Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Ôn tập chương 4: Giới hạn

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với

a) \({u_n} = {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}}\)

b) \({u_n} = {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}}\)

c) \( {u_n} = - 2{n^2} + 3n - 7\)

d) \({u_n} = \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} \)

Phương pháp giải:

a) b) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

c) d) Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & \lim {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}} \cr &= \lim {{{n^3}\left( {2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \right)}} \cr & = \lim {{2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \over {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}}} = + \infty \cr & \text{ Vì }\,\lim \left( {2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \right) = 2\text{ và }\,\lim \left( {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \right) = 0;5n - 1 > 0 \cr} \)

\(\eqalign{b) & \lim {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}} \cr &= \lim {{{n^2}\sqrt {1 - {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over {{n^2}\left( { - 2 + {3 \over {{n^2}}}} \right)}} \cr & = \lim {{\sqrt {1 - {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over { - 2 + {3 \over {{n^2}}}}}\cr &= - {1 \over 2} \cr} \)

\(\eqalign{c) & \lim \left( { - 2{n^2} + 3n - 7} \right) \cr &= \lim {n^2}\left( { - 2 + {3 \over n} - {7 \over {{n^2}}}} \right) = - \infty \cr & \text{Vì }\,\lim {n^2} = + \infty \,\text{ và }\lim \left( { - 2 + {3 \over n} - {7 \over {{n^2}}}} \right) = - 2 < 0 \cr} \)

\(\eqalign{d) & \lim \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} \cr &= \lim {n^3}.\root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} - {7 \over {{n^9}}}} = + \infty \cr & \text{ Vì }\,\lim {n^3} = + \infty \text{ và }\,\lim \root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} - {7 \over {{n^9}}}} = 1 > 0 \cr} \)

Tìm các giới hạn của các dãy số (u­­_n) với:

a) \({u_n} = \sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} \)

b) \({u_n} = {{{4^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {{3.5}^n}}}\)

Phương pháp giải:

a) Nhân chia liên hợp

b) Chia cả tử và mẫu của u_n cho 5ⁿ

Hướng dẫn giải:

\(\eqalign{a) & \lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} } \right) \cr & = \lim \frac{{\left( {\sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} } \right)\left( {\sqrt {3n - 1} + \sqrt {2n - 1} } \right)}}{{\sqrt {3n - 1} + \sqrt {2n - 1} }}\cr &= \lim {{3n - 1 - \left( {2n - 1} \right)} \over {\sqrt {3n - 1} + \sqrt {2n - 1} }}\cr & = \lim {n \over {\sqrt n \left( {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} } \right)}} \cr & = \lim {\sqrt n } .{{1} \over {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} }} = + \infty \cr & \text{ Vì }\,\lim \sqrt n = + \infty \text{ và }\,\lim {{1} \over {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} }} = {{1} \over {\sqrt 3 + \sqrt 2}} > 0 \cr} \)

b) Chia cả tử và mẫu của u_n cho 5ⁿ ta được:

\(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\frac{{{4^n}}}{{{5^n}}} - 1}}{{\frac{{{2^n}}}{{{5^n}}} + 3}}\) \(= \lim {{{{\left( {{4 \over 5}} \right)}^n} - 1} \over {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} + 3}} = - {1 \over 3}\)

Vì \(\lim {\left( {{2 \over 5}} \right)^n} = 0; \lim {\left( {{4 \over 5}} \right)^n} = 0\)

Cho một cấp số nhân (u_n), trong đó:

\(243{u_8} = 32{u_3}\,\text{ với }\,{u_3} \ne 0.\)

a) Tính công bội của cấp số nhân đã cho.

b) Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng \({3^5},\) tính u₁.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức \({u_{n}} = {u_1}{q^{n-1}}\).

b) Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Hướng dẫn giải:

Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu là u₁,công bội q.

Ta có: u₃ = u₁.q² ≠ 0 ⇒ u₁ ≠ 0; q ≠ 0

Theo giả thiết ta có: 243 u₈ = 32.u₃ nên:

243.u₁.q⁷ = 32.u₁.q²

⇔ 243.u₁.q⁷ - 32.u₁.q² = 0

⇔ u₁.q². (243.q⁵ - 32) = 0

⇔ 243.q⁵ - 32 = 0 ( vì u₁ ≠ 0; q ≠ 0 )

\(\Leftrightarrow {q^5} = \frac{{32}}{{243}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^5}\)\( \Leftrightarrow q = \frac{2}{5}\)

b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}.\)

Từ đó, ta có:

