Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương 5: Thống kê

Nêu rõ cách tính của: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.

Để tính được các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn, trước hết ta cần lập bảng phân bố (tần số, tần suất, tần số ghép lớp hoặc tần suất ghép lớp).

- Đối với bảng phân bố tần số:

• Số trung bình cộng:

\(\overline x ={1 \over n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}) \)

• Phương sai:

\({s^2} = \dfrac{1}{N}.\left( {{n_1}.{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}.{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + {n_3}.{{\left( {{x_3} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}.{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right)\)

• Độ lệch chuẩn

Bước 1: Tính phương sai : \(S^2\)

Bước 2: Căn bậc hai của \(S^2\). Đó là độ lệch chuẩn

- Đối với bảng phân bố tần suất:

• Số trung bình cộng:

\(\overline x  = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + ... + {f_k}{x_k}\)

• Phương sai:

\({s^2} = {f_1}.{\left( {{x_1} - \overline x } \right)^2} + {n_2}.{\left( {{x_2} - \overline x } \right)^2} + {f_3}.{\left( {{x_3} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}.{\left( {{x_k} - \overline x } \right)^2}\)

• Độ lệch chuẩn

Bước 1: Tính phương sai : \(S^2\)

Bước 2: Căn bậc hai của \(S^2\). Đó là độ lệch chuẩn

- Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp:

• Số trung bình cộng:

\( \overline x= {1 \over n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{x_k}) \)

• Phương sai:

\({s^2} = \frac{1}{N}.\left( {{n_1}.{{\left( {{c_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}.{{\left( {{c_2} - \bar x} \right)}^2} + {n_3}.{{\left( {{c_3} - \bar x} \right)}^2} + ... + {n_k}.{{\left( {{c_k} - \bar x} \right)}^2}} \right)\)

• Độ lệch chuẩn

Bước 1: Tính phương sai : \(S^2\)

Bước 2: Căn bậc hai của \(S^2\). Đó là độ lệch chuẩn

- Đối với bảng phân bố tần suất ghép lớp:

• Số trung bình cộng:

\( \overline x = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\)

• Phương sai:

\({s^2} = {f_1}.{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {n_2}.{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + {f_3}.{\left( {{c_3} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}.{\left( {{c_k} - \overline x } \right)^2}\)

• Độ lệch chuẩn

Bước 1: Tính phương sai : \(S^2\)

Bước 2: Căn bậc hai của \(S^2\). Đó là độ lệch chuẩn

Trong tất cả các trường hợp

\(n\) là số các số liệu thống kê

\(n_i\) là tần số của giá trị \(x_i\)

\(c_i\) là giá trị trung tâm của lớp ghép

\(f_i\) là tần suất của giá trị \(x_i\), của giá trị trung tâm \(c_i\)

Câu b:

Số trung vị

Bước 1: Sắp thứ tự các số liệu thống kế thành dãy không giảm

Bước 2: Số đứng giữa của dãy này là số trung vị \(M_e\)

(Nếu trong dãy này có hai số đứng giữa thì số trung vị là trung bình cộng của hai số đứng giữa này).

Câu c:

Mốt: Đó là giá trị có tần số lớn nhất.

Cho dãy số liệu thống kế được ghi trong bảng sau:

Mức lương hàng năm của các cán bộ và nhân viên trong một công ty (đơn vị nghìn đồng)

a) Tìm mức lương trung bình của các cán bộ và nhân viên công ty, số trung bình của dãy số liệu.

b) Nêu ý nghĩa của số trung vị.

Câu a:

Mức lương bình quân của nhân viên công ty là số trung bình của bảng lương.

\(={1 \over {12}}(29010 + 76000 + 20350.... \)\(+ 20960 + 125000)= 34087,5\) nghìn đồng

Câu b:

Số trung vị \(M_e= {{20960 + 21130} \over 2} = 21045\) (nghìn đồng)

Ý nghĩa: Số trung vị đại diện cho mức lương trung bình của nhân viên (vì trong trường hợp này chênh lệch giữa các số liệu quá lớn nên không thể lấy mức lương bình quân làm giá trị đại diện).

Cho bảng phân bố tần số.

Tiền thưởng (triệu đồng) cho các bộ và nhân viên trong một công ty.

Mốt của bảng phân bố đã cho là:

(A) Số 2

(B) Số 6

(C) Số 3

(D) Số 5

Hướng dẫn giải

Vì số tiền thưởng 3 triệu có tần số là 15 lớn nhất nên Mốt là 3 triệu đồng.

(C) đúng.

Cho bảng phân bố tần số:

Tuổi của \(169\) đoàn viên thanh niên

Số trung vị của bảng phân phối đã cho là:

(A) Số \(18\)

(B) Số \(20\)

(C) Số \(19\)

(D) Số \(21\)

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các tuổi trên thành dãy không giảm :

18, 18, …, 18, 19, 19, …., 19, 20, 20, …, 20, 21, 21, …., 21, 22, 22, …, 22.

Dãy trên có 169 số nên số trung vị là số thứ 85 trong dãy trên.

Số thứ 85 trong dãy là 20.

Chọn B.

Cho dãy số liệu thống kê \(21; 23; 24; 25; 22; 20\)

Số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho bằng:

(A) \(23,5\)

(B) \(22\)

(C) \(22,5\)

(D) \(14\)

Hướng dẫn giải

Số trung bình:

\({1 \over 6}(21 + 23 + 24 + 25 + 22 + 20) \)\(= 22,5\)

(C) đúng.

Cho bảng thống kê: \(1,\,   2, \,  3,  \, 4, \,  5,\,   6,   \,7.\) Phương sai của các số liệu thống kê đã cho là:

(A) \(1\)                       (B) \(2\)

(C) \(3\)                       (D) \(4\)

Hướng dẫn giải

• Số trung bình \({1 \over 7}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 4\)
• Phương sai:

\({1 \over 7}{\rm{[}}{(1 - 4)^2} + {(2 - 4)^2} + {(3 - 4)^2} \)\(+ {(4 - 4)^2} + {(5 - 4)^{^2}} + {(6 - 4)^2} \)\(+ {(7 - 4)^2}{\rm{]}} = 4\)

Chọn (D)

Ba nhóm học sinh gồm \(10 \)người, \(15\) người, \(25\) người. Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là : \(50kg,\, 38kg, \, 40kg.\) Khối lượng trung bình của ba nhóm học sinh là:

(A) \(41,4kg\)

(B) \(42,4 kg\)

(C) \(26 kg\)

(D) \(37 kg\)

Hướng dẫn giải

Khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh: \(\frac{{50.10 + 38.15 + 40.25}}{{10 + 15 + 25}} = 41,4\) (kg)

Chọn (A)