Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ

Cho \(AOB\) là tam giác cân tại \(O\) có \(OA = a\) và có các đường cao \(OH\) và \(AK.\) Giả sử \(\widehat {AOH} = \alpha. \) Tính \(AK\) và \(OK\) theo \(a\) và \(α.\)

Hướng dẫn giải

Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) nên ta có \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha < 90^0 \)

Tam giác \(OKA\) vuông tại \(K\) nên ta có:

\(\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}}  \)

\(\Rightarrow AK = OA.\sin \widehat {AOK} \)\(\Rightarrow AK = a.\sin 2\alpha. \)

\(\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}}  \)

\(\Rightarrow OK = OA.cos\widehat {AOK} \)\(\Rightarrow OK = a.\cos 2\alpha .\)

Chứng minh rằng với mọi góc \(α \, (0^0≤ α ≤ 180^0)\) ta đều có \(\sin ^2\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

Vẽ nửa đường tròn lượng giác (O; 1).

Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)

Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.

Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên OM=1.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = y_0^2 + x_0^2\\
= O{E^2} + O{F^2} = M{F^2} + O{F^2}\\
= O{M^2} = {1^2} = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1
\end{array}\)

Cho góc \(x\), với \(\cos x = \frac{1}{3}.\) Tính giá trị của biểu thức: \( P = 3\sin^2x  +\cos^2x.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\sin^2x + {\cos ^2}x = 1 \) \(\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x.\)   

Do đó \(P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x \)\(= 3(1 - {\cos ^2}x) + {\cos ^2}x \)

\( = 3 - 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x\)

\(= 3 - 2{\cos ^2}x \)

\(= 3 - 2.{\left( {{1 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 9}.\)

Cách trình bày khác:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\
= 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\\
\Rightarrow P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\
= 3.\frac{8}{9} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\\
= \frac{{25}}{9}
\end{array}\)

Cho hình vuông \(ABCD\). Tính: \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right), \, \sin\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right),\)\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right).\)

Hướng dẫn giải

+) Dựng \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {BA} \) ta có :

\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AE} } \right) = \widehat {CAE}\)

Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {CAE} = {180^0} - \widehat {BAC}\) \( = {180^0} - {45^0} = {135^0}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \cos {135^0}\\
=  \cos \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) = - \cos {45^0}\\
= - \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = -\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

- Dựng \(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {BD} \) ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AF} } \right) = \widehat {CAF}\)

Mà \(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {BD} \) nên AF//BD.

Lại có AC \(\bot\) BD nên AC \(\bot\) AF hay \(\widehat {CAF}=90^0\).

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) \) \(= \cos \widehat {CAF} = \cos {90^0} = 0\)

- Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai véc tơ ngược hướng nên:

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {180^0} \) \(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \cos {180^0} =  - 1\)