Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 2: Dãy số

Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

a) \(u_n =\frac{n}{2^{n}-1}\)

 b) \(u_n =\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)

c) \(u_n =(1+\frac{1}{n})^{n}\)

d) \(u_n =\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)

Phương pháp giải

Muốn viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4;5\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1 = 1;\)\(u_2 = \frac{2}{2^2-1}=\frac{2}{3}, u_{3}=\frac{3}{2^3-1}=\frac{3}{7};\)

\(u_{4}=\frac{4}{2^4-1}=\frac{4}{15};u_{5}= \frac{5}{2^5-1}=\frac{5}{31}\)

Câu b

Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_{1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3},u_{2}=\frac{2^2-1}{2^2+1}=\frac{3}{5};\)

\(u_{3}=\frac{2^3-1}{2^3+1}=\frac{7}{9}; u_{4}=\frac{2^4-1}{2^4+1}=\frac{15}{17};u_{5}= \frac{2^5-1}{2^5+1}=\frac{31}{33}\)

Câu c

 Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_1 = (1+1)^1= 2; u_{2}=\left ( 1+\frac{1}{2} \right )^2=\frac{9}{4} ;u_{3}=\left ( 1+\frac{1}{3} \right )^3=\frac{64}{27};\) \(u_{4}=\left ( 1+\frac{1}{4} \right )^4=\frac{625}{256}; u_{5}=\left ( 1+\frac{1}{5} \right )^5=\frac{7776}{3125}\)

Câu d

Năm số hạng đầu của dãy số là 

 \(u_{1}=\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}};u_{2}= \frac{2}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}};\)

\(u_{3}=\frac{3}{\sqrt{2^3+1}}=1;u_{4}= \frac{4}{\sqrt{2^4+1}}= \frac{4}{\sqrt{17}};u_{5}=\frac{5}{\sqrt{2^5+1}}=\frac{5}{\sqrt{33}}\)

Cho dãy số \(U_n\), biết \(u_1 = -1; u_n+1 = u_n +3\) với \(n \geq 1\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4\)

Phương pháp giải

a) Công thức đã cho có thể hiểu là số hạng sau bằng số hạng trước cộng với \(3\).

b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(u_1 =-1\).

\({u_2} = u_1 + 3= - 1 + 3 = 2\).

\({u_3} = u_2 + 3= 2 + 3 = 5\).

\({u_4} = u_3 + 3= 5 + 3 = 8\).

\({u_5} = u_4 + 3= 8 + 3 = 11\).

Năm số hạng đầu của dãy số là: \(u_1=-1; u_2= 2; u_3= 5;\) \( u_4= 8; u_5= 11\)

Câu b

Chứng minh \(u_n  = 3n - 4\) bằng phương pháp quy nạp:

Với \(n =1\) thì \(u_1= 3.1 - 4 = -1\), đúng.

Giả sử hệ thức đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \(u_k= 3k -4\).

Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = 3\left( {k + 1} \right) - 4 \).

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

\(u_{k+1}= u_k+ 3 = 3k - 4 + 3 \) \(=(3k+3) - 4= 3(k + 1) -4\)

Do đó đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy hệ thức đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) tức là công thức đã được chứng minh.

Dãy số un cho bởi: \(u_1 = 3; u_n+1 = \sqrt{1+u^{2}_{n}}, n\geq 1\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Phương pháp giải

a) Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4\).

b) Dựa vào các giá trị \(u_1;u_2;u_3;u_4;u_5\) dự đoán công thức tổng \(u_n\).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\( u_2 = \sqrt {1 + u_1^2} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}\)

\(u_3= \sqrt {1 + u_2^2}= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}\)

\(u_4= \sqrt {1 + u_3^2}= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}\)

\(u_5= \sqrt {1 + u_4^2}= \sqrt{1+(\sqrt{12})^2} = \sqrt{13}\)

Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11};\) \( u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}\)

Câu b: Ta có

\(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}\)

\( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}\)

\(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}\)

\(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}\)

\(u_5= \sqrt{13} = \sqrt{5 + 8}\)

...........

Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{n + 8}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\)   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có  \(u_k = \sqrt{k + 8}\) với \(k ≥ 1\), ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}\)

Theo công thức dãy số, ta có:

\(u_{k+1}=  \sqrt{1+u^{2}_{k}}\) \(=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}\)

\( = \sqrt {1 + k + 8} \) \(=\sqrt{(k+1)+8}\).

Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:

a) \(u_n=\frac{1}{n}-2\)

b) \(u_n =\frac{n-1}{n+1}\)

c) \(u_n = (-1)^n(2^n + 1)\)

d) \(u_n =\frac{2n+1}{5n+2}\)

Phương pháp giải

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

• Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.
• Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}

Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

• Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.
• Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có \(U_{n+1}-U_n= \left ( \frac{1}{n+1}-2 \right )-\left ( \frac{1}{n}-2 \right )= \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\)

\(=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}.\)

\(=-\frac{1}{n(n+1)}< 0\Leftrightarrow U_{n+1}\)

⇒ dãy số đã cho giảm.

Câu b

\(U_{n+1}-U_n= \frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)

\(\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+n-(n^2+n-2)}{(n+1)(n+2)}\)

\(=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\Leftrightarrow U_{n+1}>U_n\)

⇒ dãy số đã cho tăng.

Câu c

Khi \(n=2k, k\geq 1\) thì \(U_n=U_{2k}=2^{2k+1} \ (1)\)

Khi \(n=2k+1, k\geq 0\) thì \(U_n=U_{2k+1}=-(2^{2k+1}+1) \ (2)\)

Từ (1) và (2) ⇒ dãy số đã cho không tăng và không giảm (dãy đan dấu)

Câu d

\(U_{n+1}-U_n=\frac{2n+3}{5n+7}-\frac{2n+1}{5n+2}\)

\(=\frac{(2n+3)(5n+2)-(2n+1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}\)

\(=\frac{10n^2+19n+6-(10n^2+19n+7)}{(5n+7)(5n+2)}=-\frac{1}{(5n+7)(5n+2)}<0\)

\( \Leftrightarrow {U_{n + 1}} < {U_n}\)

⇒ dãy số đã cho giảm

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) \(u_n = 2n^2 -1\)

b) \(u_n =\frac{1}{n(n+2)}\)

c) \(u_n =\frac{1}{2n^{2}-1}\)

d) \(u_n = sinn + cosn\)

Phương pháp giải

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới  nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in N^*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có \(U_n=2n^2-1\geq 1\Rightarrow (U_n)\) bị chặn dưới (không bị chặn trên).

Câu b

Ta có \(U_n=\frac{1}{n(n+2)}\leq \frac{1}{3}\) và \(U_n=\frac{1}{n(n+2)} >0\)

Như vậy \(0 < {U_n} \le \frac{1}{3}\) \(\Rightarrow (U_n)\) bị chặn.

Câu c

Ta có \(U_n=\frac{1}{2n^2-1}\leq 1\) và \(U_n=\frac{1}{2n^2-1} >0\)

Như vậy \(0< U_n\leq 1\Rightarrow (U_n)\) bị chặn.

Câu d

Ta có: \(-\sqrt{2}\leq sin u+cosu\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq U_n\leq \sqrt{2}\Rightarrow (U_n)\) bị chặn.