Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

a) \(\small 2x^2-17x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

b) \(\small 5x^2-x-35=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

c) \(\small 8x^2-x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

d) \(\small 25x^2+10x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

Phương pháp giải

Công thức tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small 2x^2-17x+1=0\)

\(\small \Delta =(-17)^2-4.2.1=281\)

\(\small x_1+x_2=\frac{17}{2}\)

\(\small x_1.x_2=\frac{1}{2}\)

Câu b

\(\small 5x^2-x-35=0\)

\(\small \Delta =(-1)^2-4.5.(-35)=701\)

\(\small x_1+x_2=\frac{1}{5}\)

\(\small x_1.x_2=-7\)

Câu c

\(\small 8x^2-x+1=0\)

\(\small \Delta=(-1)^2-4.8.1=-31<0\)

Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.

Câu d

\(\small 25x^2+10x+1=0\)

\(\small \Delta'=5^2-25.1=0\)

\(\small x_1+x_2=-\frac{2}{5}\)

\(\small x_1.x_2=\frac{1}{25}\)

Dùng điều kiện \(a+b+c=0\) hoặc \(a-b+c=0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \(35x^2-37x+2=0\)

b) \(7x^2+500x-507=0\)

c) \(x^2-49x-50=0\)

d) \(4321x^2+21x-4300=0\)

Phương pháp giải

• TH1: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\)
• TH2: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = -1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small 35x^2-37x+2=0\)

vì \(\small 35-37+2=0\) nên:

\(\small x_1=1;x_2=\frac{2}{35}\)

Câu b

\(\small 7x^2+500x-507=0\)

vì \(\small 7+500-507=0\) nên:

\(\small x_1=1;x_2=-\frac{507}{7}\)

Câu c

\(\small x^2-49x-50=0\)

vì \(\small 1-(-49)-50=0\) nên:

\(\small x_1=-1;x_2=50\)

Câu d

\(\small 4321x^2+21x-4300=0\)

vì \(\small 4321-21-4300=0\) nên:

\(\small x_1=-1;x_2=\frac{4300}{4321}\)

Dùng hệ thức Vi - ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình: 

a) \(x^2-7x+12=0\)

b) \(x^2+7x+12=0\)

Phương pháp giải

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small x^2-7x+12=0\)

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=7;x_1.x_2=12\)

\(\small \Rightarrow x_1=3;x_2=4\)

Câu b

\(\small x^2+7x+12=0\)

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=-7;x_1.x_2=12\)

\(\small \Rightarrow x_1=-3;x_2=-4\)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u+v=32,uv=231\)

b) \(u+v=-8,uv=-105\)

c) \(u+v=2,uv=9\)

Phương pháp giải

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện \({S^2} - 4P\ge 0\) ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\).

Sau đó tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) và sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn)  để tìm ra nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

Câu a

u và v là nghiệm của phương trình:

\(\small x^2-32x+231=0\)

\(\small \Delta'=16^2-231.1=25\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=5\)

\(\small \Rightarrow x_1=\frac{16+5}{1}=21;x_2=\frac{16-5}{1}=11\)

Vậy \(\small u=21;v=11\) hoặc \(\small u=11;v=21\)

Câu b

u, v là nghiệm của phương trình:

\(\small x^2+8x-105=0\)

\(\small \Delta'=4^2-1.(-105)=121\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=11\)

\(\small x_1=\frac{-4+11}{1}=7;x_2=\frac{-4-11}{1}=-15\)

Vậy \(\small u=7;v=-15\) hoặc \(\small u=-15;v=7\)

Câu c

u, v là nghiệm của phương trình:

\(\small x^2-2x+9=0\)

\(\small \Delta'=1^2-9.1=-8<0\)

Vậy không có giá trị u, v nào thỏa bài toán

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có)  của mỗi phương trình sau:

a) \(4x^2+2x-5=0\)

b) \(9x^2-12x+4=0\)

c) \(5x^2+x+2=0\)

d) \(159x^2-2x-1=0\)

Phương pháp giải

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small 4x^2+2x-5=0\)

Phương trình trên có hệ số a và c trái dấu nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt!

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)

\(\small x_1.x_2=-\frac{5}{4}\)

Câu b

\(\small 9x^2-12x+4=0\)

\(\small \Delta'=(-6)^2-9.4=0\)

Phương trình có nghiệm kép \(\small x_1=x_2=-\frac{b}{a}\)

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\)

\(\small x_1.x_2=\frac{4}{9}\)

Câu c

\(\small 5x^2+x+2=0\)

\(\small \Delta=1^2-2.4.5=-39<0\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu d

\(\small 159x^2-2x-1=0\)

Phương trình trên có hệ số a và c trái dấu nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt!

