Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Giải bài 1 trang 45 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

2. Giải bài 2 trang 45 SGK  Hình học 10

Cho ba điểm $O, A, B$ thẳng hàng biết $OA = a, OB = b$. Tính tích vô hướng của $\vec{OA}$.$\vec{OB}$ trong $2$ trường hợp

a) Điểm $O$ nằm ngoài đoạn $AB.$

b) Điểm $O$ nằm trong đoạn $AB.$

Phương pháp giải

- Hai vectơ cùng phướng thì góc giữa chúng bằng 0 độ.

- Hai vectơ ngược hướng thì góc giữa chúng bằng 180 độ.

- Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác vectơ $\overrightarrow 0.$ Khi đó tích vô hướng của vectlơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ được xác định bởi công thức sau:

$$\overrightarrow a \overrightarrow {.b}  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right).$$

Hướng dẫn giải

Câu a:

Khi $O$ nằm ngoài đoạn $AB$ thì hai vec tơ $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$ cùng hướng.

Do đó góc $(\vec{OA}, \vec{OB}) = 0^0$ $\Rightarrow \cos(\vec{OA}, \vec{OB}) =\cos 0^0 = 1$

Nên $\vec{OA}.\vec{OB}$

$= \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$

$=OA.OB.\cos 0^0 =a.b.1= ab.$

Câu b:

Khi $O$ nằm trong đoạn $AB$ thì hai vec tơ $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$ ngược hướng.

Do đó góc $(\vec{OA}, \vec{OB}) = 180^0$ $\Rightarrow \cos(\vec{OA}, \vec{OB}) = \cos 180^0 =-1$

Nên $\vec{OA}.\vec{OB}$

$= \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$

$=OA.OB.\cos 180^0 =a.b.(-1)$$=- ab.$

3. Giải bài 3 trang 45 SGK Hình học 10

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có  đường kính $AB = 2R$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $I$.

a) Chứng minh $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}$;

b)  Hãy dùng câu a) để tính $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}$ theo $R.$

Phương pháp giải

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 90 độ.

- Sử dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp.

- Chú ý: $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

Hướng dẫn giải

Câu a:

AB là đường kính nên $\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AM \bot MB\\ AN \bot NB \end{array} \right.$

Ta có: ${\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right)$

$= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM}$

Mặt khác: $\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {BM}$ (do AM$\bot$ MB) nên $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM}  = 0$ 

Từ đó: $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}+0$ $= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}$

Ta có: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AN} } \right)$$= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN}$

Mặt khác: $\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {AN}$ (vì BN $\bot$ NA) nên $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN}  = 0$

Từ đó: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  =  \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}+0$$=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}$.

Câu b:

$\eqalign{& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr &  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr}$

4. Giải bài 4 trang 45 SGK Hình học 10

Trên mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(1; 3), \,  B(4;2)$

a) Tìm tọa độ điểm $D$ nằm trên trục $Ox$ sao cho $DA = DB$;

b) Tính chu vi tam giác $OAB$;

c) Chứng tỏ rằng $OA$ vuông góc với $AB$ và từ đó tính diện tích tam giác $OAB.$

Phương pháp giải

Câu a:

• Điểm $D \in Ox \Rightarrow D(x_0; \, 0).$
• $DA = DB \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2}$

Câu b:

Chu vi tam giác $OAB:\;\;\;C = OA + OB + AB.$

Câu c:

• $OA \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB} = 0.$
• ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

$D$ nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ của $D$ là $(x; 0)$.

Ta có : $\overrightarrow {DA}  = \left( {{x_A} - {x_D};{y_A} - {y_D}} \right) = \left( {1 - x;3} \right)$

$\overrightarrow {DB}  = \left( {{x_B} - {x_D};{y_B} - {y_D}} \right)  = \left( {4 - x;2} \right).$

$\Rightarrow DA = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {3^2}} ,$ $DB = \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {2^2}}$

$\begin{array}{l} DA = DB\\  \Leftrightarrow \sqrt {9 + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 4} \\  \Leftrightarrow 9 + {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 + {\left( {x - 4} \right)^2}\\  \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 10 = {x^2} - 8x + 20\\  \Leftrightarrow 6x = 10\\  \Leftrightarrow x = \frac{5}{3} \end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} = \left( {1;3} \right)\\ \Rightarrow OA = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \\ \overrightarrow {OB} = \left( {4;2} \right)\\ \Rightarrow OB = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \\ \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\\ = \left( {4 - 1;2 - 3} \right) = \left( {3; - 1} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\ \Rightarrow C = OA + AB + OB\\ = \sqrt {10} + \sqrt {10} + 2\sqrt 5 \\ = 2\sqrt {10} + 2\sqrt 5 \end{array}$

Vậy chu vi tam giác là $2\sqrt {10} + 2\sqrt 5$.

Câu c:

Ta có $\vec{OA}= (1; 3)$; $\vec{AB} = (3; -1)$

$\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0$

$\Rightarrow \vec{OA}$ ⊥ $\vec{AB}$

Do đó OA$\bot$AB nên $\widehat {OAB} = {90^0}$ hay tam giác OAB vuông tại A.

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB$ $=\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}$$=5$ (đvdt)

5. Giải bài 5 trang 45 SGK Hình học 10

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow a  = (2; -3) ,$  $\overrightarrow b = (6, 4);$

b) $\overrightarrow a  = (3; 2),$ $\overrightarrow b = (5, -1);$

c) $\overrightarrow a  = (-2; -2\sqrt3)$, $\overrightarrow b = (3; \sqrt3)$;

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{ {\overrightarrow a .\overrightarrow b } }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$$= \dfrac{{{{x_1}{x_2} + y{  _1}{y_2}} }}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.6 + \left( { - 3} \right).4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$ hay $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}$

Cách trình bày khác:

$\begin{array}{l} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{2.6 + \left( { - 3} \right).4}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {4^2}} }}\\ = \frac{0}{{\sqrt {13} .\sqrt {52} }} = 0\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0} \end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{3.5 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{13}}{{\sqrt {13} .\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^0} \end{array}$

Câu c:

$\begin{array}{l} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \\= \frac{{ - 2.3 + \left( { - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}\\ = \frac{{ - 12}}{{\sqrt {16} .\sqrt {12} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {150^0} \end{array}$

6. Giải bài 6 trang 46 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

• $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB//DC\\ AB = DC \end{array} \right.$ $\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.
• $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật.
• $AB = AD \Rightarrow ABCD$là hình vuông.

7. Giải bài 7 trang 46 SGK Hình học 10

Phương pháp giải