Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một  góc $α$ với $0^0≤  α ≤ 180^0$. Tại sao khi $α$ là một góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?

Phương pháp giải

- Nhắc lại định nghĩa.

- Sử dụng định nghĩa để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn sẽ thấy nó chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9.

- Định nghĩa: Với mỗi góc $α$ $(0^0≤  α ≤ 180^0)$ ta xác định một điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} =  α$ và giả sử điểm $M$ có tọa độ $M (x_0;y_0)$.

Khi đó ta có định nghĩa:

$\sin α = y_0$

$\cos α = x_0$

$\tan α =  {{{y_0}} \over {{x_0}}}$

$\cot α =  {{{x_0}} \over {{y_0}}}$

Các số $\sin α, \cos α, \tan α, \cot α$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $α$.

- Khi $α$ là các góc nhọn thì:

Trong tam giác $OFM$ vuông tại $F$, ta có:

$\sin \alpha   = \frac{{MF}}{{OM}}={{{y_0}} \over 1} = {y_0}$

$\cos \alpha  = {{OF} \over {OM}} = {{{x_0}} \over 1} = {x_0}$

$\tan \alpha  = {{FM} \over {OF}} = {{{y_0}} \over {{x_0}}}$

$\cot \alpha  = {{OF} \over {FM}} = {{{x_0}} \over {{y_0}}}$

Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau?

Phương pháp giải

Sử dụng đường tròn lượng giác tính sin và cosin của hai góc bù nhau rồi so sánh.

Hướng dẫn giải

Gọi $M(x_0; \, y_0)$ nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha .$

Khi đó điểm $M’(-x_0; \, y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị có $\widehat {xOM'} = {180^0} - \alpha$ tức là $\widehat {xOM'}$ là góc bù với $\widehat {xOM}=\alpha.$

Do đó: $\sin \alpha  = {y_0} = \sin \left( {180 - \alpha } \right),$ $\cos \alpha  = {x_0} =  - \left( { - {x_0}} \right)$$=  - \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right).$

Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Tích vô hướng này với $|\overrightarrow a|$ và $|\overrightarrow b |$ không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhẩt khi nào?

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} - 1 \le \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \le 1\\ \Rightarrow - 1.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \le \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.1\\ \Rightarrow - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \le \overrightarrow a .\overrightarrow b \le \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \end{array}$

$\overrightarrow a .\overrightarrow b$ đạt giá trị lớn nhất $|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |$ khi:

$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^0}$

 tức là  $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b$ đạt giá trị nhỏ nhất $- |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |$  khi:

$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) =  - 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^0}$ hay $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho vectơ $\overrightarrow a  = ( - 3;1)$ và vectơ $\overrightarrow b  = (2;2)$. Hãy tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b .$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tích vô hướng:

Với $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2});\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$$\Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow a  = ( - 3;1)$ và vecto $\overrightarrow b  = (2;2)$ nên:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ( - 3).2 + 1.2 =  - 6 + 2 =  - 4.$

Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính $\cos A, \cos B , \cos C$ theo các cạnh của tam giác.

Phương pháp giải

- Sử dụng định lý cosin chuyển vé đổi dấu để được $\cos A, \cos B , \cos C$ theo các cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Định lí cosin:

Trong tam giác $ABC$ có AB=c, BC=a, AC=b ta có:

$\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits}\cr& \Rightarrow \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} \cr & {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.{\mathop{\rm cosB}\nolimits}\cr& \Rightarrow {\mathop{\rm cosB}\nolimits} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over {2ca}} \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.{\mathop{\rm cosC}\nolimits}\cr& \Rightarrow {\mathop{\rm cosC}\nolimits} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \cr}$

Từ hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$ trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức cho tam giác ABC vuông tại A có góc A bằng 90 độ.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$

Khi góc $A = 90^0$, suy ra $\cos A = 0$

Do đó ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2}- 2bc.\cos 90^0$ $={b^2} + {c^2}- 2bc.0={b^2} + {c^2}$

Vậy $a^2 = b^2+c^2$ (định lí Py-ta-go).

Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có  $a = 2R\sin A; b = 2R\sin B ;$$c = 2R\sin C$, trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Phương pháp giải

Ta sử dụng định lí sin: ${a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R\sin B\\\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow c = 2R\sin C\end{array}$

Vậy $a = 2R\sin A; b = 2R\sin B;$$c = 2R\sin C$

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) Góc $A$ nhọn khi và chỉ khi ${a^2} < {b^2} + {c^2}$

b) Góc $A$ tù khi và chỉ khi ${a^2} > {b^2} + {c^2}$

c) Góc $A$ vuông khi và chỉ khi ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Phương pháp giải

- Sử dụng hệ quả của đinh lí cosin.

- Góc $A$ nhọn thì $\Leftrightarrow \cos A > 0$.

- Góc $A$ tù thì $\Leftrightarrow \cos A < 0$.

- Góc $A$ vuông thì $\Leftrightarrow \cos A = 0$.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Theo hệ quả định lí cosin: ${\mathop{\rm cosA}\nolimits}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}$.

Khi đó:

${a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$

Mà $2bc > 0$ nên $\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0$

$\Leftrightarrow \cos A > 0$

$\Leftrightarrow A$ là góc nhọn.

Vậy góc $A$ nhọn khi và chỉ khi ${a^2} < {b^2} + {c^2}$

Câu b:

${a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} < 0$

Mà $2bc > 0$ nên $\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} < 0$

$\Leftrightarrow \cos A < 0$

$\Leftrightarrow A$ là góc tù.

Vậy góc $A$ tù khi và chỉ khi ${a^2} > {b^2} + {c^2}$

Câu c:

Theo định lí Py-ta-go thì: ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

$\Leftrightarrow$ góc $A$ là góc vuông.

Cách trình bày khác:

Góc A vuông $\Leftrightarrow \cos A = \cos {90^0} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 0$ $\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0$ $\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}$

Cho tam giác $ABC$ có góc $A = 60^0, BC = 6$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Phương pháp giải

Sử dụng định lí sin thay số vài để tìm R.

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Hướng dẫn giải

Sử dụng định lí sin, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Mà $a=BC=6$, $\widehat A = {60^0}$ nên

$\frac{6}{{\sin {{60}^0}}} = 2R$ $\Leftrightarrow R = \frac{6}{{2\sin {{60}^0}}}$ $= \frac{6}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3$

Cho tam giác $ABC$ có $a = 12, b = 16, c = 20$. Tính diện tích $S$  tam giác,  chiều cao $h_a$, các bán kính $R, r$ của các đường tròn ngoại tiếp, nội  tiếp tam giác và đường trung tuyến $m_a$ của tam giác.

Phương pháp giải

- Diện tích tam giác $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

- Chiều cao: $S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}$

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}$

- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}$

- Trung tuyến: $m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}$

Hướng dẫn giải

• Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với:

$\eqalign{ & p = \frac{{a + b + c}}{2}= {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr & S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \cr &= \sqrt {24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)} \cr&= \sqrt {24.12.8.4} = 96(dvdt) \cr}$

• Tính $h_a$: Ta có:

$\eqalign{ & S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}.12.{h_a} \cr& \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr & \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr}$

• Tính $R$

Ta có: $S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10$

• Tính $r$

Ta có: $S = p.r \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4$

• Tính $m_a$. Ta có:

$\eqalign{ & {m_a}^2 = {{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \over 4} \cr&= {{2({{16}^2} + {{20}^2}) - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr & \Leftrightarrow {m_a} = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr}$

Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là $a$ và $b$. Tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác $S = {1 \over 2}ab\sin C$

Hướng dẫn giải

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có: $S = {1 \over 2}ab\sin C$

Ta có:

$0 < \sin C \le 1$ $\Rightarrow 0 < \frac{1}{2}ab\sin C \le \frac{1}{2}ab.1$ $\Rightarrow 0 < S \le \frac{1}{2}ab$

Mà $ab$ không đổi nên $S$ đạt GTLN bằng $\frac{1}{2}ab$ khi $\sin C=1$ $\Leftrightarrow C = {90^0}$

Vậy trong tập hợp các tam giác có hai cạnh $a$ và $b$ không đổi thì tam giác vuông đỉnh $C$ có diện tích lớn nhất.

