA

- Diện tích tam giác là: {S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác BCA vuông tại A (gt) có: 

\begin{array}{l} \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ACB} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {90^0} - {30^0} = {60^0} \end{array}

Trên tia đối của tia AB lấy điểm B' sao cho AB = AB' (1)

Xét hai tam giác vuông ABCAB'C có:

AC chung (gt)

AB = AB' (gt)

\Rightarrow \Delta ABC = \Delta AB'C (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

\Rightarrow BC = B'C (2 cạnh tương ứng)

\Rightarrow \Delta BB'C cân tại C.

Lại có \widehat {ABC} = {60^0} nên suy ra \Delta BB'C đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều) (2)

Từ (1) và (2)  \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}

BD là đường phân giác của \Delta ABC nên:

\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}

b) ∆ABC vuông tại A nên áp dụng định lí Pitago ta có:

\eqalign{ & A{C^2} = B{C^2} - A{B^2},\,BC = 2AB \cr & \Rightarrow A{C^2} = 4A{B^2} - A{B^2} = 3A{B^2} \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 \cr & = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\,cm \cr}

Gọi p là chu vi ∆ABC

\Rightarrow p = AB + BC + CA

\Rightarrow p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\sqrt 3

\Rightarrow p = 12,5 (3+\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)

{S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})

6. Giải bài 61 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Tứ giác ABCDAB = 4cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm.

a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên.

b) Các tam giác ABDBDC có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

c) Chứng minh rằng AB // CD.

Phương pháp giải

Áp dụng cách vẽ tam giác, dấu hiệu nhận biết hình thang, dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng.

Hướng dẫn giải

a) Cách vẽ:

- Vẽ ΔBDC:

+ Vẽ DC = 25cm

+ Vẽ cung tròn tâm D có bán kính 10cm và cung tròn tâm C có bán kính 20cm. Giao điểm của hai cung tròn là B.

- Vẽ điểm A: Vẽ cung tròn tâm B có bán kính 4cm và cung tròn tâm D có bán kính 8cm. Giao điểm của hai cung tròn này là điểm A. Nối các cạnh BD, BC, DA, BA. 

Vậy là ta đã vẽ được tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Ta có: \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{2}{5}; \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5}; \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{8}{{20}} = \dfrac{2}{5}

\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{BC}}

\Rightarrow \Delta AB{\rm{D}} \backsim \Delta B{\rm{D}}C\left( {c - c - c} \right)

c) ∆ABD∽ ∆BDC (chứng minh trên)

\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}, mà hai góc ở vị trí so le trong.

\Rightarrow AB // DC hay ABCD là hình thang.

Ngày:08/10/2020 Chia sẻ bởi:Tuyết Trịnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM