Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương 3: Phương trình, hệ phương trình

Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương? Cho ví dụ.

Hướng dẫn giải:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng một tập nghiệm.

Ví dụ hai phương trình:

x² - 3x + 2 = 0 và (x - 1)(x - 2)(x² + x + 1) = 0

là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là {1, 2}

Thế nào là phương trình hệ quả? Cho ví dụ

Hướng dẫn giải:

Phương trình f₁(x) = g₁(x) (1) là phương trình hệ quả của phương trình f₂(x) = g₂(x) (2) nếu tập nghiệm của phương trình (2) là tập con của tập nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ: (2x+1)(3-x) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình 2x+1 = 0

Giải các phương trình

a) \(\sqrt {x - 5}  + x = \sqrt {x - 5}  + 6\)

b) \(\sqrt {1 - x}  + x = \sqrt {x - 1}  + 2\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{8}{{\sqrt {x - 2} }}\)

d) \(3 + \sqrt {2 - x}  = 4{x^2} - x + \sqrt {x - 3} \)

Phương pháp giải:

+) Tìm TXĐ của phương trình.

+) Biến đổi và giải phương trình.

+) Đối chiếu với TXĐ và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(\sqrt {x - 5}  + x = \sqrt {x - 5}  + 6\)

\(\sqrt {x - 5}  + x = \sqrt {x - 5}  + 6\)  (1)

Tập xác định: \(D = {\rm{[}}5; + \infty ),\,\)khi đó: \((1) \Leftrightarrow x = 6\) thoả mãn D.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Câu b: Giải phương trình \(\sqrt {1 - x}  + x = \sqrt {x - 1}  + 2\)

Tập xác định: D = (1)

Với \(x = 1 \Rightarrow \sqrt {1 - 1}  + 1 = \sqrt {1 - 1}  + 2\) vô lý

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu c: Giải phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{8}{{\sqrt {x - 2} }}\)

Tập xác định: \(D = (2; + \infty )\)

Khi đó \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{8}{{\sqrt {x - 2} }} \Leftrightarrow {x^2} = 8 \Leftrightarrow x =  \pm 2\sqrt 2 \)

Kết hợp điều kiện, suy ra \(x = 2\sqrt 2 \) là nghiệm

Câu d: Giải phương trình \(3 + \sqrt {2 - x}  = 4{x^2} - x + \sqrt {x - 3} \)

Phương trình xác định khi: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\)  vô lý

Vậy phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình
a) \(\frac{{3x + 4}}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}} + 3\)
b) \(\frac{{3{x^2} - 2x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{3x - 5}}{2}\)
c) \(\sqrt {{x^2} - 4}  = x - 1\)

Phương pháp giải:

+) Tìm TXĐ của phương trình.

+) Biến đổi và giải phương trình.

+) Đối chiếu với TXĐ và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(\frac{{3x + 4}}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}} + 3\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} \pm 2\} ,\) khi đó:

\(\frac{{3x + 4}}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}} + 3\)

\( \Leftrightarrow (3x + 4)(x + 2) - (x - 2) = 4 + 3({x^2} - 4)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 10x + 8 - x + 2 = 4 + 3{x^2} - 12\)

\( \Leftrightarrow 9x =  - 18 \Leftrightarrow x =  - 2\) (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu b: Giải phương trình \(\frac{{3{x^2} - 2x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{3x - 5}}{2}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\) khi đó:

\(\frac{{3{x^2} - 2x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{3x - 5}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 4x - 6 = (2x - 1)(3x - 5)\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 4x - 6 = 6{x^2} - 13x + 5\)

\( \Leftrightarrow 9x = 11 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{9}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{11}}{9}\)

Câu c: Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4}  = x - 1\)

Tập xác định \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \,\,\,|x|\,\,\, \ge \,\,\,2\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 2\end{array} \right.\)

Hay tập xác định \(D = ( - \infty ; - 2] \cup {\rm{[}}2; + \infty )\). Khi đó:

Nếu \(x \le  - 2\) thì \(x - 1 < 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.

Nếu \(x \ge 2,\) lúc đó:

\(\sqrt {{x^2} - 4}  = x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = {(x - 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2x = 5\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) là nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{5}{2}\)

Giải các hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 9\\4x + 2y = 11\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 12\\5x - 2y = 7\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 15\\4x - 5y = 6\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 9\\4x + 2y = 11\end{array} \right.\)

Ta có:  \(D = \left| \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|\,\, =  - 24 \ne 0\)

\(Dx = \left| \begin{array}{l}9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right| = 9.2 - 11.5 =  - 37\)

\(Dy = \left| \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,11\end{array} \right| =  - 2.11 - 4.9 =  - 58\)

\( \Rightarrow \) hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{Dx}}{D} = \frac{{ - 37}}{{ - 24}} = \frac{{37}}{{24}}\\y = \frac{{Dy}}{D} = \frac{{ - 58}}{{ - 24}} = \frac{{29}}{{12}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{24}}\\y = \frac{{29}}{{12}}\end{array} \right.\)

Câu b: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 12\\5x - 2y = 7\end{array} \right.\)

Ta có: \[D = \left| \begin{array}{l}3\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\\5\,\,\,\,\, - 2\end{array} \right|\,\, = 3.( - 2) - 5.4 =  - 26 \ne 0\]

\(Dx = \left| \begin{array}{l}12\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\\7\,\,\,\,\,\,\,\, - 2\end{array} \right|\,\, =  - 2.12 - 7.4 =  - 52\)

\(Dy = \left| \begin{array}{l}3\,\,\,\,\,\,\,\,\,12\\5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7\end{array} \right|\,\, = 3.7 - 5.12 =  - 39\)

\( \Rightarrow \) hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{Dx}}{D} = \frac{{ - 52}}{{ - 26}} = 2\\y = \frac{{Dy}}{D} = \frac{{ - 39}}{{ - 26}} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Câu c: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Ta có: \[D = \left| \begin{array}{l}2\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|\,\, = 2.2 - 3.( - 3) = 13\]

\(Dx = \left| \begin{array}{l}5\,\,\,\,\, - 3\\8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|\,\, = 2.5 - 8.( - 3) = 34\)

\(Dy = \left| \begin{array}{l}2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8\end{array} \right|\,\, = 2.8 - 3.5 = 1\)

\( \Rightarrow \) hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{Dx}}{D} = \frac{{34}}{{13}}\\y = \frac{{Dy}}{D} = \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{34}}{{13}}\\y = \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\)

Câu d: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 15\\4x - 5y = 6\end{array} \right.\)

Ta có: \[D = \left| \begin{array}{l}5\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\4\,\,\,\,\, - 5\end{array} \right|\,\, = 5.( - 5) - 4.3 =  - 37 \ne 0\]

\(Dx = \left| \begin{array}{l}15\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\6\,\,\,\,\,\,\,\, - 5\end{array} \right|\,\, =  - 5.16 - 6.3 =  - 93\)

\(Dy = \left| \begin{array}{l}5\,\,\,\,\,\,\,\,\,15\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\end{array} \right|\,\, = 5.6 - 4.15 =  - 30\)

\( \Rightarrow \) hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{Dx}}{D} = \frac{{ - 93}}{{ - 37}} = \frac{{93}}{{37}}\\y = \frac{{Dy}}{D} = \frac{{ - 30}}{{ - 37}} = \frac{{30}}{{37}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{93}}{{37}}\\y = \frac{{30}}{{37}}\end{array} \right.\)

Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được \(\frac{5}{9}\) bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ thì chỉ còn lại \(\frac{1}{{18}}\) bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường?

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập hệ phương trình.

+) Giải hệ phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y lần lượt là số giờ mà người thứ nhất, người thứ hai mỗi người sơn xong bức tường (x > 11; y > 8, x, y tính bằng giờ)

Sau 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc

Sau 1 giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Suy ra: Sau 7 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{7}{x}\) công việc

Sau 4 giờ người thứ hai làm được \(\frac{4}{y}\) công việc

Theo bài ta được: \(\frac{7}{x} + \frac{4}{y} = \frac{5}{9}\,\,(1)\)

Mặt khác: sau khi làm được\(\frac{5}{9}\) công việc, họ cùng làm thêm 4 giờ.

Người thứ nhất đã là được \(\frac{{11}}{x}\) công việc

Người thứ hai đã làm được \(\frac{8}{y}\) công việc

Theo bài ra: \(\frac{{11}}{x} + \frac{8}{y} = \frac{{17}}{{18}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

 \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{x} + \frac{4}{y} = \frac{5}{9}\,\,\\\frac{{11}}{x} + \frac{8}{y} = \frac{{17}}{{18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{14}}{x} + \frac{8}{y} = \frac{{10}}{9}\,\,\,\,\,(3)\\\frac{{11}}{x} + \frac{8}{y} = \frac{{17}}{{18}}\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Trừ (3) cho (4) vế với vế ta được

\(\frac{3}{x} = \frac{3}{{18}} \Leftrightarrow x = 18 \Rightarrow y = 24\)

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z =  - 7\\ - 4x + 5y + 3z = 6\\x + 2y - 2z = 5\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 2z = 1\\ - 2x + 3y + z =  - 6\\3x + 8y - z = 12\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng máy tính để giải hệ phương trình hoặc biến đổi, giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

 Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z =  - 7\\ - 4x + 5y + 3z = 6\\x + 2y - 2z = 5\end{array} \right.\)

Ta đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z =  - 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - 4x + 5y + 3z = 6\,\,\,\,\,(2)\\x + 2y - 2z = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân vào hai vế của (1) với 3 rồi trừ vế cho vế vào phương trình (2).

Nhân vào hai vế của (1) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (3) ta được:

\((1)\,\,(2)\,\,(3)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x - 14y =  - 27\\5x - 4y =  - 9\\x + 2y - 2z = 5\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x - 14y =  - 27\,\,\,\,\,\,\,(1')\\10x - 8y =  - 18\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2')\\x + 2y - 2z = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3')\end{array} \right.\)

Lấy phương trình (1’) trừ (2’) vế với vế ta được:

\((1')\,\,(2')\,\,(3')\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6y =  - 9\\10x - 8y =  - 18\\x + 2y - 2z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2}\\x =  - \frac{3}{5}\\z =  - \frac{{13}}{{10}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{5}\\y = \frac{3}{2}\\z =  - \frac{{13}}{{10}}\end{array} \right.\)

Câu b: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 2z = 1\\ - 2x + 3y + z =  - 6\\3x + 8y - z = 12\end{array} \right.\)

Ta đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 2z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\ - 2x + 3y + z =  - 6\,\,\,\,\,(5)\\3x + 8y - z = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.\)

Lấy (5) cộng với (6) vế với vế, lấy (2) nhân với 2 cả 2 vế rồi cộng với (1) vế với vế ta có:

\((4)\,(5)(6) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11y = 6\\ - 3x - 10y =  - 11\\3x + 8y - z = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 33y = 18\\ - 3x + 10y =  - 11\\z = 3x + 8y - 12\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}43 = 7\\x = 6 - 11y\\z = 3x + 8y - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{7}{{43}}\\x = \frac{{181}}{{43}}\\z = \frac{{83}}{{43}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{181}}{{43}}\\y = \frac{7}{{43}}\\z = \frac{{83}}{{43}}\end{array} \right.\)

Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diện các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập hệ phương trình.

+) Giải hệ phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Gọi ba phân số cần tìm là: \(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\,(x,y,z\, > 0;\,\,x,y,z \in Z)\)

Theo bài ra: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\,\,(1)\)

Do hiệu phân số thứ nhất và thứ hai bằng phân số thứ ba nên:

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{z}\,\,(2)\)

Tổng phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba nên

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{z}\,\,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{5}{z} = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x} = 1\\\frac{2}{x} - \frac{6}{z} = 0\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{5}{z} = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 6\end{array} \right.\)

Vậy ba phân số cần tìm là: \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\)

Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi hết hạn phân xưởng đó làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm.

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diện các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

 Hướng dẫn giải:

Gọi x là số sản phẩm trong một ngày phân xưởng giao (\(x > 0, x \in \mathbb{N}\), x tính bằng sản phẩm)

Y là số ngày phân xưởng được giao (y > 1, y tính bằng ngày)

Khi tăng năng suất, mỗi ngày phân xưởng sản xuất được x + 9 (sản phẩm)

Theo bài ra:

\((x + 9)(y - 1) = \frac{{360.105}}{{100}} \Leftrightarrow (x + y)(y - 1) = 378\,\,(1)\)

Mặt khác: \(x . y = 360\,\,(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 360\\(x + 9)(y - 1) = 378\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 360\\xy - x + 9y - 9 = 378\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 360\\x = 9y - 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(9y - 27)y = 360\\x = 9y - 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 8\\y =  - 5\,\,(loai)\end{array} \right.\\x = 45\end{array} \right.\)

Vẫn tiếp tục làm việc với năng suất mỗi ngày thêm 9 sản phẩm thì hết hạn phân xưởng đó làm được là: (45 + 9). 8= 432 (sản phẩm)

Vậy phân xưởng làm được 432 (sản phẩm)

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi

a) \(5{x^2} - 3x - 7 = 0\)

b) \(3{x^2} + 4x + 1 = 0\)

c) \(0,2{x^2} + 1,2x - 1 = 0\)

d) \(\sqrt 2 {x^2} + 5x + \sqrt 8  = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải phương trình \(5{x^2} - 3x - 7 = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {( - 3)^2} - 4.5.( - 7) = 149 > 0\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm: \({x_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt {149} }}{{10}}\)

Câu b: Giải phương trình \(3{x^2} + 4x + 1 = 0\)

Do a – b + c = 3 – 4 + 1 = 0

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm: \(x =  - 1;x =  - \frac{1}{3}\)

Câu c: Giải phương trình \(0,2{x^2} + 1,2x - 1 = 0\)

\(0,2{x^2} + 1,2x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 5 = 0\)

Có \(\Delta ' = 9 + 5 = 14 > 0\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm: \({x_{1,2}} =  - 3 \pm \sqrt {14} \)

Câu d: Giải phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + 5x + \sqrt 8  = 0\)

\(\sqrt 2 {x^2} + 5x + \sqrt 8  = 0\)

Có \(\Delta  = {5^2} - 4.\sqrt 2 .\sqrt 8  = 9\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{ - 5 + 3}}{{2\sqrt 2 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{ - 5 - 3}}{{2\sqrt 2 }} =  - 2\sqrt 2 \)

Giải các phương trình:

a) \(|4x - 9|\,\, = \,\,3 - 2x\)

b) \(|2x + 1|\,\, = \,\,|3x + 5|\)

Phương pháp giải:

Dạng 1: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge  0\\{f^2}\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right..\)

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình \(|4x - 9|\,\, = \,\,3 - 2x\)

Điều kiện: \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}.\)

Ta có: \(|4x - 9| = 3 - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 9 = 3 - 2x\\4x - 9 = 2x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{2} = 2\,\,\,(loai)\\x = \frac{6}{2} = 3\,\,\,(loai)\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \emptyset \)

Câu b: Giải phương trình \(|2x + 1|\,\, = \,\,|3x + 5|\)

Ta có: \(|2x + 1|\,\, = \,\,|3x + 5|\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3x + 5\\2x + 1 =  - 3x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x =  - \frac{6}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 4; - \frac{6}{5}} \right\}\)

Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp.

a) Chu vi là 94,4m và diện tích là \(494,55{m^2}\)

b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089 \({m^2}\)

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhất lần lượt là \(x\) và \(y \,\,\,(m, x> y > 0)\)

Câu a: Tính hai cạnh một mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi là 94,4m và diện tích là \(494,55{m^2}\)

Vì chu vi của hình chữ nhật là 94,4 m nên ta có phương trình \((x+y).2=94,4\Rightarrow x+y=47,2\)

Vì diện tích khu vườn là \(494,55 m^2\) nên ta có \(x.y=494,55\)

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x+y=47,2 \\ & xy=494,55 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y=47,2-x \\ & x\left( 47,2-x \right)=494,55 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y=47,2-x \\ & {{x}^{2}}-47,2x+494,55=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x=31,5 \\ & y=15,7 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & x=15,7 \\ & y=31,5 \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( \text{loại, vì }\,\,x>y \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Vậy chiều dài là 31,5 m và chiều rộng là 15,7m

Câu b: Tính hai cạnh một mảnh vườn hình chữ nhật biết hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089 \({m^2}\)

Theo đề bài ta có hệ phương trình 

\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x-y=12,1 \\ & xy=1089 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=12,1+y \\ & \left( 12,1+y \right)y=1089 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=12,1+y \\ & {{y}^{2}}+12,1y-1089=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x=39,6 \\ & y=27,5 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & x=27,5 \\ & y=39,6 \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( \text{loại, vì }x> y \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Vậy chiều dài là 36,9 m và chiều rộng là 27,5 m.

Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ?

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

 Hướng dẫn giải:

Ta có 1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\)giờ

Gọi x, y là số giờ mà một mình em thứ nhất, em thứ hai quét xong sân (2 < x, y; x, y tính bằng giờ)

Trong 1 giờ em thứ nhất quét được \(\frac{1}{x}\) sân

Trong 1 giờ em thứ hai quét được \(\frac{1}{y}\) sân

Do cả hai em quét thì sau 1 giờ 20 phút sẽ xong, suy ra ta có:

\(\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\frac{4}{3} = 1\,\,\,\,\,\,(1)\)

Mặt khác: x – 2 = y   (2)

Từ (1), (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 2\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 2\\\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\,\,\,(loai)\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy nếu làm một mình thì em thứ nhất làm mất 4 giờ, em thứ hai làm mất 2 giờ.