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin {150^0} =  - {{\sqrt 3 } \over 2}$

B. $\cos {150^0} = {{\sqrt 3 } \over 2}$

C. $\tan {150^0} =  - {1 \over {\sqrt 3 }}$

D. $\cot {150^0} = \sqrt 3$

Phương pháp giải

Nếu $90^0 < α < 180^0$ thì $\sin α > 0$ còn các giá trị lượng giác khác của $α$ đều nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Do $0^0< 150^0 < 180^0$ nên $\sin 150^0 >0$ (loại A)

$\cos 150^0 < 0$ (loại B)

$\tan 150^0 < 0$ và $\cot 150^0 < 0$ (loại D).

Chọn C.

Cho $α$ và $β$ là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. $\sin α = \sin β$

B. $\cos α = -\cos β$

C. $\tan α = -\tan β$

D. $\cot α = \cot β$

Phương pháp giải

Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi  - \alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}$

Hướng dẫn giải

$\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \beta$ nên A đúng.

$\cos \alpha  = -\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = -\cos \beta$ nên B đúng.

$\tan \alpha  = - \tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \tan \beta$ nên C đúng.

$\cot \alpha  = - \cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \cot \beta$ nên D sai.

Vậy chọn D.

Cho $α$ là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin α < 0$

B. $\cos α > 0$

C. $\tan α < 0$

D. $\cot α > 0$

Hướng dẫn giải

Khi $90^0< α < 180^0$ thì: $\sin α > 0$ còn các giá trị lượng giác khác của $α$ đều nhận giá trị âm.

Chọn C.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. $\cos 45^0= \sin 45^0$

B. $\cos 45^0 = \sin 135^0$

C. $\cos 30^0 = \sin 120^0$

D. $\sin 60^0 = \cos 120^0$

Hướng dẫn giải

Chọn D vì: $\left\{ \matrix{\sin {60^0} > 0 \hfill \cr \cos {120^0} < 0 \hfill \cr} \right.$

Hai góc nhọn $α$ và $β$  trong đó $α < β$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos \alpha  < \cos \beta$

B. $\sin α < \sin β$

C. $α + β  = 90^0⇒ \cos α = \sin β$

D. $\tan α + \tan β  > 0$

Phương pháp giải

Vẽ đường tròn lượng giác để xác định các giá trị lượng giác của α rồi so sánh.

Hướng dẫn giải

Biểu diễn góc α, β (α < β) trên nửa đường tròn lượng giác nằm phía trên trục hoành.

Ta có sin α = y₁; cos α = x₁ ; sin β = y₂; cos β = x₂.

x₁ > x₂ nên cos α > cos β

A sai.

y₁ < y₂ nên sin α < sin β.

B đúng

α + β = 90º ⇒ cos α = sin β.

C đúng

tan α > 0, tan β > 0 nên tan α + tan β > 0.

D đúng.

Chọn A.

Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $B = 30^0$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos B = {1 \over {\sqrt 3 }}$

B. $\sin C = {{\sqrt 3 } \over 2}$

C. $\cos C = {1 \over 2}$

D. $\sin B = {1 \over 2}$

Phương pháp giải

Tính số đo góc C.

Sử dụng bảng số đo lượng giác của các góc đặc biệt:

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} B + C = {90^0}\\ \Rightarrow C = {90^0} - B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\\ \cos B = \cos {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow A\,sai\\ \sin C = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow B\,\text{đúng}\\ \cos C = \cos {60^0} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow C\,\text{đúng}\\ \sin B = \sin {30^0} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow D\,\text{đúng} \end{array}$

Chọn A.

Tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin \widehat {BAH} = {{\sqrt 3 } \over 2}$

B. $\cos \widehat {BAH} = {1 \over {\sqrt 3 }}$

C. $\sin \widehat {ABC} = {{\sqrt 3 } \over 2}$

D. $\sin \widehat {AHC} = {1 \over 2}$

Phương pháp giải

- Tam giác đều có mỗi góc bằng 60 độ.

- Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác góc A. Từ đó tính được $\widehat {BAH}$

- Tính các giá trị lượng giác của các góc đã biết số đo.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác góc A.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}{.60^0} = {30^0}\\ \Rightarrow \sin \widehat {BAH} = \sin {30^0} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow A\,sai\\ \cos \widehat {BAH} = \cos {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow B\,sai\\ \sin \widehat {ABC} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow C\,\text{đúng}\\ \sin \widehat {AHC} = \sin {90^0} = 1\\ \Rightarrow D\,sai \end{array}$

Chọn C

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin α = \sin (180^0– α)$

B. $\cos α = \cos (180^0– α)$

C. $\tan α = \tan (180^0 – α)$

D. $\cot α = \cot (180^0 – α)$

Hướng dẫn giải

A đúng vì: Với hai góc bù sau thì có sin bằng nhau, còn các giá trị lượng giác khác là đối nhau.

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A) $\cos 35^0> \cos 10^0$

B) $\sin 60^0 < \sin 80^0$

C) $\tan 45^0< \tan 60^0$

D) $\cos 45^0 = \sin 45^0$

Hướng dẫn giải

Với hai góc α và β thỏa mãn 0º < α < β < 90º ta luôn có:

cos α > cos β; sin α < sin β; tan α < tan β ; cot α > cot β

Chọn A.

Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $B = 50^0$. Hệ thức nào sau đây là sai:

A. $(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) = {130^0}$

B. $(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} ) = {40^0}$

C. $(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} ) = {50^0}$

D. $(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}$

Phương pháp giải

Dựng các véc tơ:

$\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}$ ta có:

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD}$

- Tính được các góc dựa vào tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Mà AD//BC

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} - \widehat {ABC}\\ = {180^0} - {50^0} = {130^0} \end{array}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {130^0}$

A đúng.

$\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {CAD}$

Mà AD//BC nên

$\begin{array}{l} \widehat {CAD} = \widehat {ACB} = {90^0} - \widehat {ABC}\\ = {90^0} - {50^0} = {40^0}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {40^0} \end{array}$

B đúng.

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } \right) = \widehat {BAE}$

Mà AE//BC nên

$\begin{array}{l} \widehat {BAE} = \widehat {ABC} = {50^0}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {50^0} \end{array}$

C đúng.

$\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AE} } \right) = \widehat {CAE}$

Mà AE//BC nên

$\begin{array}{l} \widehat {CAE} + \widehat {ACB} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {CAE} = {180^0} - \widehat {ACB}\\ = {180^0} - {40^0} = {140^0}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {CAE} = {140^0} \end{array}$

D sai.

Cho $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto $\overrightarrow 0$. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng.

A. $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |$

B.  $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

C. $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1$

D. $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )$

Khi $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng thì $(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^0}$

$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 1 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overline b |$

Chọn A.

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = AC = 30 cm$. Hai đường trung tuyến $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $G$. Diện tích tam giác $GFC$ là:

A. $50cm^2$

B. $50 \sqrt2 cm^2$

C. $75cm^2$

D. $15 \sqrt{105} cm^2$

Phương pháp giải

- Tính tỉ lệ diện tích các tam giác vuông theo tỉ lệ của cạnh đáy có chung đường cao.

