Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $DEF$ với đường trung tuyến $DH$. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

$\dfrac{DG}{DH}= \dfrac{1}{2}$; $\dfrac{DG}{GH}= 3$ 

$\dfrac{GH}{DH}= \dfrac{1}{3}$; $\dfrac{GH}{DG}= \dfrac{2}{3}$

Hướng dẫn giải

$G$ là trọng tâm của tam giác $DEF$ với đường trung tuyến $DH$. Ta có:

$\dfrac{{DG}}{{DH}} = \dfrac{2}{3}$ nên ta gọi $DG = 2a;DH = 3a\left( {a > 0} \right)$

Suy ra $GH=DH-DG=3a-2a=a$

Từ đó ta có: 

$\begin{array}{l} \dfrac{{DG}}{{GH}} = \dfrac{{2a}}{a} = 2;\dfrac{{GH}}{{DH}} = \dfrac{a}{{3a}} = \dfrac{1}{3};\\ \dfrac{{GH}}{{DG}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \end{array}$

Vậy khẳng định $\dfrac{GH}{DH}= \dfrac{1}{3}$ là đúng.

Các khẳng định còn lại sai.

Cho hình $25$. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a)  $MG = … MR ;$ $GR = … MR ;$ $GR = … MG$

b)  $NS = ... NG;$ $NS = …GS;$ $NG = ... GS$

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta thấy: $S, R$ lần lượt là trung điểm của $MP;\,NP$ nên $NS$ và $MR$ là hai đường trung tuyến của tam giác $MNP$.

$G$ là giao của hai đường trung tuyến nên $G$ là trọng tâm của $ΔMNP$, do đó ta có thể điền như sau:

Câu a:

$MG =\dfrac{2}{3} MR ;$ $GR = \dfrac{1}{3} MR ;$ $GR =\dfrac{1}{2} MG.$

Vì $G$ là trọng tâm của $ΔMNP$ nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{MG}}{{MR}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MG = \dfrac{2}{3}MR\\ \Rightarrow GR = MR - MG = MR - \dfrac{2}{3}MR = \dfrac{1}{3}MR \end{array}$

Từ đó suy ra: $\dfrac{{GR}}{{MG}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}MR}}{{\dfrac{2}{3}MR}}= \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow GR = \dfrac{1}{2}MG$

Câu b:

$NS =\dfrac{3}{2} NG;$ $NS =3GS;$ $NG =2GS.$

Vì $G$ là trọng tâm của $ΔMNP$ nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{NG}}{{NS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow NG = \dfrac{2}{3}NS;NS = \dfrac{3}{2}NG\\ \Rightarrow GS = NS - NG = NS - \dfrac{2}{3}NS = \dfrac{1}{3}NS\\ \Rightarrow NS = 3GS\\ \dfrac{{NG}}{{GS}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}NS}}{{\dfrac{1}{3}NS}} = 2 \Rightarrow NG = 2GS \end{array}$

Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông $ABC$ có hai cạnh góc vuông $AB = 3\,cm, AC = 4\,cm.$ Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ tới trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pitago cho $∆ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & B{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \cr}$

$\Rightarrow  BC = 5\,cm.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow$ $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, do đó $AM = \dfrac{1}{2} BC$     (1) (Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền).

Vì $G$ là trọng tâm của $∆ ABC$ nên $AG =\dfrac{2}{3} AM$       (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$AG =\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} BC$

$\Rightarrow  AG = \dfrac{1}{3} BC = \dfrac{1}{3}.5  =\dfrac{5}{3}\,(cm).$

Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Giả sử $∆ABC$ cân tại $A$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$, ta chứng minh $BM = CN.$ 

Vì $∆ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$

Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $2$ cạnh $AC$ và $AB$, suy ra:

$AN = BN = AM = CM =\dfrac{AB}{2}$$\,= \dfrac{AC}{2}$.

Xét $ΔBCM$ và $ΔCBN$ có:

Cạnh $BC$ chung

$\widehat {BCM} = \widehat {CBN}$ (do $ΔABC$ cân)

$CM = BN$ (chứng minh trên)

Vậy $ΔBCM = ΔCBN$ (c.g.c)

$\Rightarrow   BM = CN$ (điều phải chứng minh).

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Hướng dẫn giải

Ta đưa về bài toán: Cho $∆ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau ở $G.$ Biết $BM=CN$, chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Vì $∆ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau ở $G$

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow  GB = \dfrac{2}{3}BM$; $GC = \dfrac{2}{3}CN$. 

Mà $BM = CN$ (giả thiết) nên $GB = GC.$

Tam giác $GBC$ có $GB = GC$ nên $∆GBC$ cân tại $G$.

$\Rightarrow$ $\widehat{GCB} = \widehat{GBC}$ (Tính chất tam giác cân).

Xét $∆BCN$ và $∆CBM$ có: 

$BC$ là cạnh chung

$CN = BM$ (giả thiết)

$\widehat{GCB} = \widehat{GBC}$ (chứng minh trên)

Suy ra $∆BCN = ∆CBM$ (c.g.c)

 $\Rightarrow$ $\widehat{NBC} = \widehat{MCB}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow ∆ABC$ cân tại $A$ (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân) (điều phải chứng minh).

Cho tam giác $DEF$ cân tại $D$ với đường trung tuyến $DI$.

a) Chứng minh $∆DEI  = ∆DFI.$

b) Các góc $DIE$ và góc $DIF$ là những góc gì?

c) Biết $DE = DF = 13\,cm,$ $EF = 10\,cm,$ hãy tính độ dài đường trung tuyến $DI.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $∆DEI$ và $∆DFI$ có:

$DI$ là cạnh chung

$DE = DF$ (vì $∆DEF$ cân tại $D$)

$IE = IF$ ($DI$ là trung tuyến)

Vậy $∆DEI  = ∆DFI$ (c.c.c)

b) Vì  $∆DEI  = ∆DFI$ (theo câu a) nên $\widehat{DIE} =\widehat{DIF}$.

Mà $\widehat{DIE} +\widehat{DIF} = 180^o$ ( hai góc kề bù)

$\Rightarrow$ $\widehat{DIE} =\widehat{DIF}$$=\dfrac{180^0}{2}= 90^o$ 

Vậy các góc $DIE$ và góc $DIF$ là những góc vuông.

c) $I$ là trung điểm của $EF$ nên $IE = IF =\dfrac{{EF}}{2} = \dfrac{{10}}{2}= 5\,cm.$

Áp dụng định lí Pytago vào $∆DEI$ vuông tại $I$ (do theo câu b góc $DIE$ vuông) ta có: 

$\eqalign{ & D{E^2} = D{I^2} + E{I^2} \cr & \Rightarrow D{I^2} = D{E^2}-E{I^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,D{I^2}\, = {13^2}-{5^2} = 144 \cr & \Rightarrow DI = 12\,\,cm \cr}$

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC.$ Chứng minh rằng:

                   $GA = GB = GC.$

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập $26.$

Hướng dẫn giải

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, AC, AB.$

Vì $∆ABC$ là tam giác đều nên $AB = AC = BC.$ 

Xét $∆ABC$ có $AB = AC$ nên $∆ABC$ cân tại $A$.

$\Rightarrow  BN = CP$ (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập $26$)

Ta có: $GB = \dfrac{2}{3}BN;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP$

Suy ra $GB = GC = \dfrac{2}{3} BN = \dfrac{2}{3} CP$   (1)

Xét $∆ABC$ có $BA = BC$ nên $∆ABC$ cân tại $B$.

