Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 8: Hàm số liên tục

Chứng minh rằng:

a) Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\) liên tục tại điểm x = 2.

c) Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\) gián đoạn tại điểm x = 1.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí: Hàm đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên tập xác định.

b) Hàm số y = f(x) liên tục tại \(x_0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

c) Hàm số y = f(x) gián đoạn tại \(x_0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên R. Với mọi \(x_0\in R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) \) \(= x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại điểm x₀. Do đó hàm số f liên tục trên R.

Hàm số g là hàm phân thức xác định trên R (do \(x^2+1\ne 0, \forall x\)) nên g liên tục trên tập xác định D = R.

b) Với mọi x ≠ 2, ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2.

c) Với mọi x ≠ 1, ta có:

\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1.

Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên R.

b) Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1).

c) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2].

d) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải:

a)- Chứng minh hàm số xác định trên R.

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) với \(f(x_0)\) và kết luận.

b) - Chứng minh hàm số xác định trên (-1 ; 1).

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) với \(f(x_0)\) và kết luận.

b) - Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2; 2).

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) \) với \(f(-2)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) \) với \(f(2)\) và kết luận.

c) - Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right)\) với \(f(\frac12)\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên R.

Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}f(x) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) \) \(= x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên R.

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi \(x_0 \in (-1;1)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} \) \(= {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng (-1 ; 1)

c) ĐKXĐ: \(8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2).

Ngoài ra, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\) nên hàm số liên tục phải tại x = -2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x = 2.

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} \) \(= \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Nên hàm số liên tục phải tại \(\dfrac12\).

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right).\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:

a) \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\)

b) \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định.

b) - Tìm điều kiện xác định của hàm số.

- Tính và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \) với \(f(x_0)\).

- Tính và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) với \(f(1)\).

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số f là \(\mathbb R \backslash \left\{ {{1 \over 2}} \right\}.\)

Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\)

Do đó tập xác định của hàm số f là \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\),ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) \) \(= \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\)

Ngoài ra

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right)= 1 = f\left( 1 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x = 1.

Do đó hàm số f liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Chứng minh rằng phương trình: \({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; π).

Phương pháp giải:

Chứng minh f(0).f(1) < 0 ⇒ đpcm.

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\ f\left( \pi \right) = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\ = {\pi ^2}.\left( { - 1} \right) + \pi .0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0 \end{array}\)

Vì f(0).f(1) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0 ; π)\) sao cho f(c) = 0.

Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm (số c) trong khoảng \((0;\pi)\).