Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

Chứng minh rằng nếu tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng $k$.

Phương pháp giải

Chứng minh hai tam giác ABD và A'B'D' đồng dạng, với D và D' là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A và A' của hai tam giác.

Hướng dẫn giải

Giả sử $ΔA'B'C' \backsim ΔABC$ theo tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{A'B'}{AB}$ và $AD, \, A'D'$ lần lượt là đường phân giác của $ΔABC$ và $ΔA'B'C'$

Ta chứng minh $\dfrac{A'D'}{AD} = k$

Ta có: $ΔA'B'C' \backsim ΔABC$
$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{B'}; \, \widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'} \,\,\,\,(1)$

Lại có: $AD, \, A'D'$ lần lượt là đường phân giác của $ΔABC$ và $ΔA'B'C'$
$\Rightarrow \widehat{BAD} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} ; \, \widehat{B'A'D'} = \dfrac{\widehat{B'A'C'}}{2} \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{B'A'D'}$

Xét $ΔABD$ và $ΔA'B'D'$ có:
$\widehat{B} = \widehat{B'}$  (chứng minh trên)
$\widehat{BAD} = \widehat{B'A'D'}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow ΔABD \backsim ΔA'B'D'$  (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{AD}{A'D'} = \dfrac{AB}{A'B'} = k$ (đpcm)

Tính độ dài $x$ của đoạn thẳng $BD$ trong hình 43 (Làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất), biết rằng $ABCD$ là hình thang ($AB // CD$); $AB= 12,5cm; CD= 28,5cm$; $\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$.

Phương pháp giải

Chứng minh hai tam giác ABD và BDC đồng dạng, viết cặp cạnh tương ứng tỉ lệ để tính độ dài x

Hướng dẫn giải

Xét $ΔABD$ và $ΔBDC$ có:

$\widehat{A} = \widehat{B}$  (giả thiết)

$\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$  (vì $AB // CD$)

$\Rightarrow ΔABD \backsim ΔBDC$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BD}{DC}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay $\dfrac{12,5}{x} = \dfrac{x}{28,5}$

$\Rightarrow x^2 = 12,5.28,5 = 356,25$

$\Rightarrow x = 18,874 \, (cm) \, \approx 18,9 \,(cm)$

Hình 44 cho biết $\widehat{EBA} = \widehat{BDC}$

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các tam giác đó.

b) Cho biết $AE = 10cm,\, AB = 15cm,\, BC = 12cm.$ Hãy tính độ dài các đoạn thẳng $CD,\, BE,\, BD$ và $ED$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

c) So sánh diện tích tam giác $BDE$ với tổng diện tích của hai tam giác $AEB$ và $BCD.$

Phương pháp giải

a) Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông.

b) Sử dụng định lý Pi -ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng và cạnh tương ứng tỉ lệ của hai tam giác đồng dạng để tính độ dài các đoạn thẳng.

c) Sử dụng: Công thức tính diện tích tam giác, diện tích hình thang.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{EBA} = \widehat{BDC}$ (giả thiết) mà $\widehat{BDC} + \widehat{CBD}={90^0}$ (do tam giác BCD vuông tại C) 

$\Rightarrow \widehat{EBA} + \widehat{CBD}={90^0}$ 

Vậy $\widehat{EBD} = {180^0} - (\widehat{EBA}+ \widehat{CBD})$$\, = {180^o} - {90^o} = {90^o}$

Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông đó là:

$∆ABE, ∆CBD, ∆EBD.$ 

b) $∆ABE$ và $∆CDB$ có:

$\widehat{A} = \widehat{C}=90^o$

$\widehat{ABE}= \widehat{CDB}$ (giả thiết)

$\Rightarrow  ∆ABE ∽ ∆CDB$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{AE}{CB}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow CD = \dfrac{AB.CB}{AE} = 18\, (cm)$

- Áp dụng định lí pitago ta có:

$∆ABE$ vuông tại $A$

$\Rightarrow  BE = \sqrt{AE^{2}+AB^{2}}$ $\,=\sqrt{10^{2}+15^{2}}$ $\approx  18\, (cm)$.

 $∆BCD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + D{C^2}}$ $= \sqrt {{{12}^2} + {{18}^2}}  \approx 21,6\,\,cm$

$∆EBD$ vuông tại $B$

$\Rightarrow  ED = \sqrt{EB^{2}+BD^{2}}$ $=\sqrt{325+ 468} \approx 28,2\, (cm)$

c) Ta có: 

$S_{ABE} + S_{DBC}$

$= \dfrac{1}{2}AE.AB + \dfrac{1}{2}BC.CD$ 

$= \dfrac{1}{2}. 10.15 + \dfrac{1}{2}.12.18$

$= 75 + 108 = 183\;cm^2$.

Ta có: $A{\rm{E}}//DC\,\,\left(\text{ cùng } { \bot AC} \right) \Rightarrow$ $ACDE$ là hình thang.

$S_{ACDE} = \dfrac{1}{2}.(AE + CD).AC$

$= \dfrac{1}{2}.(10 + 18).27= 378\;cm^2$

$\Rightarrow S_{EBD} = S_{ACDE} - (S_{ABE}+ S_{DBC})$$\; = 378 - 183 = 195\,cm^2$

$S_{EBD}> S_{ABE} + S_{DBC}$ $( 195 > 183)$.