$\Rightarrow   CP = AM$  (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập $26$)

Ta có: $GA = \dfrac{2}{3}AM;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP$

Suy ra $GC = GA = \dfrac{2}{3} CP = \dfrac{2}{3} AM$   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $GA = GB = GC$ (điều phải chứng minh).

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Trên tia $AG$ lấy điểm $G’$ sao cho $G$ là trung điểm của $AG’$.

a) So sánh các cạnh của tam giác $BGG’$ với các đường trung tuyến của tam giác $ABC.$

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác $BGG’$ với các cạnh của tam giác $ABC.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

So sánh các cạnh của $∆BGG’$ với các đường trung tuyến của $∆ABC.$

Gọi $M, N, E$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB.$

$G$ là trọng tâm của $∆ABC$

  $\Rightarrow GA =\dfrac{2}{3}AM$

Mà $GA = GG’$ ($G$ là trung điểm của $AG’$)

  $\Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3} AM$

- Vì $G$ là trọng tâm của $∆ABC$ $\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3} BN$

- Ta có:  

$GM =\dfrac{1}{2} AG$ (do $G$ là trọng tâm) và $AG = GG'$ (giả thiết)

$\Rightarrow GM = \dfrac{1}{2} GG'$, do đó $MG=MG'.$

Xét $∆GMC$ và $∆G’MB$ có: 

$GM = MG'$ (chứng minh trên)

$MB = MC$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

${\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy $∆GMC=∆G’MB$ (c.g.c)

 $\Rightarrow BG' = CG$ (Hai cạnh tương ứng)

Mà $CG = \dfrac{2}{3}  CE$ ($G$ là trọng tâm tam giác $ABC$) 

 $\Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3} CE$

Vậy $GG' = \dfrac{2}{3}AM,GB = \dfrac{2}{3}BN,G'B = \dfrac{2}{3}CE$

Hay mỗi cạnh của $∆BGG’$ bằng  $\dfrac{2}{3}$ đường trung tuyến của $∆ABC.$

Câu b:

So sánh các đường trung tuyến của $∆BGG’$ với các cạnh của $∆ABC.$

- Ta có: $BM$ là đường trung tuyến $∆BGG’$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{1}{2} BC$.

Gọi $I$ là trung điểm $BG$ 

Vì $IG = \dfrac{1}{2} BG$ (do $I$ là trung điểm $BG$)

$GN = \dfrac{1}{2}BG$ ($G$ là trọng tâm)

$\Rightarrow  IG = GN$

Xét  $∆IGG’$ và $∆NGA$ có:

$IG = GN$ (chứng minh trên)

$GG' = GA$ (giả thiết)

$\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy $∆IGG’ = ∆NGA$ (c.g.c) 

$\Rightarrow  IG' = AN$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow  IG' = \dfrac{{AC}}{2}$

- Gọi $K$ là trung điểm $BG'$ $\Rightarrow  GK$ là trung tuyến của $∆BGG’$

Vì $GE = \dfrac{1}{2} GC$ ($G$ là trọng tâm tam giác $ABC$)

$BG' = GC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  GE =\dfrac{1}{2} BG'$

Mà $K$ là trung điểm $BG’$ $\Rightarrow KG’ = EG$

Vì $∆GMC = ∆G’MB$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$   $\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow  CE // BG’$ $\Rightarrow$   $\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}$ (đồng vị)

Xét $∆AGE$ và $∆GG’K$ có:

$EG = KG’$ (chứng minh trên)

$AG = GG'$ (giả thiết)

$\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}$ (chứng minh trên)

Vậy $∆AGE = ∆GG’K$ (c.g.c)

$\Rightarrow AE = GK$

Mà $AE = \dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow  GK =  \dfrac{1}{2} AB$

Vậy $BM = \dfrac{1}{2}BC,G'I = \dfrac{1}{2}AC,GK = \dfrac{1}{2}AB$ 

Hay mỗi đường trung tuyến của $∆BGG’$ bằng một nửa cạnh của tam giác $ABC$.