Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

b) \(13852x^2 - 14x + 1 = 0\)

c) \(5x^2 - 6x + 1 = 0\)

d) \(-3x^2 + 4\sqrt{6}x + 4 = 0\)

Phương pháp giải

Xét phương trình: \(ax^2+bx+c=0\) (\(a \ne 0\)) với \(b=2b'\) và biệt thức: \(\Delta' =(b')^2-ac.\)

• Nếu \(\Delta' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a};\ x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\)
• Nếu \(\Delta' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(\Delta' =0\) thì phương trình có hai nghiệm kép: \(x_1=x_2=\dfrac{-b'}{a}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

\(\small a=4;b=4;b'=2;c=1\)

\(\small \Delta'=2^2-4.1=0\)

Vậy phương trình có nghiệm kép: \(\small x=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\)

Câu b

\(13852x^2 - 14x + 1 = 0\)

\(\small a=13852;b=-14;b'=-7;c=1\)

\(\small \Delta'=(-14)^2-13852.1<0\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu c

\(5x^2 - 6x + 1 = 0\)

\(\small a=5;b=-6;b'=-3;c=1\)

\(\small \Delta'=(-3)^2-5.1=4\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=2\)

\(\small x_1=\frac{3+2}{5}=1\)

\(\small x_2=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}\)

Câu d

\(-3x^2 + 4\sqrt{6}x + 4 = 0\)

\(\small a=-3;b=4\sqrt{6};b'=2\sqrt{6};c=4\)

\(\small \Delta'=24-4.(-3)=36\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=6\)

\(\small x_1=\frac{-2\sqrt{6}+6}{-3}=\frac{2\sqrt{6}-6}{3}\)

\(\small x_2=\frac{-2\sqrt{6}-6}{-3}=\frac{2\sqrt{6}+6}{3}\)

Đưa các phương trình sau về dạng \(ax^2 + 2b'x + c = 0\) và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) \(3x^2 -2x = x^2 + 3\)

b) \((2x - \sqrt{2})^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)

c) \(3x^2 + 3 = 2(x + 1)\)

d) \(0,5x(x + 1) = (x - 1)^2\)

Phương pháp giải

1) Triển khai đưa hết các số hạng sang vế trái và thu gọn, vế phải bằng \(0\). 

2) Xét phương trình: \(ax^2+bx+c=0\) (\(a \ne 0\)) với \(b=2b'\) và biệt thức: \(\Delta' =b'^2-ac\)

• Nếu \(\Delta' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a};\ x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\)
• Nếu \(\Delta' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(\Delta' =0\) thì phương trình có nghiệm kép: \(x_1=x_2=\dfrac{-b'}{a}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(3x^2 -2x = x^2 + 3\)

\(\small \Leftrightarrow 2x^2-2x-3=0\)

\(\small \Delta'=(-1)^2-2.(-3)=7\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=\sqrt{7}\)

\(\small x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx 1,82\)

\(\small x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0,82\)

Câu b

\((2x - \sqrt{2})^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)

\(\small \Leftrightarrow 4x^2-4x\sqrt{2}+2-1=x^2-1\)

\(\small \Leftrightarrow 3x^2-4x\sqrt{2}+2=0\)

\(\small \Delta'=(-2\sqrt{2})^2-3.2=2\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=\sqrt{2}\)

\(\small x_1=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\approx 1,41\)

\(\small x_2=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0,47\)

Câu c

\(3x^2 + 3 = 2(x + 1)\)

\(\small \Leftrightarrow 3x^2-2x+1=0\)

\(\small \Delta'=(-1)^2-1.3=-2<0\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu d

\(0,5x(x + 1) = (x - 1)^2\)

\(\small \Leftrightarrow 0,5x^2+0,5x=x^2-2x+1\)

\(\small \Leftrightarrow 0,5x^2-2,5x+1=0\)

Với bài này, dùng công thức nghiệm thu gọn không giúp bài toán đơn giản hơn, chúng ta sẽ giải quyết bằng công thức nghiệm delta.

\(\small \Delta=(-2,5)^2-4.1.0,5=4,25\Rightarrow \sqrt{\Delta}=\sqrt{4,25}\)

\(\small x_1=\frac{2,5-\sqrt{4,25}}{1}\approx 0,44\)

\(\small x_2=\frac{2,5+\sqrt{4,25}}{1}\approx 4,56\)

Đố em biết vì sao khi \(a > 0\) và phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm thì\(a{x^2} + bx + c > 0\) với mọi giá trị của \(x \)?

Phương pháp giải

• Sử dụng phương trình vô nghiệm khi \(\Delta < 0\).
• Biến đổi  \(ax^2+bx+c=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\) rồi đánh giá từng hạng tử.

Hướng dẫn giải

Khi \(a > 0\) và phương trình vô nghiệm thì \(\Delta = b{^2} - 4ac<0\).

Do đó: \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\) 

Lại có: 

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c\\ = a\left( {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\end{array}\)

\(=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)}\)

Vì \(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2} \ge 0\)  với mọi \(x \in R\), mọi \(a>0\).

Lại có \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\)  (cmt)

Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó

\(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)} >0\)  với mọi \(x\).

Hay \(a{x^2} + bx + c >0\) với mọi \(x\).

Giải các phương trình:

a) \(25x^2 - 16 = 0\)

b) \(2x^2 + 3 = 0\)

c) \(4,2x^2 + 5,46x = 0\)

d) \(4x^2 - 2\sqrt{3}x = 1 -\sqrt{ 3}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(25x^2 - 16 = 0\)

\(\small \Leftrightarrow x^2=\frac{16}{25}\)

\(\small \Leftrightarrow x=\pm \frac{4}{5}\)

Câu b

\(2x^2 + 3 = 0\)

\(\small \Leftrightarrow x^2=-\frac{3}{2}\)

Phương trình vô nghiệm

Câu c

\(4,2x^2 + 5,46x = 0\)

\(\small \Leftrightarrow x(4,2x+5,46)=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(\small 4,2x=-5,46\)

\(\small \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(\small x=-\frac{5,46}{4,2}=-1,3\)

Câu d

\(4x^2 - 2\sqrt{3}x = 1 -\sqrt{ 3}\)

\(\small \Leftrightarrow 4x^2-2x\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=0\)

\(\small \Delta'=(-\sqrt{3})^2-4(\sqrt{3}-1)=7-4\sqrt{3}\)

\(\small \Rightarrow \sqrt{\Delta'}=2-\sqrt{3}\)

\(\small x_1=\frac{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\small x_2=\frac{\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26):

a) \(x^2 = 12x + 288\)

b) \(\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{12}x=19\)

Phương pháp giải

Bước 1: Thực hiện chuyển các số hạng sang vế trái, vế phải bằng \(0\).

Bước 2: Áp dụng công thức tính nghiệm thu gọn: \(ax^2+bx+c=0\) (\(a \ne 0\)) với \(b=2b'\) và biệt thức: \(\Delta' =b'^2-ac.\)

Nếu \(\Delta' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a};\ x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^2 = 12x + 288\)

\(\small \Leftrightarrow x^2-12x-288=0\)

\(\small \Delta'=(-6)^2-(-288)=324\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=18\)

\(\small x_1=6+18=24\)

\(\small x_2=6-18=-12\)

Câu b

\(\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{12}x=19\)

\(\small \Leftrightarrow x^2+7x-19.12=0\)

\(\small \Leftrightarrow x^2+7x-228=0\)

\(\small \Delta=7^2-4.(-228)=961\Rightarrow \sqrt{\Delta}=31\)

\(\small x_1=\frac{-7+31}{2}=12\)

\(\small x_2=\frac{-7-31}{2}=-19\)

Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

a) \(15x^2 + 4x - 2005 = 0\)

b) \(-\frac{19}{5}x^2 - \sqrt{7}x + 1890 = 0\)      

Phương pháp giải

Xét phương trình: \(a x^2+bx+c=0 \, \, \, (a \neq 0).\)     \((*)\)

Cách 1: Phương trình \((*)\) có \(\Delta ' = b{'^2} - ac > 0\;\;\left( {b = 2b'} \right)\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2: Phương trình \((*)\) có \(ac < 0\) thì phương trình có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu.

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét phương trình

\(15x^2 + 4x - 2005 = 0\)

\(\small a=15;c=-2005\)

\(\small \Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow -ac>0\Leftrightarrow b^2-4ac>0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Câu b

Xét phương trình

\(-\frac{19}{5}x^2 - \sqrt{7}x + 1890 = 0\)

\(\small a=-\frac{19}{5};c=1890\)

\(\small \Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow -ac>0\Leftrightarrow b^2-4ac>0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức: \(\small v = 3t^2 - 30t + 135\)

(t tính bằng phút, v tính bằng km/h)

a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút

b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Phương pháp giải

a) Thay \(t=5\) vào biểu thức của vận tốc \(v\) để tính vận tốc.

b) Cho vận tốc \(v=f(t)=120\) và giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) để tìm thời gian \(t.\)

Dựa vào công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình: \(a x^2 +2b'x+c=0 \, \, (a \neq 0).\)

Có \(\Delta ' = {(b')^2} - ac > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

\(\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}\\ 
{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}
\end{array} \right..\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi \(t = 5\) (phút) thì \(v{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{5^2}-{\rm{ }}30{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}135{\rm{ }} = {\rm{ }}60\) \((km/h).\)  

Câu b

Khi \(v = 120\) \((km/h)\), để tìm \(t\) ta giải phương trình 

\(120{\rm{ }} = {\rm{ }}3{t^2}-{\rm{ }}30t{\rm{ }} + {\rm{ }}135\)

 \(\Leftrightarrow {t^2}-{\rm{ }}10t{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.{\rm{  }}\).

Có \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}1, \, \, {\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }} - 10, \, \, {\rm{ }}b'{\rm{ }} = {\rm{ }} - 5, \, \, {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}5\).

Khi đó: \(\Delta' {\rm{ }} =b'^2-ac= {\rm{ }}{(-5)^2}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}25{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}20>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

Có: \( {\rm{ }}\sqrt {\Delta '}=\sqrt{20}  = {\rm{ }}2\sqrt 5. \) 

\(\Rightarrow {t_1} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}2\sqrt 5 {\rm{ }} \approx {\rm{ }}9,47; \, \, {\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}2\sqrt 5 {\rm{ }} \approx {\rm{ }}0,53.\)

Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên \(0 < t < 10\) nên cả hai giá trị của \(t\) đều thích hợp. Vậy \({t_1} \approx {\rm{ }}9,47\) (phút), \({t_2} \approx {\rm{ }}0,53\) (phút).

Cho phương trình (ẩn x) \(x^2 - 2(m - 1)x + m^2 = 0.\)

a) Tính \(\Delta '\)

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm?

Phương pháp giải

Xét phương trình: \(a x^2 +2b'x+c=0 \, \, \, (a \neq 0).\)

Có \(\Delta'=b'^2-ac.\) 

• Nếu \(\Delta' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}; {x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
• Nếu  \(\Delta' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b'}}{a}.\)
• Nếu  \(\Delta' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^2 - 2(m -1)x + m^2 = 0\)

\(\Delta ' = [-(m - 1)]2 - m^2 = m^2 - 2m + 1 - m^2 = 1 - 2m\)

Câu b

Ta có

\(\Delta ' = 1 - 2m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\small \Delta ' = 1 - 2m>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{2}\)

Phương trình vô nghiệm khi:

\(\small \Delta ' = 1 - 2m<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}\)

Phương trình có nghiệm kép khi:

\(\small \Delta ' = 1 - 2m=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)