- Sử dụng tính chất chất trọng tâm của tam giác cách các đỉnh của tam giác một đoạn bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Hướng dẫn giải

G là trọng tâm tam giác ABC nên FG = 1/3.BF

⇒ ${S_{GFC}} = \frac{1}{3}{S_{BFC}}$

F là trung điểm của AC nên FC = 1/2. AC

${S_{BFC}} = \frac{1}{2}{S_{BAC}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{GFC}} = \frac{1}{3}{S_{BFC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{S_{BAC}}\\ = \frac{1}{6}{S_{BAC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{2}.AB.AC\\ = \frac{1}{6}.\frac{1}{2}.30.30 = 75\left( {c{m^2}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GFC}} = 75\left( {c{m^2}} \right)\end{array}$

Chọn C.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5cm, BC = 13cm$.  Gọi góc $ABC = α$ và góc $ACB = β$. Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh $α$ và $β$.

A) $β > α$                        B) $β < α$

C) $α = β$                        D) $α ≤ β$

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông tính được cạnh AC.

Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện: Trong một tam giác góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A nên theo Py-ta-go ta có:

$AB^2+AC^2=BC^2$ $\Leftrightarrow  A{C^2} =BC^2-AB^2$ $= {13^2} - {5^2} = 144$

$\Rightarrow AC = 12$

Mà $AC > AB  \Rightarrow \widehat {ABC} > \widehat {ACB}$ $⇒  α > β$ (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn)

Chọn B.

Cho góc $xOy = 30^0$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm di động lần lượt trên $Ox$ và $Oy$ sao cho  $AB = 1.$ Độ dài lớn nhất của đoạn $OB$ bằng:

A. $1,5$                   B. $\sqrt3$

C. $2 \sqrt2$                 D. $2$

Phương pháp giải

- Độ dài OB lớn nhất khi OB là cạnh huyền của tam giác OAB vuông tại A.

- Dử dụng định lí sin để đánh giá.

Hướng dẫn giải

Áp định lí sin trong tam giác AOB ta có:

$\eqalign{ & {{OB} \over {\sin \widehat{ OAB}}} = {{AB} \over {{\mathop{\sin \widehat {AOB}}\nolimits} }} \cr&\Rightarrow {{OB} \over {\sin\widehat {OAB}}} = {1 \over {{1 \over 2}}}=2 \cr & \Rightarrow OB = 2\sin \widehat {OAB} \cr}$

Vì $\sin \widehat{OAB} ≤ 1$ nên $OB= 2\sin \widehat {OAB} ≤ 2$

$⇒ OB$ đạt giá trị lớn nhất là $2$ khi $\sin\widehat {OAB} = 1$

$⇒ \widehat{ OAB} = 90^0$ hay $AB ⊥ Ox$

Vậy OB lớn nhất bằng $2$.

Vậy chọn D.

Cho tam giác $ABC$ có $BC = a, CA = b, AB = c$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu ${b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$ thì góc $A$ nhọn

B. Nếu ${b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$ thì góc $A$ tù.

C. Nếu ${b^2} + {c^2} - {a^2} < 0$ thì góc $A$ nhọn.

D. Nếu ${b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$ thì góc $A$ vuông.

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí cosin để đánh giá.

- Đánh giá ${b^2} + {c^2} - {a^2}$ dựa vào $\cos A$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có: $\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}$

Nếu ${b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$ thì $\cos A > 0  \Leftrightarrow A < {90^0}$ $⇒\widehat A$ là góc nhọn.

Nếu ${b^2} + {c^2} - {a^2} < 0$ thì $\cos A < 0 \Leftrightarrow A > {90^0}$ $⇒\widehat A$ là góc tù.

Chọn A.

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 15cm$. Gọi $P$ là một điểm cách tâm $O$ một khoảng $PO = 9cm$. Dây cung đi qua $P$ và vuông góc với $PO$ có độ dài là:

A. $22cm$                      B. $23cm$

C. $24cm$                      D. $25cm$

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất: Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó.

- Áp dụng định lí Py-ta-go tính được PB rồi suy ra AB.

Hướng dẫn giải

Gọi dây cung vuông góc với OP tại P là MN.

Khi đó $OP \bot MN \Rightarrow P$ là trung điểm MN (đường kính vuông góc với dây cùng thì đi qua trung điểm của dây)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác OPM ta có:

$\eqalign{ & P{M^2} = O{M^2} - O{P^2}\cr&=15^2-9^2= 225 - 81 = 144 \cr & \Rightarrow PM = 12 \cr & \Rightarrow MN = 2PM = 2.12 = 24 \cr}$

Chọn C.

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8cm, AC = 18cm$ và có diện tích bằng $64cm^2$. Giá trị $\sin A$ là:

A. ${{\sqrt 3 } \over 2}$                    B. ${3 \over 8}$ 

C. ${4 \over 5}$                      D. ${8 \over 9}$

Phương pháp giải

- Áp dụng công thức tính diện tích $S = {1 \over 2}AB.AC.\sin A$ để suy ra sinA.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: $S = {1 \over 2}AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB.AC}}={{2.64} \over {8.18}} = {8 \over 9}$

Do đó chọn D

Cho hai góc nhọn $α$ và $β$ phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A. $\sin α = -\cos β$

B. $\cos α = \sin β$

C. $\tan α = \cot β$

D. $\cot α = \tan β$

Phương pháp giải

Nếu có α + β = 90º thì:

sin α = cos β ; cos α = sin β;

tan α = cot β; cot α = tan β.

Hướng dẫn giải

A sai

Chọn A.

Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. $\sin90^0 < \sin 150^0$

B. $\sin 90^015’ < \sin 90^030’$

C. $\cos90^030’ > \cos 100^0$

D. $\cos 150^0 > \cos 120^0$

Phương pháp giải

- Các giá trị lượng giác đặc biệt thì tính được.

- Sử dụng tính chất sin a = sin (180º-a).

Hướng dẫn giải

sin 90º = 1, sin 150º = 1/2

⇒ sin 90º > sin 150º (A sai)

sin 90º15’ = sin 89º45’;

sin 90º30’ = sin 89º30’.

Mà với 0º < α < β < 90º thì sin α < sin β

⇒ sin 89º45’ > sin 89º30’

⇒ sin 90º15’ > sin 90º30’ (B sai)

Với 0º < α < β < 180º thì cos α > cos β

⇒ cos 90º30’ > cos 100º (C đúng)

cos 150º = –√3/2, cos 120º = –1/2 nên cos 150º < cos 120º (D sai)

Chọn C.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$

B. $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}$

C. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}$

D. $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}$

Phương pháp giải

- Từ công thức $\overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}=|a|.|b|.Cos(\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {b})$ ta so sánh tích vô hướng của các vectơ với 0 dựa vào giá trị của $Cos(\overrightarrow {a} ,\overrightarrow {b})$.

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {AB}  . \overrightarrow {AC} =0$

$\begin{array}{l} \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {ABC} = 90^\circ \\  \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) > 0\\  \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = BA.BC > {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) > 0\\  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \\ \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 180^\circ  - \widehat {ACB} > 90^\circ \\  \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) < 0 \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ACB} < 90^\circ \\  \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) > 0\\  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  > 0 \end{array}$

Do đó: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}$

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 0\\ \left( {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB} < 90^\circ \\  \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right) > 0\\  \Rightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  > 0 \end{array}$

Do đó: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}$

$\begin{array}{l} \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ACB} < 90^\circ \\  \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} } \right) > 0\\  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  > 0\\ \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AB} } \right) = 180^\circ  - \widehat {ABC} > 90^\circ \\  \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AB} } \right) < 0\\ \overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AB}  < 0 \end{array}$

Do đó: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}$

Tam giác $ABC$ có $AB = 4cm, BC = 7cm, CA = 9cm$. Giá trị của $\cos A$ là:

A. ${2 \over 3}$                                      B. ${1 \over 3}$     

C. $- {2 \over 3}$                                   D. ${1 \over 2}$

Phương pháp giải

Sử dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}$

Hướng dẫn giải

Sử dụng hệ quả của định lí cosin:

$\cos A = {{{AB^2} + {AC^2} - {BC^2}} \over {2AB.AC}}$

$= {{{4^2} + {9^2} - {7^2}} \over {2.9.4}} = {2 \over 3}$

Chọn A.