Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng
Giải bài tập trang 92 SGK Toán 8 Bài Ôn tập chương 3 Tam giác đồng dạng giúp các em học sinh sẽ dễ dàng ôn tập lại các kiến thức đã học, rèn luyện khả năng tính toán nhanh và chính xác. Sau đây mời các em cùng tham khảo lời giải tương ứng với từng bài tập SGK.
Mục lục nội dung
Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng
1. Giải bài 56 trang 92 SGK Toán 8 tập 2
Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:
a) AB=5cm,CD=15cm
b) AB=45dm;CD=150cm
c) AB=5CD
Phương pháp giải
Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và DC là tỉ số độ dài cùng đơn vị đo của hai đoạn thẳng đó
Hướng dẫn giải
a) AB=5cm và CD=15cm
⇒ABCD=515=13
b) AB=45dm=450cm và CD=150cm
⇒ABCD=450150=3
c) AB=5CD ⇒ABCD=5CDCD=5
2. Giải bài 57 trang 92 SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC(AB<AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H,D,M.
Phương pháp giải
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác chứng minh:
Bước 1: M nằm giữa D và C
Bước 2: D nằm giữa hai điểm H và C
Bước 3: Kết luận: D nằm giữa H và M.
Hướng dẫn giải
+ Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.
+ Chứng minh:
AD là đường phân giác của ∆ABC.
\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} (tính chất đường phân giác của tam giác)
Mà AB < AC (giả thiết)
\Rightarrow DB < DC \Rightarrow DB + DC < DC + DC
\Rightarrow BD + DC < 2DC hay BC < 2DC
\Rightarrow DC >\dfrac{{BC}}{2}
Mà MC = \dfrac{{BC}}{2} (M là trung điểm của BC)
\Rightarrow DC > MC \Rightarrow M nằm giữa D và C (1)
+ Mặt khác: \widehat {CAH} = {90^0} - \hat C (∆CAH vuông tại H)
\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} (tổng 3 góc ∆ABC)
\Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C
\Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}
Vì AB < AC \Rightarrow \widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0
Do đó: \widehat {CAH} > \dfrac{{\widehat A}}{2} hay \widehat {CAH} > \widehat {CAD}
\Rightarrow Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC
Do đó D nằm giữa hai điểm H và C (2)
Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa H và M.
3. Giải bài 58 trang 92 SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).
a) Chứng minh BK = CH.
b) Chứng minh KH//BC.
c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Phương pháp giải
a) Chứng minh hai tam giác vuông BKC và CHB bằng nhau.
b) Sử dụng định lí Ta lét đảo chứng minh: \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}
c) Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.
Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
Hướng dẫn giải
a) Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:
\widehat {KBC} = \widehat {HCB} (∆ABC cân tại A)
BC là cạnh chung
\Rightarrow ∆BKC = ∆CHB (cạnh huyền - góc nhọn)
\Rightarrow BK = CH (2 cạnh tương ứng)
b) Ta có : AK = AB - BK, AH = AC - HC (gt)
Mà AB = AC (∆ABC cân tại A)
BK = CH (chứng minh trên)
\Rightarrow AK = AH
Do đó : \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow KH // BC (định lí Ta lét đảo)
c) BH cắt CK tại M \Rightarrow M là trực tâm của ∆ABC (định nghĩa trực tâm)
\Rightarrow AM ⊥ BC tại I (tính chất trực tâm)
Xét ∆AIC và ∆BHC có:
\widehat{I} = \widehat{H } = 90^o
\widehat{C} chung
\Rightarrow ∆AIC \backsim ∆BHC (g - g)
\Rightarrow \dfrac{IC}{HC} = \dfrac{AC}{BC} (tính chất hai tam giác đồng dạng)
\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC} = \dfrac{b}{a}\\ \Rightarrow HC = \dfrac{BC.AH}{AC}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{a}{b}. \dfrac{2b^2 - a^2}{2b} = \dfrac{2ab^2 - a^3}{2b^2} = a - \dfrac{a^3}{2b^2}
4. Giải bài 59 trang 92 SGK Toán 8 tập 2
Hình thang ABCD \,(AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.
Phương pháp giải
- Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.