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=\frac{2}{159}\)

\(\small x_1.x_2=-\frac{1}{159}\)

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) \(x^2-2x+m=0\)

b) \(x^2+2(m-1)x+m^2=0\)

Phương pháp giải

+) Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\), điều kiện để phương trình có nghiệm là: \(\Delta  \ge 0\,\,\left( {\Delta ' \ge 0} \right)\)

Trong đó \(\Delta  = {b^2} - 4ac;\,\,\Delta ' = b{'^2} - ac;\,b' = \dfrac{b}{2}\)

+) Tính tổng và tích các nghiệm:

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^2-2x+m=0\)

\(\small \Delta'=(-1)^2-m.1=1-m\)

Để phương trình có nghiệm th:

\(\small \Delta'\geq 0\Rightarrow 1-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 1\)

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=2;x_1.x_2=m\)

Câu b

\(\small x^2-2(m-1)x+m^2=0\)

\(\small \Delta'=(m-1)^2-1.m^2=-2m+1\)

Để phương trình có nghiệm thì:

\(\small \Delta'\geq 0\Rightarrow -2m+1\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}\)

\(\small \Rightarrow x_1+x_2=2m-2;x_1.x_2=m^2\)

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(1,5x^2 - 1,6x + 0,1 = 0\)

b) \(\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0\)

c) \((2 - \sqrt{3})x^2 + 2\sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0\)

d) \((m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0\) với \(m \neq 1\)

Phương pháp giải

• TH1: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\)
• TH2: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = -1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\) 

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small 1,5x^2-1,6x+0,1=0\)

Ta có: \(\small a+b+c=1,5-1,6+0,1=0\)

\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{0,1}{1,5}=\frac{1}{15}\)

Câu b

\(\small \sqrt{3}x^2-(1-\sqrt{3})x-1=0\)

Ta có: \(\small a-b+c=\sqrt{3}-\left (-(1-\sqrt{3}) \right )-1=0\)

\(\small \Rightarrow x_1=-1;x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Câu c

\(\small (2-\sqrt{3})x^2+2\sqrt{3}x-(2+\sqrt{3})=0\)

Ta có: \(\small a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=0\)

\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=-7-4\sqrt{3}\)

Câu d

\((m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0\)

Vì \(m \neq 1\) nên đây là phương trình bậc hai

Ta có: \(\small a+b+c=m-1-2m-3+m+4=0\)

\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{m+4}{m-1}\)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau

a) \(u+v=42,\,uv=441\)

b) \(u+v=-42,\,uv=-400\)

c) \(u-v=5,\,uv=24\)

Phương pháp giải

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện \({S^2} - 4P\ge 0\) ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\).

Sau đó tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) để tìm ra nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small \left\{\begin{matrix} u+v=42\\ uv=441 \end{matrix}\right.\)

Vậy u và v là nghiệm của phương trình:

\(\small x^2-42x+441=0\)

\(\small \Delta'=(-21)^2-441.1=0\)

\(\small x_1=x_2=-\frac{-42}{2}=21\)

\(\small \Rightarrow u=v=21\)

Câu b

\(\small \left\{\begin{matrix} u+v=-42\\ uv=-400 \end{matrix}\right.\)

Vậy u và v là nghiệm của phương trình:

\(\small x^2+42x-400=0\)

\(\small \Delta'=21^2+400.1=841\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=29\)

\(\small x_1=\frac{-21+29}{1}=8;x_2=\frac{-21-29}{1}=-50\)

\(\small \Rightarrow u=8;v=-50\) hoặc \(\small u=-50;v=8\)

Câu c

Đặt \(\small \left\{\begin{matrix} u=a\\ -v=b \end{matrix}\right.\) ta có: \(\small \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ ab=-24 \end{matrix}\right.\)

Vậy a và b là nghiệm của phương trình:

\(\small x^2-5x-24=0\)

\(\small \Delta=(-5)^2-4.1.(-24)=121\Rightarrow \sqrt{\Delta}=11\)

\(\small x_1=\frac{5+11}{2}=8;x_2=\frac{5-11}{2}=-3\)

\(\small \Rightarrow a=8;b=-3\) hoặc \(\small a=-3;b=8\)

Hay \(\small \Rightarrow u=8;v=3\) hoặc \(\small u=-3;v=-8\)

Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức  \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:

\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\)

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)

b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Phương pháp giải

• Biến đổi vế phải \(a(x-x_1)(x-x_2)\) và sử dụng hệ thức Vi-ét để đưa về bằng với vế trái \(ax^2+bx+c\).
• Áp dụng: Tìm nghiệm của mỗi phương trình bằng công thức nghiệm rồi thay vào công thức \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).

Hướng dẫn giải

Chúng ta biến đổi vế phải

\(\small a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)+ax_1.x_2\)

\(\small =ax^2-a\left ( -\frac{b}{a} \right )+a.\frac{c}{a}=ax^2+bx+c\)

Vậy phương trình \(\small ax^2+ bx + c = 0\) có nghiệm là \(\small x_1, x_2\) thì:

\(\small ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Áp dụng

Câu a

Phương trình \(\small 2x^2-5x+3=0\) có \(\small 2-5+3=0\)

\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{3}{2}\)

\(\small \Rightarrow 2x^2-5x+3=2(x-1)\left ( x-\frac{3}{2} \right )=(x-1)(2x-3)\)

Câu b

Xét phương trình \(\small 3x^2 + 8x + 2=0\)

\(\small \Delta'=4^2-2.3=10\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{-4 - \sqrt{10}}{3};x_2=\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)

\(\Rightarrow 3x^2+8x+2=3\left ( x+\frac{4 - \sqrt{10}}{3} \right )\left ( x+\frac{4 + \sqrt{10}}{3} \right )\)