\({3^5} = {{{u_1}} \over {1 - {2 \over 3}}}\\\Leftrightarrow {3^5} = \frac{{{u_1}}}{{\frac13}} \) \(\Leftrightarrow {u_1} = {3^5}.\frac{1}{3} = {3^4} = 81\)

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}\)

Hướng dẫn: Với mỗi số nguyên dương k, ta có

\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng: Với mỗi số nguyên dương k, ta có:

\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\({u_n} = \left( {1 - {1 \over 2}} \right) + \left( {{1 \over 2} - {1 \over 3}} \right) + ... + \left( {{1 \over {n - 1}}}-{1 \over n} \right) + \left( {{1 \over n} - {1 \over {n + 1}}} \right) \) \(= 1 - {1 \over {n + 1}}\)

Do đó \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1\)

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} \)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)

Phương pháp giải:

a) Thay x vào hàm số suy ra giới hạn.

b) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} h(x)\):

- Biến đổi \(h(x)=f(x).g(x)\).

- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} g(x)\).

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} h(x)\)

d) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\)

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x).g(x)\)

e) Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2.\)

f) Nhân chia liên hợp.

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)

\(= \root 3 \of {{{32 - 6 + 1} \over {4 + 2 + 2}}} \\= \root 3 \of {{{27} \over 8}} \\= {3 \over 2}\)

\(\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x - 1}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {x\left( {2 - {1 \over x}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \frac{1}{x}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {2 - {1 \over x}}} = - {1 \over 2} \cr} \)

c) Với mọi x < -3, ta có: \({{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} \over {x + 1}}.{1 \over {x + 3}}\)

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {x + 1}} = {{82} \over { - 2}} = - 41 < 0\cr&\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {1 \over {x + 3}} = - \infty \cr &\text { Vì } \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0,x + 3 < 0,\forall x < - 3 \cr & \text{Vậy }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = + \infty \cr} \)

\(\eqalign{d) & \text{ Vì }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty \cr&\text{ và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = \sqrt {{6 \over 2}} = \sqrt 3 > 0 \cr & \text{ Nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = + \infty \cr} \)

e) Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2,\) ta được:

\(\eqalign{ & {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\cr & = \frac{{\left( {\sqrt {8 + 2x} - 2} \right)\left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}\cr &= {{8 + 2x - 4} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr & = {{2\left( {x + 2} \right)} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr &= {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x} + 2}} \ \ \ \forall x > - 2 \cr} \)

Do đó

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 \over 4} = 0\)

\(\eqalign{f) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} + x - 4 - {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 4} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + \left| x \right|\sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} }} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x\left( {1 - {4 \over x}} \right)} \over { - x\left( {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} } \right)}} \cr & = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {4 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} }} \cr &= - {1 \over 2} \cr} \)

Hàm số:

\((f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.\)

Có liên tục trên R không?

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = -2 suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải:

Hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ -2 do khi x ≠ -2 thì hàm số là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên khoảng xác định.

Với x ≠ -2, ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8} \over {4\left( {x + 2} \right)}} \\= {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)}} \) \(= {{{x^2} - 2x + 4} \over 4}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 2x + 4} \over 4} = 3 \)

\(f\left( { - 2} \right)=3=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) \)

Vậy hàm số f liên tục tại x = -2, do đó f liên tục trên R.

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\,\text{ với }\,x < 2} \cr {mx + m + 1\,\text{ với }\,x \ge 2} \cr} } \right.\) liên tục tại điểm x = 2.

Phương pháp giải:

f liên tục tại x = 2 \(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) \cr &= 3m + 1 = f\left( 2 \right) \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x\left( {x - 2} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 1} \over x} = {1 \over 2} \cr} \)

f liên tục tại mọi x ≠ 2. Do đó:

f liên tục trênR ⇔ f liên tục tại x = 2

⇔ \( \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \)

\(\Leftrightarrow 3m + 1 = {1 \over 2} \Leftrightarrow m = - {1 \over 6}\)

Chứng minh rằng phương trình

\({x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2).

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và \(f(a).f(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c∈(a;b)\) sao cho \(f(c)=0\).

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 5x - 6\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right].\)

Ta có: \(f(1) = -3 < 0\) và \(f(2) = 8 > 0\)

Từ đó \(f(1).f(2) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (1 ; 2)\) sao cho f(c) = 0.

Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.

a) \(\lim {{n - 2\sqrt n \sin 2n} \over {2n}}\) là:

A. 1

B. \({1 \over 2}\)

C. -1

D. 0

b) \(\lim {{{n^2} - 3{n^3}} \over {2{n^3} + 5n - 2}}\) là:

A. \({1 \over 2}\)

B. \({1 \over 5}\)

C. \({-3 \over 2}\)

D. 0

c) \(\lim {{{3^n} - 1} \over {{2^n} - {2}.3^n + 1}}\) là:

A. \({-1 \over 2}\)

B. \({3 \over 2}\)

C. \({1 \over 2}\)

D. -1

d) \(\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right)\) là:

A. \(+∞\)

B. \(−∞\)

C. 2

D. -3

Phương pháp giải:

a) Tính \(\mathop {\lim }h(x)\):

- Biến đổi \(h(x)=f(x)-g(x)\).

- Tính \(\mathop {\lim } f(x)\) và \(\mathop {\lim } g(x)\).

⇒ \(\mathop {\lim } h(x)\)

b) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

c) Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ.

d) Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n làm nhân tử chung.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{& \lim {{n - 2\sqrt n \sin 2n} \over {2n}} = \lim \left( {{1 \over 2} - {{\sin 2n} \over {\sqrt n }}} \right) = {1 \over 2} \cr & \text{Vì }\,\left| {{{\sin 2n} \over {\sqrt n }}} \right| \le {1 \over {\sqrt n }},\lim {1 \over {\sqrt n }} = 0. \cr} \)

Chọn B.

b) \(\lim {{{n^2} - 3{n^3}} \over {2{n^3} + 5n - 2}} = \lim {{{1 \over n} - 3} \over {2 + {5 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}}} = - {3 \over 2}.\)

Chọn C.

c) \(\lim {{{3^n} - 1} \over {{2^n} - {{2.3}^n} + 1}} = \lim {{1 - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 2 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}} = - {1 \over 2}\)

Chọn A.

d) \(\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {{2 \over {{n^2}}} - 3} \right) = - \infty \)

Chọn B.

a) \(\lim {{{n^3} - 2n} \over {1 - 3{n^2}}}\) là:

A. \({-1 \over 3}\)

B. \({2 \over 3}\)

C. \( +∞\)

D. \( −∞\)

b) \(\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right)\) là:

A. \(+∞\)

B. 1

C. \(−∞\)

D. \({5 \over 2}\)

c) \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\) là:

A. \(+∞\)

B. \(−∞\)

C. 0

D. 1

d) \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + n} - n}}\) là:

A. \(+∞\)

B. 0

C. 2

D. -2

Phương pháp giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

b) Đặt 5ⁿ làm nhân tử chung và tính giới hạn.

c) d) Nhân lượng liên hợp và tính giới hạn.

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim {{{n^3} - 2n} \over {1 - 3{n^2}}} = \lim {{1 - {2 \over {{n^2}}}} \over {{1 \over {{n^3}}} - {3 \over n}}} = - \infty \)

Chọn D.

b) \(\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} - 1} \right] = - \infty \)

Chọn C.

c) \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \lim {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0\)

Chọn C.

d) \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + n} - n}} = \lim {{\sqrt {{n^2} + n} + n} \over n} \)

\(= \lim \left( {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1} \right) = 2\)

Chọn C.

a) \(\lim {{1 - {2^n}} \over {{3^n} + 1}}\) là:

A. \({-2 \over 3}\)

B. 0

C. 1

D. \({1 \over 2}\)

b) Tổng của cấp số nhân vô hạn \(- {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n}}},...\) là:

A. \({-1 \over 4}\)

B. \({1 \over 2}\)

C. -1

D. \({-1 \over 3}\)

c) Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số:

A. \({6 \over 11}\)

B. \({46 \over 90}\)

C. \({43 \over 90}\)

D. \({47 \over 90}\)

Phương pháp giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ.

b) - Xác định công bội q.

- Sử dụng công thức tính tổng: \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}} \)

c) - Biểu diễn 0,5111… thành tổng của một số với một cấp số nhân lùi vô hạng.

- Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân: \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}} \).

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim {{1 - {2^n}} \over {{3^n} + 1}} = \lim {{{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n}} \over {1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}} = 0\)

Chọn B.

b) Công bội \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {1 \over 4}:\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {1 \over 2}\)

\(S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {{ - {1 \over 2}} \over {1 + {1 \over 2}}} = - {1 \over 3}\)

Chọn D. 

\(\eqalign{c) & 0,5111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + ... \cr & = {1 \over 2} + \left( {{1 \over {100}} + {1 \over {1000}} + ...} \right) = {1 \over 2} + {{{1 \over {100}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = {{46} \over {90}} \cr} \)

Chọn B.

a) Trong bốn giới hạn sau đây giới hạn nào là -1?

A. \(\lim {{2n + 3} \over {2 - 3n}}\)

B. \(\lim {{{n^2} - {n^3}} \over {2{n^3} + 1}}\)

C. \(\lim {{{n^2} + n} \over { - 2n - {n^2}}}\)

D. \(\lim {{{n^3}} \over {{n^2} + 3}}\)

b) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là \(+∞\)?

A. \(\lim {{{n^2} - 3n + 2} \over {{n^2} + n}}\)

B. \(\lim {{{n^3} + 2n - 1} \over {n - 2{n^3}}}\)

C. \(\lim {{2{n^2} - 3n} \over {{n^3} + 3n}}\)

D. \(\lim {{{n^2} - n + 1} \over {2n - 1}}\)

c) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. \(\lim {{{2^n} + 1} \over {{{3.2}^n} - {3^n}}}\)

B. \(\lim {{{2^n} + 3} \over {1 - {2^n}}}\)

C. \(\lim {{1 - {n^3}} \over {{n^2} + 2n}}\)

D. \(\lim {{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}} \over {n - 2{n^3}}}\)

Phương pháp giải:

a) b) Tính các giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

c) Tính các giới hạn bằng cách:

- Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ.

- Chia cả tử và mẫu cho 2ⁿ.

- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n,

Hướng dẫn giải:

\(\eqalign{a) & \lim {{2n + 3} \over {2 - 3n}} = \lim {{2 + {3 \over n}} \over {{2 \over n} - 3}} = - {2 \over 3} \cr & \lim {{{n^2} - {n^3}} \over {2{n^3} + 1}} = \lim {{{1 \over n} - 1} \over {2 + {1 \over {{n^3}}}}} = - {1 \over 2} \cr & \lim {{{n^2} + n} \over { - 2n - {n^2}}} = \lim {{1 + {1 \over n}} \over { - {2 \over n} - 1}}=-1 \cr & \lim {{{n^3}} \over {{n^2} + 3}} = + \infty \cr} \)

Chọn C.

\(\eqalign{b) & \lim {{{n^2} - 3n + 2} \over {{n^2} + n}} = \lim {{1 - {3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over n}}} = 1 \cr & \lim {{{n^3} + 2n - 1} \over {n - 2{n^3}}} = \lim {{1 + {2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \over {{1 \over {{n^2}}} - 2}} = - {1 \over 2} \cr & \lim {{2{n^2} - 3n} \over {{n^3} + 3n}} = \lim {{{2 \over n} - {3 \over {{n^2}}}} \over {1 + {3 \over {{n^2}}}}} = 0 \cr & \lim {{{n^2} - n + 1} \over {2n - 1}} = \lim {{1 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \over {{2 \over n} - {1 \over {{n^2}}}}} = + \infty \cr} \)

Chọn D.

\(\eqalign{c) & \lim {{{2^n} + 1} \over {{{3.2}^n} - {3^n}}} = \lim {{{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {3.{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1}} = 0 \cr & \lim {{{2^n} + 3} \over {1 - {2^n}}} = \lim {{1 + {3 \over {{2^n}}}} \over {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} - 1}} = - 1 \cr & \lim {{1 - {n^3}} \over {{n^2} + 2n}} = - \infty \cr & \lim {{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}} \over {n - 2{n^3}}} = - 1 \cr} \)

Chọn A.

Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + 2}}\) là:

A. 2

B. 1

C. -2

D. \( - {3 \over 2}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{{x^2}} \over {{x^3} - x - 6}}} \) là:

A. \({1 \over 2}\)

B. 2

C. 3

D. \({{\sqrt 2 } \over 2}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{{x^2} + 3x - 4} \over {{x^2} + 4x}}\) là:

A. \({5 \over 4}\)

B. 1

C. \(- {5 \over 4}\)

D. -1

Phương pháp giải:

a) b) Thay x vào hàm số và suy ra giới hạn.

c) Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + 2}} = {{1 - 3} \over { - 1 + 2}} = - 2\)

Chọn C.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{{x^2}} \over {{x^3} - x - 6}}} = \sqrt {{9 \over {27 - 3 - 6}}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \)

Chọn D.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{{x^2} + 3x - 4} \over {{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \over {x\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{x - 1} \over x} = {5 \over 4}\)

Chọn A.

Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} - 3} \over {{x^6} + 5{x^5}}}\) là:

A. 2

B. 0

C. \(- {3 \over 5}\)

D. -3

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3{x^5} + 7{x^3} - 11} \over {{x^5} + {x^4} - 3x}}\) là:

A. 0

B. -3

C. 3

D. \(-∞\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2{x^5} + {x^4} - 3} \over {3{x^2} - 7}}\) là:

A. \(−∞\)

B. -2

C. 0

D. \(+∞\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} - 3} \over {{x^6} + 5{x^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{2 \over {{x^4}}} - {3 \over {{x^6}}}} \over {1 + {5 \over x}}} = 0\)

Chọn B.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3{x^5} + 7{x^3} - 11} \over {{x^5} + {x^4} - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3 + {7 \over {{x^2}}} - {{11} \over {{x^5}}}} \over {1 + {1 \over x} - {3 \over {{x^4}}}}} = - 3\)

Chọn B.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2{x^5} + {x^4} - 3} \over {3{x^2} - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2 + {1 \over x} - {3 \over {{x^5}}}} \over {{3 \over {{x^3}}} - {7 \over {{x^5}}}}} = + \infty \)

Chọn D.

Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\) là:

A. 1

B. -1

C. 0

D. \(+∞\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {1 - x} - 1} \over x}\) là:

A. \({1 \over 2}\)

B. \(-{1 \over 2}\)

C. \(+∞\)

D. 0

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) là:

A. 2

B. -1

C. +∞

D. −∞

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x} \over {{x^2} + 3x + 2}}\) là:

A. 2

B. \({2 \over 3}\)

C. -1

D. 0

Phương pháp giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

b) Nhân cả tử và mẫu cho lượng liên hợp của tử.

c) Tính giới hạn của tử và mẫu ⇒ giới hạn của hàm số.

d) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} }} = 1\)

Chọn A.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {1 - x} - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over {x\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - 1} \over {\sqrt {1 - x} + 1}} = - {1 \over 2}\)

Chọn B.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = + \infty \)

Chọn C.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {x + 2}} = - 1\)

Chọn C.

a) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là -1?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}}\)

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}}\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}}\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}}\)

b) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}}\)

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}}\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}}\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\)

c) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}}\)

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }}\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

a) Tính giới hạn ở từng đáp án bằng cách:

- Chia cả tử và mẫu cao lũy thừa bậc cao nhất của x.

- Phân tích tử thành nhân tử và rút gọn.

b) Tính giới hạn ở từng đáp án bằng cách:

A. Phân tích mẫu thành nhân tử và rút gọn.

B. Thay x vào hàm số và suy ra giới hạn.

C. Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

D. Nhân lượng liên hợp.

c) Tính giới hạn ở từng đáp án bằng cách:

A. Chia cả tử và mẫu cao lũy thừa bậc cao nhất của x

B. Thay x vào hàm số và suy ra giới hạn.

C. Tính giới hạn của tử và mẫu ⇒ giới hạn của hàm số.

D. Tính giới hạn hai dãy \({x_n} = 2n\pi \) và \(x{'_n} = {\pi \over 2} + 2n\pi\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

\(\eqalign{a) & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2 + {1 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \over {{3 \over x} + 1}} = 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} \over {1 - {5 \over x}}} = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x} + {3 \over {{x^3}}}} \over {{5 \over x} - 1}} = - 1 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1} \right) = - \infty \cr} \)

Chọn C.

\(\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {{x^2} + x + 1}} = {1 \over 3} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}} = {1 \over 8} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x + 1} \over {x - 2}} = - 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)

Chọn D

\(\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}} = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }} = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \infty \cr} \)

Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x\) (chọn 2 dãy \({x_n} = 2n\pi \)và \(x{'_n} = {\pi \over 2} + 2n\pi;\;\mathop {\lim }\limits\cos x{'_n} = 0;\;\mathop {\lim }\limits\cos x{_n} = 1\))

Chọn B.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2}} \over x}\,\text{ với }\,x < 1,x \ne 0} \cr {0\,\text{ với }\,x = 0} \cr {\sqrt x \,\text{ với }\,x \ge 1} \cr} } \right.\)

A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0 ; 1]

B. Liên tục tại mọi điểm thuộc R.

C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0

D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính giới hạn của hàm số tại x = 0 và x  = 1.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R

f liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;1} \right)\,và\,\left( {1; + \infty } \right)\)

Tại x = 0 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 \right)\)

Suy ra f liên tục tại x = 0

Tại x = 1

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2}} \over x} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 \right)\)

Vậy f liên tục tại x = 1 nên f liên tục tại mọi điểm thuộc R.

Chọn B.