- Chứng minh \dfrac{{AN}}{{EO}}=\dfrac{{BN}}{{FO}}.
- Chứng minh \dfrac{{EO}}{{DM}}=\dfrac{{FO}}{{CM}}.
Hướng dẫn giải
Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.
Suy ra AB//EF//CD
Gọi N là giao của KO và AB, M là giao của KO với DC.
Ta có: OE // DC (gt)
\Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right) (hệ quả của định lí TaLet)
OF // DC (gt)
\Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\left( 2 \right) (hệ quả của định lí TaLet)
OF // AB (gt)
\Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{OA}}{{AC}} (3) (hệ quả của định lí TaLet)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF
Ta có: AB//EF (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:
\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN \end{array}
\Rightarrow N là trung điểm của AB.
Tương tự ta có: EF // DC (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:
\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM \end{array}
\Rightarrow M là trung điểm của CD.
Vậy OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.
5. Giải bài 60 trang 92 SGK Toán 8 tập 2
Cho tam giác vuông ABC, \widehat A =90^0, \widehat C=30^0 và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC).
a) Tính tỉ số \dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} .
b) Cho biết độ dài AB = 12,5 cm. Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Phương pháp giải
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, định lí Pitago, công thức tính chu vi và diện tích của tam giác.
a) Muốn tính tỉ số \dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} ta cần chứng minh \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}
b) Xét tam giác ABC
- Chu vi tam giác là: p = AB + BC + CA
- Diện tích tam giác là: {S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC
Hướng dẫn giải
a) Xét tam giác BCA vuông tại A (gt) có:
\begin{array}{l} \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ACB} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {90^0} - {30^0} = {60^0} \end{array}
Trên tia đối của tia AB lấy điểm B' sao cho AB = AB' (1)
Xét hai tam giác vuông ABC và AB'C có:
AC chung (gt)
AB = AB' (gt)
\Rightarrow \Delta ABC = \Delta AB'C (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)
\Rightarrow BC = B'C (2 cạnh tương ứng)
\Rightarrow \Delta BB'C cân tại C.
Lại có \widehat {ABC} = {60^0} nên suy ra \Delta BB'C đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều) (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}
Vì BD là đường phân giác của \Delta ABC nên:
\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}
b) ∆ABC vuông tại A nên áp dụng định lí Pitago ta có:
\eqalign{ & A{C^2} = B{C^2} - A{B^2},\,BC = 2AB \cr & \Rightarrow A{C^2} = 4A{B^2} - A{B^2} = 3A{B^2} \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 \cr & = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\,cm \cr}
Gọi p là chu vi ∆ABC
\Rightarrow p = AB + BC + CA
\Rightarrow p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\sqrt 3
\Rightarrow p = 12,5 (3+\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)
{S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})
6. Giải bài 61 trang 92 SGK Toán 8 tập 2
Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm.
a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên.
b) Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
c) Chứng minh rằng AB // CD.
Phương pháp giải
Áp dụng cách vẽ tam giác, dấu hiệu nhận biết hình thang, dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng.
Hướng dẫn giải
a) Cách vẽ:
- Vẽ ΔBDC:
+ Vẽ DC = 25cm
+ Vẽ cung tròn tâm D có bán kính 10cm và cung tròn tâm C có bán kính 20cm. Giao điểm của hai cung tròn là B.
- Vẽ điểm A: Vẽ cung tròn tâm B có bán kính 4cm và cung tròn tâm D có bán kính 8cm. Giao điểm của hai cung tròn này là điểm A. Nối các cạnh BD, BC, DA, BA.
Vậy là ta đã vẽ được tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện đề bài.
b) Ta có: \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{2}{5}; \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5}; \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{8}{{20}} = \dfrac{2}{5}
\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{BC}}
\Rightarrow \Delta AB{\rm{D}} \backsim \Delta B{\rm{D}}C\left( {c - c - c} \right)
c) ∆ABD∽ ∆BDC (chứng minh trên)
\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}, mà hai góc ở vị trí so le trong.
\Rightarrow AB // DC hay ABCD là hình thang.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài: Luyện tập 1
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài: Luyện tập 2
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài: Luyện tập
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 9: Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng