Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm
Giải bài tập trang 163 - 166 SBT Toán 12 Bài Nguyên hàm giúp các em học sinh sẽ dễ dàng ôn tập lại các kiến thức đã học, rèn luyện khả năng tính toán nhanh và chính xác. Sau đây mời các em cùng tham khảo lời giải tương ứng với từng bài tập SGK.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 3.1 trang 163 SBT Giải tích 12
2. Giải bài 3.2 trang 163 SBT Giải tích 12
3. Giải bài 3.3 trang 164 SBT Giải tích 12
4. Giải bài 3.4 trang 164 SBT Giải tích 12
5. Giải bài 3.5 trang 164 SBT Giải tích 12
6. Giải bài 3.6 trang 164 SBT Giải tích 12
7. Giải bài 3.7 trang 164 SBT Giải tích 12
8. Giải bài 3.8 trang 165 SBT Giải tích 12
9. Giải bài 3.9 trang 165 SBT Giải tích 12
10. Giải bài 3.10 trang 165 SBT Giải tích 12
11. Giải bài 3.11 trang 165 SBT Giải tích 12
12. Giải bài 3.12 trang 165 SBT Giải tích 12
13. Giải bài 3.13 trang 166 SBT Giải tích 12
1. Giải bài 3.1 trang 163 SBT Giải tích 12
Kiểm tra xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:
a) \(f\left( x \right)=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\) và \(g\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)
b) \(f\left( x \right)={{e}^{{\sin{x}}}}\cos x\) và \(g\left( x \right)={{e}^{\sin x}}\)
c) \(f\left( x \right)={{\sin }^{2}}\dfrac{1}{x}\) và \(g\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\sin \dfrac{2}{x}\)
Phương pháp giải
hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K
Hướng dẫn giải
a) Hàm số \(f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})\)là một nguyên hàm của \(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
b) Hàm số \(g\left( x \right)={{e}^{\sin x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{e}^{{\sin{x}}}}\cos x\)
c) Hàm số \(f\left( x \right)={{\sin }^{2}}\dfrac{1}{x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\sin \dfrac{2}{x}\)
2. Giải bài 3.2 trang 163 SBT Giải tích 12
Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:
a) \(F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+1}{2x-3}\) và \(G\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+10}{2x-3}\)
b) \(F\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}\) và \(G\left( x \right)=10+{{\cot }^{2}}x\)
Phương pháp giải
hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{align} & F'\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)'\left( 2x-3 \right)-\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)\left( 2x-3 \right)'}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( 2x+6 \right)\left( 2x-3 \right)-2\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{2{{x}^{2}}-6x-20}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
Mà \(F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+1}{2x-3}=\dfrac{{{x}^{2}}+10}{2x-3}+3=G\left( x \right)+3\) nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-6x-20}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}}\)
b) Ta có:
\(\begin{align} & G'\left( x \right)=(10+\cot^2x)' \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2.\cot x. (\cot x)' \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2 \cot x . \frac{1}{\sin^2 x}\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{2 \cos x}{\sin^3 x} \\ \end{align}\)
Mà \(G\left( x \right)=10+\cot ^2 x= \dfrac{1}{\sin ^2 x}+9=F\left( x \right)+9\) nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{2\cos x}{\sin^3 x}\)
3. Giải bài 3.3 trang 164 SBT Giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right)={{\left( x-9 \right)}^{4}}\)
b) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
d) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)
Phương pháp giải
Nếu \(\int{f\left( u \right)}du=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}\)
Hướng dẫn giải
a) \(f\left( x \right)={{\left( x-9 \right)}^{4}}\)
\(\int{(x-9)^4}dx=\dfrac{1}{5}(x-9)^5+C\)
b) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\)
Đặt u = 2 - x. Ta có du = -dx
\(\int\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}dx=-\int \dfrac{du}{u^2}=\dfrac{1}{u}+C=\dfrac{1}{2-x}+C\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
Đặt \(\sqrt{1-{{x}^{2}}}=u\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}={{u}^{2}}\)
\(\Rightarrow -2xdx=2udu\Leftrightarrow xdx=-udu\)
\(\int \dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx=-\int \dfrac{udu}{u}=-\int du=-u+C=-\sqrt{1-x^2}+C\)
d) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)
Đặt \(\sqrt{2x+1}=u\Leftrightarrow 2x+1={{u}^{2}}\)
\(\Rightarrow 2dx=2udu\Leftrightarrow dx=udu\)
\(\int\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int\dfrac{udu}{u}=\int du=u+C=\sqrt{2x+1}+C\)
4. Giải bài 3.4 trang 164 SBT Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx\) với \(x>-1\) (đặt \(t=1+{{x}^{3}}\) )
b) \( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx\) (đặt \(t={{x}^{2}}\) )
c) \(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx\) (đặt \(t=1+{{x}^{2}}\))
d) \( \int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\sqrt{x}}dx}\) (đặt \(t=\sqrt{x}\))
e) \( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}\) (đặt \(t=\dfrac{1}{x}\)
g) \(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx\) (đặt \(t=\sqrt{x}\) )
h) \(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}\) (đặt \( t=\cos x\)
Phương pháp giải
Nếu \(\int{f\left( u \right)}du=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}\)
Hướng dẫn giải
a) \(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx\) với \(x>-1\)
Đặt \(t=1+{{x}^{3}}\) \(\Rightarrow dt=3x^2dx\)
Ta có:
\(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx=\dfrac{1}{3}\int \sqrt[3]{t} dt=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}t^{\frac{4}{3}}+C=\dfrac{1}{4}(1+x^3)^{\frac{4}{3}}+C\)
b) \( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx\)
Đặt \(t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\)
\( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx=\int e^{-t}\dfrac{dt}{2}=-\dfrac{e^{-t}}{2}+C=-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C\)
c) \(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx\)
Đặt \(t=1+{{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\)
\(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx=\int \dfrac{dt}{2t^2}=-\dfrac{1}{2t}+C=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}+C\)
d) \( \int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\sqrt{x}}dx}\)
Đặt \(t=\sqrt{x}\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\)
\(=ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+C=ln\left|\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right|+C\)
e) \( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}\)
Đặt \(t=\dfrac{1}{x} \Rightarrow dt=-\dfrac{dx}{x^2}\)
\( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}=- \int \sin t.dt=cost+C=cos\dfrac{1}{x}+C\)
g) \(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx\)
Đặt \(t=ln{x}\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}\)
\(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx=\int t^2dt=\dfrac{t^3}{3}+C=\dfrac{(lnx)^3}{3}+C\)
h) \(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}\)
Đặt \( t=\cos x\Rightarrow dt=-sin x dx\)
\(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}=\int \dfrac{-dt}{t^{\frac{2}{3}}}=-3t^{\frac{1}{3}}+C=-3\sqrt[3]{cosx}+C\)
5. Giải bài 3.5 trang 164 SBT Giải tích 12
Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(\int{\left( 1-2x \right){{e}^{x}}dx}\)
b) \(\int{x{{e}^{-x}}dx}\)
c) \(\int{x\ln \left( 1-x \right)dx}\)
d) \(\int{x{{\sin }^{2}}xdx}\)
Phương pháp giải
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
\(\int{u\left( x \right)v'\left( x \right)dx=u\left( x \right)v\left( x \right)-\int{u'\left( x \right)v\left( x \right)dx}}\)
Hay \(\int{udv=uv-\int{vdu}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(I=\int{\left( 1-2x \right){{e}^{x}}dx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=1-2x \\ & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=-2dx \\ & v={{e}^{x}} \\ \end{aligned} \right.\)
Ta có:
\(\begin{align} & I=\left( 1-2x \right){{e}^{x}}+\int{2{{e}^{x}}dx+C} \\ & \,\,\,={{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}}+C \\ & \,\,\,=\left( 3-2x \right){{e}^{x}}+C \\ \end{align}\)
b) \(J=\int{x{{e}^{-x}}dx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x \\ & dv={{e}^{-x}}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v=-{{e}^{-x}} \\ \end{aligned} \right.\)
Ta có:
\(\begin{align} & I=-x{{e}^{-x}}+\int{{{e}^{-x}}dx+C} \\ & \,\,\,=-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+C \\ & \,\,\,=-\left( 1+x \right){{e}^{-x}}+C \\ \end{align}\)
c) \(G=\int{x\ln \left( 1-x \right)dx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=ln (1-x) \\ & dv=xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\dfrac{1}{x-1}dx \\ & v=\dfrac{x^2}{2} \\ \end{aligned} \right.\)
Ta có:
\(\begin{align} & G=\frac{{{x}^{2}}}{2}\ln (1-x)-\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}}{x-1}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{{{x}^{2}}}{2}\ln (1-x)-\frac{1}{2}\int{\left( x+1+\frac{1}{x-1} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{{{x}^{2}}}{2}\ln (1-x)-\frac{1}{2}\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}+x+\ln \left( 1-x \right) \right]+C \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{{{x}^{2}}}{2}\ln (1-x)-\frac{1}{2}\ln \left( 1-x \right)-\frac{1}{4}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+C \\ \end{align} \)
d)Ta có:
\(\begin{align} &H=\int{x{{\sin }^{2}}xdx}\\ & \,\,\,\,\,= \int{x.\dfrac{1-cos 2x}{2}dx}\\ & \,\,\,\,\,=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2} \int x \cos 2x dx\\ &\,\,\,\,\,=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2} I \\ \end{align}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x \\ & dv=\cos 2xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v=\frac{1}{2}\sin 2x \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra:
\(\begin{align} & I=\dfrac{1}{2}x\sin 2x-\dfrac{1}{2}\int{\sin 2xdx} \\ & \,\,\,\,=\dfrac{1}{2}x\sin 2x+\dfrac{1}{4}\cos 2x+C \\ \end{align}\)
Vậy \(H=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}x\sin 2x+\dfrac{1}{4}\cos 2x\right)+C\)
6. Giải bài 3.6 trang 164 SBT Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau:
a) \(\int{x{{\left( 3-x \right)}^{5}}dx}\)
b) \(\int{{{\left( {{2}^{x}}-{{3}^{x}} \right)}^{2}}dx}\)
c) \(\int{x\sqrt{2-5x}dx}\)
d) \(\int{\dfrac{\ln \left( \cos x \right)}{{{\cos }^{2}}x}dx}\)
e) \(\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}\)
g) \(\int{\dfrac{x+1}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}dx}\)
h) \(\int{\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx}\)
i) \(\int{\sin 3x\cos 2xdx}\)
Phương pháp giải
Phương pháp đổi biến số
Nếu \(\int{f\left( u \right)}du=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\)) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}\)
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
\(\int{u\left( x \right)v'\left( x \right)dx=u\left( x \right)v\left( x \right)-\int{u'\left( x \right)v\left( x \right)dx}}\)
Hay \(\int{udv=uv-\int{vdu}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(I_1=\int{x{{\left( 3-x \right)}^{5}}dx}\)
Đặt \(3-x=u\Rightarrow dx=-du\), ta có:
\(\begin{align} & {{I}_{1}}=\int{\left( u-3 \right){{u}^{5}}}du=\int{\left( {{u}^{6}}-3{{u}^{5}} \right)}du=\frac{1}{7}{{u}^{7}}-\frac{1}{2}{{u}^{6}}+C \\ & \,\,\,\,\,=\frac{1}{7}{{\left( 3-x \right)}^{7}}-\frac{1}{2}{{\left( 3-x \right)}^{6}}+C \\ \end{align} \)
b) Ta có:
\(\int{{{\left( {{2}^{x}}-{{3}^{x}} \right)}^{2}}dx}=\int{{{\left( {{2}^{2x}}-2.2^x{{3}^{x}}+3^{2x} \right)}}dx}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int 4^xdx-2\int 6^xdx+\int 9^x dx\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\dfrac{4^x}{ln4}-2\dfrac{6^x}{ln6}+\dfrac{9^x}{ln9}+C\)
c) \(I_2= \int{x\sqrt{2-5x}dx}\)
Đặt \(\sqrt{2-5x}=u\Rightarrow 2-5x=u^2\Rightarrow dx=-\dfrac{2}{5}udu\)
Ta có: \(x=\dfrac{2-u}{5}\) nên
\(\begin{align} & {{I}_{2}}=-\int{\frac{2-u}{5}.u.\frac{2}{5}udu} \\ & \,\,\,\,\,\,=\int{\left( -\frac{4}{25}{{u}^{2}}+\frac{2}{25}{{u}^{3}} \right)}du \\ & \,\,\,\,\,\,=-\frac{4}{75}{{u}^{3}}+\frac{1}{50}{{u}^{4}}+C \\ & \,\,\,\,\,=-\frac{4}{75}{{\left( 2-5x \right)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{50}{{\left( 2-5x \right)}^{2}}+C \\ \end{align} \)
c) \(I_3=\int{\dfrac{\ln \left( \cos x \right)}{{{\cos }^{2}}x}dx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=\ln \left( \cos x \right) \\ & dv=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=-\frac{\sin x}{\cos x}dx \\ & v=\tan x \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & {{I}_{3}}=\tan x\ln \left( \cos x \right)+\int{\tan x.\frac{\sin x}{\cos x}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\tan x\ln \left( \cos x \right)+\int{\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\tan x\ln \left( \cos x \right)+\int{\dfrac{1-\cos^2x}{\cos^2x}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\tan x\ln \left( \cos x \right)+\int{\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\tan x\ln \left( \cos x \right)+\tan x-x+C \end{align} \)
e) \(I_4=\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x \\ & dv=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v=-\cot x \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & {{I}_{4}}=-x\cot x+\int{\cot xdx} \\ & \,\,\,\,\,=-x\cot x+\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx} \\ \end{align}\ \)
Đặt \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\). Suy ra:
\(\begin{align} & {{I}_{4}}=-x\cot x+\int{\frac{dt}{t}} \\ & \,\,\,\,\,=-x\cot x+\ln \left| t \right|+C \\ \\ & \,\,\,\,\,=-x\cot x+\ln \left| \operatorname{s}\text{inx} \right|+C \\ \end{align} \)
g) \(I_5=\int{\dfrac{x+1}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}dx}\)
Ta có: \(\dfrac{x+1}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}=\dfrac{3}{5(x-2)}+\dfrac{2}{5(x+3)}\)
Khi đó:
\(\begin{align} & {{I}_{5}}=\int{\frac{3}{5\left( x-2 \right)}dx}+\int{\frac{2}{5\left( x+3 \right)}dx} \\ & \,\,\,\,\,=\frac{3}{5}\ln \left| x-2 \right|+\frac{2}{5}\ln \left| x+3 \right|+C \\ \end{align} \)\
h) \(I_6=\int{\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx}\)
Đặt \(u=\sqrt{x}\Rightarrow u^2=x\Rightarrow dx=2udu \)
Ta có:
\(\begin{align} & {{I}_{6}}=\int{\frac{2udu}{1-u}}=\int{\left( -2+\frac{2}{1-u} \right)du} \\ & \,\,\,\,\,=-2u+2\ln \left| 1-u \right|+C \\ \\ & \,\,\,\,\,=-2\sqrt{x}+2ln\left| 1-\sqrt{x} \right|+C \\ \end{align} \)
i) \( \int{\sin 3x\cos 2xdx}=\dfrac{1}{2} \int{(\sin x+\sin 5x)dx}=-\dfrac{1}{2}\left( \cos x+\dfrac{1}{5} \cos 5x\right)+C\)
7. Giải bài 3.7 trang 164 SBT Giải tích 12
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
a) \(\int{\sin}^{4}dx\)
b) \(\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{3}}x}dx}\)
c) \(\int{\sin ^3{x}\cos ^4{x}dx}\)
d) \(\int{\sin ^4{x}\cos ^4{x}dx}\)
Phương pháp giải
a) Hạ bậc đưa về dạng tổng rồi tính nguyên hàm, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản \(\int {\cos kxdx} = \dfrac{{\sin kx}}{k} + C\)
b) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với sin x rồi đổi biến t = cos x để tìm nguyên hàm.
c) Đổi biến u = cos x tính nguyên hàm.
d) Hạ bậc (sử dụng công thức nhân đôi) và tính nguyên hàm.
Hướng dẫn giải
a)Ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{4}}x={{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{4}\left( 1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}-2\cos 2x+\frac{\cos 4x}{2} \right) \\ \end{align} \)
Suy ra:
\(\begin{align} & \int{{{\sin }^{4}}xdx=}\frac{1}{4}\int{\left( \frac{3}{2}-2\cos 2x+\frac{\cos 4x}{2} \right)}dx \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{4}\int{\frac{3}{2}dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx+\frac{1}{8}\int{\cos 4xdx}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x+C \\ \end{align} \)
b) \(I=\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{3}}x}dx=\int{\dfrac{\sin x}{{{\sin }^{4}}x}dx=\int{\dfrac{\sin x}{{{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}}}}dx\)
Đặt \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx\). Suy ra: \(I=-\int \dfrac{du}{(1-u^2)^2}\)
Ta có:
\(\begin{align} & \frac{2}{1-{{u}^{2}}}=\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u} \\ & \Rightarrow \frac{4}{(1-{{u}^{2}})^2}={{\left( \frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\left( 1-u \right)}^{2}}}+\frac{2}{\left( 1-u \right)\left( 1+u \right)}+\frac{1}{{{\left( 1+u \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{{{\left( 1-u \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+u \right)}^{2}}}+\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u} \\ \end{align} \)
Do đó:
\(\begin{align} & I=-\frac{1}{4}\int{\left[ \frac{1}{{{\left( 1-u \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+u \right)}^{2}}}+\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u} \right]}du \\ & =-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{{{\left( u-1 \right)}^{2}}}}-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{{{\left( 1+u \right)}^{2}}}}-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{1-u}}-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{1+u}} \\ & =\frac{1}{4}.\frac{1}{u-1}+\frac{1}{4}.\frac{1}{u+1}+\frac{1}{4}.\ln \left| 1-u \right|-\frac{1}{4}\ln \left| 1+u \right|+C \\ & =\frac{1}{4}.\frac{2u}{{{u}^{2}}-1}+\frac{1}{4}.\ln \left| \frac{1-u}{1+u} \right|+C \\ & =-\frac{\cos x}{2{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{4}.\ln \left| \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right|+C \\ & =\frac{-\cos x}{2{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{2}\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|+C \\ \end{align} \)
c) \(J=\int{\sin ^3{x}\cos ^4{x}dx}=\int (1-\cos^2x)\cos^4x \sin x dx\)
Đặt \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin{x}dx\)
Ta có:
\(\begin{align} & J=-\int{\left( 1-{{u}^{2}} \right){{u}^{4}}du=-\int{\left( {{u}^{4}}-{{u}^{6}} \right)du}} \\ & \,\,\,=-\frac{1}{5}{{u}^{5}}+\frac{1}{7}{{u}^{7}}+C \\ & \,\,\,=-\frac{1}{5}{{\cos }^{5}}x+\frac{1}{7}{{\cos }^{7}}x+C \\ \end{align} \)
d)
\(\begin{align} & {{\sin }^{4}}x{{\cos }^{4}}x={{\left( \sin x\cos x \right)}^{4}}={{\left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)}^{4}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{16}{{\left( \frac{1-\cos 4x}{2} \right)}^{2}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{64}\left( 1-2\cos 4x+{{\cos }^{2}}4x \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{64}\left( \frac{3}{2}-2\cos 4x+\frac{1}{2}\cos 8x \right) \\ \end{align} \)
Ta có:
\(\begin{align} &\int{\sin ^4{x}\cos ^4{x}dx}=\frac{1}{64}\int{\left( \frac{3}{2}-2\cos 4x+\frac{1}{2}\cos 8x \right)dx} \\ & \,\,\,=\frac{1}{64}\left( \frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\sin 4x+\frac{1}{16}\sin 8x \right)+C \\ \end{align} \)
8. Giải bài 3.8 trang 165 SBT Giải tích 12
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số
\(f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}?\)
a) \(F\left( x \right)=1-\cot \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{4} \right)\)
b) \(G(x)=2\tan\dfrac{x}{2}\)
c) \(H(x)=ln(1+\sin x)\)
d) \(K(x)=2\left(1-\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{x}{2}}\right)\)
Phương pháp giải
Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{align} & \int{\frac{1}{1+\sin x}dx}=\int{\frac{1}{{{\left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right)}^{2}}}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int{\frac{1}{2{{\sin }^{2}}\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right)}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\cot \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right)+C \\ \end{align} \)
Vậy \(F\left( x \right)=1-\cot \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{4} \right)\)là một nguyên hàm của hàm số f(x).
\(G'(x)=\dfrac{1}{tan\dfrac{x}{2}}=\dfrac{cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2cos^2\dfrac{x}{2}}{\sin x}\) nên G(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x)
\(H'(x)=\dfrac{(1+\sin x)'}{1+\sin x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\) nên H(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x).
\(\begin{align} & K'\left( x \right)=2.\dfrac{\left( 1+\tan \dfrac{x}{2} \right)'}{{{\left( 1+\tan \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=2.\dfrac{\dfrac{1}{2{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}}}{{{\left( \dfrac{\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}} \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\dfrac{1}{{{\left( \cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{1+\sin x} \\ \end{align} \)
Vậy K(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
9. Giải bài 3.9 trang 165 SBT Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau đây:
a) \(\int(x+ln x)x^2dx\)
b) \(\int(x+\sin^2x)\sin x\,dx\)
c) \(\int(x+e^x)e^{2x}\,dx\)
d) \(\int(x+\sin x)\dfrac{dx}{\cos^2x}\)
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu}\)
Hướng dẫn giải
a) \(I=\int(x+ln x)x^2dx\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x+\ln x \\ & dv={{x}^{2}}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=1+\frac{1}{x} \\ & v=\frac{1}{3}{{x}^{3}} \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & I=\frac{1}{3}{{x}^{3}}\left( x+\ln x \right)-\frac{1}{3}\int{{{x}^{3}}\left( 1+\frac{1}{x} \right)dx} \\ & \,\,\,=\frac{1}{3}{{x}^{4}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{1}{3}\int{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)} \\ & \,\,\,=\frac{1}{3}{{x}^{4}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{1}{3}\left( \frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right)+C \\ & \,\,\,\,=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{9}{{x}^{3}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}\ln x+C \\ \end{align} \)
b) \(J=\int(x+\sin^2x)\sin x\,dx\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x+\sin^2 x\\ & dv=\sin xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=1+2 \sin x \cos x \\ & v=-\cos x \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & J=-\cos x\left( x+{{\sin }^{2}}x \right)+\int{\cos x\left( 1+2\sin x\cos x \right)dx} \\ & \,\,\,=-x\cos x-\cos x{{\sin }^{2}}x+\int{\cos xdx+2\int{{{\cos }^{2}}x\sin xdx}} \\ & \,\,\,=-x\cos x-\cos x{{\sin }^{2}}x+\sin x-2\int{{{\cos }^{2}}x\,d\left( \cos x \right)} \\ & \,\,\,=-x\cos x-\cos x{{\sin }^{2}}x+\sin x-\frac{2}{3}{{\cos }^{3}}x+C \\ \end{align} \)
c) \(K=\int(x+e^x)e^{2x}\,dx\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x+e^x\\ & dv=e^{2x}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=1+e^x \\ & v=\dfrac{1 }{2}e^{2x}\\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & K=\frac{1}{2}\left( x+{{e}^{x}} \right){{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\int{{{e}^{2x}}\left( 1+{{e}^{x}} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}\left( x+{{e}^{x}} \right){{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\int{\left( {{e}^{2x}}+{{e}^{3x}} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}+\frac{1}{2}{{e}^{3x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}-\frac{1}{6}{{e}^{3x}}+C \\ & \,\,\,\,\,=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}+\frac{1}{3}{{e}^{3x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}+C \\ \end{align} \)
d) \(F=\int(x+\sin x)\dfrac{dx}{\cos^2x}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x+\sin x \\ & dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=1+\cos x \\ & v=\tan x \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & F=\left( x+\sin x \right)\tan x-\int{\left( 1+\cos x \right)\tan xdx} \\ & \,\,\,\,=\left( x+\sin x \right)\tan x-\int{\left( \frac{\sin x}{\cos x}+\sin x \right)dx} \\ & \,\,\,\,=\left( x+\sin x \right)\tan x+\ln \left| \cos x \right|+\cos x+C \\ \end{align} \)
10. Giải bài 3.10 trang 165 SBT Giải tích 12
Cho \(F'(x)=f(x), C\) là hằng số dương tùy ý. Khi đó \(\int f(x)dx\) bằng:
A. \(F(x) +C\)
B. \(F(x) - C\)
C. \(F(x) +lnC\)
D. \(F(x+C)\)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất nguyên hàm: Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) với C là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của (x).
Hướng dẫn giải
Đáp án C đúng nhất vì \(lnC\) mới là số thực tùy ý.
D sai vì không cộng hằng số C vào biến
A và B không đúng vì không khẳng định được C là hằng số dương tùy ý
11. Giải bài 3.11 trang 165 SBT Giải tích 12
Hãy chỉ ra kết quả sai khi tính \(\int \sin x\, \cos x\, d x\)
A. \(\dfrac{sin^2x}{2}+C\)
B. \(-\dfrac{\cos^2x}{2}+C\)
C. \(\dfrac{-\cos2x}{4}+C\)
D. \(\dfrac{\cos^2x}{2}+C\)
Phương pháp giải
Tìm một nguyên hàm của sin xcos x rồi nhận xét các đáp án còn lại.
Sử dụng định lý: Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của (x) thì \(F\left( x \right) + C\) với C là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của ( x )
Hướng dẫn giải
\(\begin{align} & \int{\sin x\cos xdx=\int{\sin xd\left( \sin x \right)}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}+C\,\,\,\,\,\,\,\text{(A đúng)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}+C \,\,\,\,\,\,\,\text{(B đúng và D sai)}\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{2}.\frac{1+\cos 2x}{2}+C \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{\cos 2x}{4}+C \,\,\,\,\,\,\,\text{(C đúng)} \\ \end{align} \)
Vậy chọn đáp án D
12. Giải bài 3.12 trang 165 SBT Giải tích 12
\(\int xe^{2x}dx\) bằng
A. \(\int \dfrac{e^{2x}(x-2)}{2}+C\)
B. \(\int \dfrac{e^{2x}+1}{2}+C\)
C . \(\int \dfrac{e^{2x}(x-1)}{2}+C\)
D . \(\int \dfrac{e^{2x}(2x-1)}{4}+C\)
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu}\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x \\ & dv=e^{2x}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v=\frac{1}{2}{{e}^{2x}} \\ \end{aligned} \right.\)
Ta có:
\(\begin{align} & \int xe^{2x}dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{2}\int{e^{2x}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x} +C\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{4}+C\\ \end{align}\)
Chọn đáp án D
13. Giải bài 3.13 trang 166 SBT Giải tích 12
\(\int (x+1) \sin x dx\)bằng
A. \((x+1) \cos x+\sin x+C\)
B. \(-(x+1) \cos x+\sin x+C\)
C. \(-(x+1) \sin x+\cos x+C\)
D. \((x+1) \cos x-\sin x+C\)
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu}\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=x+1 \\ & dv=\sin xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v=-\cos x \\ \end{aligned} \right. \)
\(\int (x+1) \sin x dx=-(x+1)\cos x+\int \cos x dx=-(x+1)\cos x+\sin x+C\)
Chọn đáp án B
14. Giải bài 3.14 trang 166 SBT Giải tích 12
\(\int x\ln(x+1)dx\) bằng:
A. \((\dfrac{x^2}{2}-1)ln(x+1)+\dfrac{1}{4}(x-1)^2+C\)
B. \((\dfrac{x^2}{2}-1)\ln(x+1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+C\)
C. \((\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2})\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}(x-1)^2+C\)
D. \((\dfrac{x^2}{2}+1)\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}(x-1)^2+C\)
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu}\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u=\ln \left( x+1 \right) \\ & dv=xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\frac{dx}{x+1} \\ & v=\frac{1}{2}{{x}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\(\begin{align} & \int{x\ln \left( x+1 \right)dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)-\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}}{x+1}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)-\frac{1}{2}\int{\left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)-\frac{1}{2}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right| \right)+C \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{2} \right)\ln \left( x+1 \right)-\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{x}{2}+C \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{2} \right)\ln \left( x+1 \right)-\frac{1}{4}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+C \\ \end{align} \)
Chọn đáp án C.
15. Giải bài 3.15 trang 166 SBT Giải tích 12
\(\int x\,\ \sqrt{x-1}dx\) bằng :
A. \((x-1)^{\frac{5}{2}} +(x-1)^{\frac{3}{2}}+C\)
B. \(\dfrac{2}{15}\left[3(x-1)^{\frac{5}{2}} -5(x-1)^{\frac{3}{2}}\right]+C\)
C. \(\dfrac{2}{15}\left[3(x-1)^{\frac{5}{2}} +5(x-1)^{\frac{3}{2}}\right]+C\)
D. \(\dfrac{1}{15}\left[3(x-1)^{\frac{5}{2}} +5(x-1)^{\frac{3}{2}}\right]+C\)
Phương pháp giải
Đổi biến \(t = \sqrt {x - 1}\) và tính nguyên hàm.
Hướng dẫn giải
\(\begin{align} & \int{x\sqrt{x-1}dx}=\int{\left( x-1 \right)\sqrt{x-1}dx}+\int{\sqrt{x-1}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{2}{5}{{\left( x-1 \right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{2}{3}{{\left( x-1 \right)}^{\frac{3}{2}}}+C \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{2}{15}\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{\frac{5}{2}}}+5{{\left( x-1 \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]+C \\ \end{align} \)
Chọn đáp án C
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Nguyên hàm Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Tích phân
- doc Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân